数学建模中的层次分析法课件

数学建模中的

层次分析法数学建模中的

层次分析法1层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪2层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立3第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点二、层次分析法基本步骤1、建立层次结构模型第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结4例对学生的评价目标层准则层项目层(指标层)眼对学生的评价德智体思想道德语文数学……肺例对学生的评价目标层准则层项目层眼对学生的评价德智体思5二、层次分析法基本步骤2、确定权系数w1，w2，

…，wn，其满足：

wi0,3、建立综合评判函数设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量，其线性组合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是综合评判函数。二、层次分析法基本步骤2、确定权系数w1，w2，…6例对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德语文数学…肺语文计算机0.150.1语文成绩对学生评价中的权系数为：0.2×0.55=0.11例对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.157例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分知识能力表现x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361语文知识外语知识政治经济时事知识计算机操作能力公关能力容貌与气质体形高矮与胖瘦音色例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分8评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即9对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286，由高到低排序为乙、丙、甲。对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x10对权重系数的量化过程（1）成对比较从x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。对权重系数的量化过程（1）成对比较11（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||为Aek-1的n个分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…数列｛ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2…an)于是取权重系数wi=ai

（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A12例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家经成对赋值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：13于是得到成对比较矩阵于是得到成对比较矩阵14数学建模中的层次分析法课件15由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是如果用同样的分制162468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量2417目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.目标层O(选择旅游地)P2P1P3准则层方案层C3C1C2C18“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层19层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对20成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致21成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如A的秩为22一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非23“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标24组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第25

（2）考虑第3层对第2层由1–9尺度得（2）考虑第3层对第2层26权向量矩阵权向量矩阵27

（3）组合权向量（3）组合权向量28（4）组合一致性检验（4）组合一致性检验29第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.129330三.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。三.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政31国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择通过组合一致性检验国家综合实力国民军事科技社会对外美、俄、中、日、德等大国工作32过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择过河的效益经济效益社会效益环境效益节省时间C1收入C2岸间商33过河的代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价经济代价环境代价社会代价投入资金C1操作维护C2冲34待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价待评价的科技成果直接间接社会学识学术技术技术效益C1水平C235数学建模中的

层次分析法数学建模中的

层次分析法36层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪37层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立38第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点二、层次分析法基本步骤1、建立层次结构模型第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结39例对学生的评价目标层准则层项目层(指标层)眼对学生的评价德智体思想道德语文数学……肺例对学生的评价目标层准则层项目层眼对学生的评价德智体思40二、层次分析法基本步骤2、确定权系数w1，w2，

…，wn，其满足：

wi0,3、建立综合评判函数设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量，其线性组合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是综合评判函数。二、层次分析法基本步骤2、确定权系数w1，w2，…41例对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德语文数学…肺语文计算机0.150.1语文成绩对学生评价中的权系数为：0.2×0.55=0.11例对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.1542例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分知识能力表现x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361语文知识外语知识政治经济时事知识计算机操作能力公关能力容貌与气质体形高矮与胖瘦音色例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分43评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即44对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286，由高到低排序为乙、丙、甲。对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x45对权重系数的量化过程（1）成对比较从x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。对权重系数的量化过程（1）成对比较46（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||为Aek-1的n个分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…数列｛ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2…an)于是取权重系数wi=ai

（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A47例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家经成对赋值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：48于是得到成对比较矩阵于是得到成对比较矩阵49数学建模中的层次分析法课件50由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是如果用同样的分制512468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量2452目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.目标层O(选择旅游地)P2P1P3准则层方案层C3C1C2C53“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层54层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对55成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致56成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如A的秩为57一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非58“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标59组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第60

（2）考虑第3层对第2层由1–9尺度得（2）考虑第3层对第2层61权向量矩阵权向量矩阵62

（3）组合权向量（3）组合权向量63（4）组合一致性检验（4）组合一致性检验64第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.429