高数3-差分方程1课件

第5章差分方程第5章差分方程15.1.1差分

微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.5.1.1差分微分方程是自变量连续取值的问题,21.差分的定义定义5.1.1设函数我们称为函数的一阶差分；一、差分方程的基本概念1.差分的定义定义5.1.1设函数我们称为函数的一阶3

称为函数的二阶差分.为三阶差分.同样，称称为函数的二阶差分.为三阶差分.同样，称4依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分5性质5.1.1当

是常数，是函数时，有以下结论成立：性质5.1.1当是常数，是函数时，有以下结论成立：6例1求则解设例2设求解

例1求则解设例2设求解7有某种商品t

时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt的线性函数：5.1.2差分方程一个例子：设t时期的价格Pt由t–1时期的价格与供给量及需求量之差按如下关系确定.

（为常数），

即

这样的方程就是差分方程.有某种商品t时期的供给8定义5.1.2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.例如差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.5.1.2差分方程定义5.1.2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程9是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为则原方程还可化为例如，可以化为是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为则原方程还可化为例10又如：可化为

定义5.1.3

如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中A为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的解.又如：可化为定义5.1.3如果一个函数代入差分方程后11我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件.满足初始条件的解称之为特解.如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.其中A为任意常数.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，其中A12

(3)为常数，为已知函数.时，称方程

(4)则(3)称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中当为一阶常系数齐次线性差分方程.若差分方程.一阶常系数线性差分方程(3)为常数，为已知函数.时，称方程(4)则(3)称133.常系数线性差分方程及解的性质

的差分方程称为n阶常系数线性差分方程，其中为常数，且为已知函数.时，差分方程(1)称为齐次的，对应的齐次差分方程为(2)定义A形如(1)当否则称为非齐次的.当时，与差分方程(1)3.常系数线性差分方程及解的性质的差分方程称为n阶常系14

定理A

设的k个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中是n阶常系数齐次线性差分方程为任意常数.定理A设的k个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中15的n个线性无关的解，则方程的通解为其中为任意常数．定理Bn阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解．若是方程的n个线性无关的解，则方程的通解为其中为任意常数．定理B16

定理Cn阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个特解之和，它对应的齐次方程即通解等于其中是它自己本身的一个特解.定理Cn阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个17以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识．在本书中．我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程18(1)迭代法求解：一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法.5.2.1一阶常系数齐次线性差分方程的通解(1)迭代法求解：一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程通19(2)特征方程法求解：设化简得：即(2)特征方程法求解：设化简得：即20分别称为方程和是方程(4)的解.

再由解的结构及通解的定义知：

的特征方程和特征根.是齐次方程的通解.为任意常数)故分别称为方程和是方程(4)的解.再由解的结构及通21例4求的通解.从而特征根为于是原方程的通解为其中C为任意常数.解特征方程为例4求的通解.从而特征根为于是原方程的通解为其中C为任意常22的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程(c为任意常数),则差分方程为1)采用迭代法求解：有迭代公式给定初值5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程(c为任意23高数3-差分方程1课件242)一般法求解：设差分方程的特解.具有形如(1)当时，(2)当时，2)一般法求解：设差分方程的特解.具有形如(1)当时，(225例5求差分方程的通解.解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例5求差分方程的通解.解对应26设差分方程(6)具有形如的特解。于是设差分方程(6)具有形如的特解。于是27即解得于是和即解得于是和28例6

求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例6求差分方程29例6’

求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例6’求差分方程30设差分方程(7)具有形如的特解.将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数确定系数设差分方程(7)具有形如的特解.将特解代入差分方程(7)后31例7求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程，得比较系数：例7求差分方程32原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为33例7’求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程，得比较系数：例7’求差分方程34原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为35设差分方程具有形如的特解.综上所述，有如下结论：若设差分方程具有形如的特解.综上所述，有如下结论：若36当时，(*)式左端为次多项式，要使(*)式成立，则要求当时，(*)式左端为次多项式，要使37故可设差分方程（8）具有形如的特解.前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：当时，取否则，取故可设差分方程（8）具有形如的特解.前面三种情况都是差分方程38例8求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程消去比较系数：得例8求差分方程39原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为40例9求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程消去，得比较系数：例9求差分方程41原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为42例10求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程消去比较系数：得例10求差分方程43原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为44例8（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下关系式：这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.为存款其通解为设三、差分方程在经济问题中的简单应用例8（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下45

