高中必修一数学131函数的单调性和最大小值课件-人教版

------函数的单调性------函数的单调性1一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1x1-11y-1-1一、引入课题yx11-1yx1-11-1x1-11y-1-12知识探究（一）考察下列两个函数:（1）f(x)=x；

(2)f(x)=x2

xyo思考1:说说随着X的增大，图像从左到右的升降情况？o5-5-55xy知识探究（一）考察下列两个函数:（1）f(x)3OxyOxy4OxyOxy5OxyOxy6OxyOxy7OxyOxy8OxyOxy9OxyOxy10OxyOxy11OxyOxy12函数单调性的概念：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1函数单调性的概念：一般地，设函数y=f(x)13

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说f(x)在区间D上是减函数

,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图22．减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如14注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间I内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。注意：③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增15下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的值

x1,x2,x3,当时，有则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+162．单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。2．单调性与单调区间17（二）典型例题例1

如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

（二）典型例题例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数18高中必修一数学131函数的单调性和最大小值课件-人教版19用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且

即求，通过因式分解、配方、有理化等方法

即根据给定的区间和的符号的确定

的符号用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）20证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）

＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（21练习：判断函数的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：练习：判断函数22三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。三、归纳小结23四、作业布置书面作业：课本P39A组：第2题

2(选做)

证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.四、作业布置24例2物理学中的玻意定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.例2物理学中的玻意定律25二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域

I

内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2

，当x1<x2

时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数263．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．3．证明函数单调性的方法步骤27证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）28证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）

＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（29探究：P30画出反比例函数的图象．①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．思考3：反比例函数的单调性，单调区间：探究：P30画出反比例函数的图象．思考3：30证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则1－1－1Oxy1f（x）在定义域

上是减函数吗？减函数

取x1=-1，x2=1

f（-1）=-1

f（1）=1

-1＜1

f（-1）＜f（1）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则1－1－131例3讨论函数在(-2,2)内的单调性.例3讨论函数在(32变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范33

是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围是定义在R上的单调函数，且34

是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式

是定义在（-1，1）上的单调增函数，35练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性36思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，371.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，2.若f(x)为减38三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。三、归纳小结39四、作业布置书面作业：课本P39A组：第2题

2(选做)

证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.四、作业布置40------函数的最大（小）值------函数的最大（小）值41画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？

(1)(2)

xyo2oxy-1画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出y=f421．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值

最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域432．最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值

2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存442.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值统称为最值。2.函数最大（小）值应该是所有函数值中注意：1.函数最大（45判断以下说法是否正确。2、设函数，则成立吗？的最大值是2吗？为什么？判断以下说法是否正确。2、设函数，则46例3

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）例3“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它47解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象48例3

求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函数是区间[2,6]上的减函数.例3求函数在区间[2，6]上的最大值和最49

因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.因此,函数50（二）判断函数的最大(小)值的方法

1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值

2.利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)

；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（二）判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（51例3写出函数的单调区间，并求出最值。例4已知二次函数（1）当时，求的最值。（2）当时，求的最值。例3写出函数52例5求下列函数的最小值提示：（1）将f(x)变形用定义法证明f(x)的单调性求f(x)的最小值（2）f(x)求f(x)的对称轴讨论对称轴与所给区间的位置关系结论例5求下列函数的最小值提示：（1）将f(x)变形用定义法53求函数的最值。求函数54设f(x)是定义在R上的函数，对m,n∈R恒有

f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1。（1）求证:f(0)=1(2)求证：x∈R时恒有f(x)>0(3)求证：f(x)在R上是减函数。提高练习设f(x)是定义在R上的函数，对m,n∈R恒有（1）求证:f55团团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每天，小朋友们排着长队，等着跟它们合影留念。从“排着长队”体现出每天喜欢它们的人不计其数，特别受欢迎。从“合影留念”体现出大家都想和大熊猫留住最美丽的瞬间以作纪念。Nothingcanbeaccomplishedwithoutnormsorstandards.感谢阅读下载！祝你生活愉快团团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每天，小朋友们排着长队，等着跟56------函数的单调性------函数的单调性57一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1x1-11y-1-1一、引入课题yx11-1yx1-11-1x1-11y-1-158知识探究（一）考察下列两个函数:（1）f(x)=x；

(2)f(x)=x2

xyo思考1:说说随着X的增大，图像从左到右的升降情况？o5-5-55xy知识探究（一）考察下列两个函数:（1）f(x)59OxyOxy60OxyOxy61OxyOxy62OxyOxy63OxyOxy64OxyOxy65OxyOxy66OxyOxy67OxyOxy68函数单调性的概念：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1函数单调性的概念：一般地，设函数y=f(x)69

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说f(x)在区间D上是减函数

,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图22．减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如70注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间I内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。注意：③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增71下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的值

x1,x2,x3,当时，有则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+722．单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。2．单调性与单调区间73（二）典型例题例1

如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

（二）典型例题例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数74高中必修一数学131函数的单调性和最大小值课件-人教版75用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且

即求，通过因式分解、配方、有理化等方法

即根据给定的区间和的符号的确定

的符号用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）76证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）

＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（77练习：判断函数的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：练习：判断函数78三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。三、归纳小结79四、作业布置书面作业：课本P39A组：第2题

2(选做)

证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.四、作业布置80例2物理学中的玻意定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.例2物理学中的玻意定律81二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域

I

内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2

，当x1<x2

时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数823．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．3．证明函数单调性的方法步骤83证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）84证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）

＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（85探究：P30画出反比例函数的图象．①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．思考3：反比例函数的单调性，单调区间：探究：P30画出反比例函数的图象．思考3：86证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则1－1－1Oxy1f（x）在定义域

上是减函数吗？减函数

取x1=-1，x2=1

f（-1）=-1

f（1）=1

-1＜1

f（-1）＜f（1）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则1－1－187例3讨论函数在(-2,2)内的单调性.例3讨论函数在(88变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范89

是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围是定义在R上的单调函数，且90

是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式

是定义在（-1，1）上的单调增函数，91练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性92思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，931.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，2.若f(x)为减94三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。三、归纳小结95四、作业布置书面作业：课本P39A组：第2题

2(选做)

证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.四、作业布置96------函数的最大（小）值------函数的最大（小）值97画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？

(1)(2)

xyo2oxy-1画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出y=f981．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值

最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域992．最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值

2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存1002.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值统称为最值。2.函数最大（小）值应该是所有函数值中注意：1.函数最大（101判断以下说法是否正确。2、设函数，则成立吗？的最大值是2吗？为什么？判断以下说法是否正确。2、设函数，则102例3

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）例3“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它103解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象104