第5章差分方程第5章差分方程465.1.1差分

微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.5.1.1差分微分方程是自变量连续取值的问题,471.差分的定义定义5.1.1设函数我们称为函数的一阶差分；一、差分方程的基本概念1.差分的定义定义5.1.1设函数我们称为函数的一阶48

称为函数的二阶差分.为三阶差分.同样，称称为函数的二阶差分.为三阶差分.同样，称49依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分50性质5.1.1当

是常数，是函数时，有以下结论成立：性质5.1.1当是常数，是函数时，有以下结论成立：51例1求则解设例2设求解

例1求则解设例2设求解52有某种商品t

时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt的线性函数：5.1.2差分方程一个例子：设t时期的价格Pt由t–1时期的价格与供给量及需求量之差按如下关系确定.

（为常数），

即

这样的方程就是差分方程.有某种商品t时期的供给53定义5.1.2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.例如差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.5.1.2差分方程定义5.1.2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程54是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为则原方程还可化为例如，可以化为是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为则原方程还可化为例55又如：可化为

定义5.1.3

如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中A为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的解.又如：可化为定义5.1.3如果一个函数代入差分方程后56我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件.满足初始条件的解称之为特解.如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.其中A为任意常数.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，其中A57

(3)为常数，为已知函数.时，称方程

(4)则(3)称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中当为一阶常系数齐次线性差分方程.若差分方程.一阶常系数线性差分方程(3)为常数，为已知函数.时，称方程(4)则(3)称583.常系数线性差分方程及解的性质

的差分方程称为n阶常系数线性差分方程，其中为常数，且为已知函数.时，差分方程(1)称为齐次的，对应的齐次差分方程为(2)定义A形如(1)当否则称为非齐次的.当时，与差分方程(1)3.常系数线性差分方程及解的性质的差分方程称为n阶常系59

定理A

设的k个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中是n阶常系数齐次线性差分方程为任意常数.定理A设的k个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中60的n个线性无关的解，则方程的通解为其中为任意常数．定理Bn阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解．若是方程的n个线性无关的解，则方程的通解为其中为任意常数．定理B61

定理Cn阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个特解之和，它对应的齐次方程即通解等于其中是它自己本身的一个特解.定理Cn阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个62以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识．在本书中．我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程63(1)迭代法求解：一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法.5.2.1一阶常系数齐次线性差分方程的通解(1)迭代法求解：一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程通64(2)特征方程法求解：设化简得：即(2)特征方程法求解：设化简得：即65分别称为方程和是方程(4)的解.

再由解的结构及通解的定义知：

的特征方程和特征根.是齐次方程的通解.为任意常数)故分别称为方程和是方程(4)的解.再由解的结构及通66例4求的通解.从而特征根为于是原方程的通解为其中C为任意常数.解特征方程为例4求的通解.从而特征根为于是原方程的通解为其中C为任意常67的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程(c为任意常数),则差分方程为1)采用迭代法求解：有迭代公式给定初值5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程(c为任意68高数3-差分方程1课件692)一般法求解：设差分方程的特解.具有形如(1)当时，(2)当时，2)一般法求解：设差分方程的特解.具有形如(1)当时，(270例5求差分方程的通解.解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例5求差分方程的通解.解对应71设差分方程(6)具有形如的特解。于是设差分方程(6)具有形如的特解。于是72即解得于是和即解得于是和73例6

求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例6求差分方程74例6’

求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为：代入方程，解得：故原差分方程通解为：例6’求差分方程75设差分方程(7)具有形如的特解.将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数确定系数设差分方程(7)具有形如的特解.将特解代入差分方程(7)后76例7求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程，得比较系数：例7求差分方程77原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解为78例7’求差分方程

的通解。解对应齐次差分方程的通解为由于故可设其特解为代入方程，得比较系数：例7’求差分方程79原差分方程通解为解得故方程特解为原差分方程通解为解得故方程特解