高等代数课件(北大版)第六章线性空间§65

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间2022/11/24数学与计算科学学院§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基1一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间2022/11/24数学与计算科学学院一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间2022一、线性子空间

1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.

维数.2022/11/24数学与计算科学学院一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间32、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即

则W是V的一个子空间．

定理：设V为数域P上的线性空间，集合

推论：V为数域P上的线性空间,

则W是V的子空间2022/11/24数学与计算科学学院2、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即则W是4∵，∴.

且对，

由数乘运算封闭，有

，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．

由加法封闭，有,即W中的零元

证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．

2022/11/24数学与计算科学学院∵，∴.且对，由5

例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．

例3

P[x]n是P[x]的的线性子空间．

例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．

2022/11/24数学与计算科学学院例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]6的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；例4

n元齐次线性方程组

(＊)

注②(＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是

n

维向量空间

Pn

的一个子2022/11/24数学与计算科学学院的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空7例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：

解：W1、W3是Pn的子空间，

W2不是Pn的子空间.若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1是n元齐次线性方程组的解空间.所以，维W1＝n－1，①的一个基础解系①2022/11/24数学与计算科学学院例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：解：W1、W3是8就是W1的一组基.而在

W2中任取两个向量，设则故W2不是Pn的子空间.2022/11/24数学与计算科学学院就是W1的一组基.而在W2中任取两个向量，设则故W9故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，则有

其次，

设下证W3是Pn的子空间.就是W3的一组基.2022/11/24数学与计算科学学院故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，则有其次，10例6设V为数域P上的线性空间，

则W关于V的运算作成V的一个子空间．

即的一切线性组合所成集合.2022/11/24数学与计算科学学院例6设V为数域P上的线性空间，则W关于V的运算作成V的一11称为V的由生成的子空间，二、一类重要的子空间

——生成子空间

定义：V为数域P上的线性空间，

则子空间

，记作．称为的一组生成元.2022/11/24数学与计算科学学院称为V的由生成的子12例7在Pn

中，

为Pn的一组基，即Pn

由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.2022/11/24数学与计算科学学院例7在Pn中，为Pn的一组基，即Pn由它的一组基生13有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有2、（定理3）

1）；为线性空间V中的两组向量，则与等价．

2）生成子空间的维数＝向量组的秩．2022/11/24数学与计算科学学院有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，2、（定理14证：1）若

则对

有，

从而可被线性表出；同理每一个

也可被线性表出.

所以，

与等价．

，

可被线性表出，

从而可被线性表出，即

反之，

与等价．

2022/11/24数学与计算科学学院证：1）若则对有，从而15所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）设向量组

的秩＝t，不妨设

为它的一个极大无关组．

因为

与等价，

就是的一组基，

所以，的维数＝t．2022/11/24数学与计算科学学院所以,同理可得，故，由§3定理16无关组，则推论：设是线性空间V中不全为零的一组向量，是它的一个极大3、设为P上n维线性空间V的一组基，则的维数＝秩(A).

A为P上一个矩阵，若2022/11/24数学与计算科学学院无关组，则推论：设是线性空间V中不全为零的一组向17证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，则A＝(A1,

A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，设即下证线性无关.2022/11/24数学与计算科学学院证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这18是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性无关.从而2022/11/24数学与计算科学学院是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性19任取将A的第

j

列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则则有即设2022/11/24数学与计算科学学院任取将A的第j列添在A1的右边构成的矩20从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数故为的极大无关组，所以的维数＝r＝秩(A).线性相关.2022/11/24数学与计算科学学院从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数21则向量组与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而求出生成子空间的维数与一组基.注：由证明过程可知，若为V的一组基，2022/11/24数学与计算科学学院则向量组与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.22为

V

的一组基．即在

V

中必定可找到

n－m

个向量设W为

n维线性空间

V

的一个

m

维子空间，4、（定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使为

V

的一组基．扩基定理

证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即

n＝m，定理成立．就是V的一组基.假设当n－m＝k时结论成立.2022/11/24数学与计算科学学院为V的一组基．即在V中必定可找到n－m个向量设W23因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我们考虑n－m＝k＋1的情形．必定是线性无关的．既然还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间

是m＋1维的．可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.

由归纳假设，的基2022/11/24数学与计算科学学院因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面24它扩充为P4的一组基，其中例8

求的维数与一组基，并把解：对以为列向量的矩阵A作初等行变换2022/11/24数学与计算科学学院它扩充为P4的一组基，其中例8求的维数25由B知，为的一个极大故，维＝3，就是的一组基.无关组.2022/11/24数学与计算科学学院由B知，为的一个极大故，维26则线性无关，从而为P4的一组基.2022/11/24数学与计算科学学院则线性无关，从而为P4的一组基.2022/11/27练习设V为数域P上的线性空间，为V的一组基，且求的一组基，并把它扩充为V的一组基.2022/11/24数学与计算科学学院练习设V为数域P上的线性空间，为V的一组28令对A作初等行变换解：2022/11/24数学与计算科学学院令对A作初等行变换解：2022/11/229则线性无关，从而为V的一组基.又由B知，A的列向量线性无关，从而线性无关.故为的一组基.2022/11/24数学与计算科学学院则线性无关，从而为V的一组基.又由B知，A的列向30§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间2022/11/24数学与计算科学学院§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基31一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间2022/11/24数学与计算科学学院一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间20232一、线性子空间

1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.

维数.2022/11/24数学与计算科学学院一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间332、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即

则W是V的一个子空间．

定理：设V为数域P上的线性空间，集合

推论：V为数域P上的线性空间,

则W是V的子空间2022/11/24数学与计算科学学院2、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即则W是34∵，∴.

且对，

由数乘运算封闭，有

，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．

由加法封闭，有,即W中的零元

证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．

2022/11/24数学与计算科学学院∵，∴.且对，由35

例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．

例3

P[x]n是P[x]的的线性子空间．

例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．

2022/11/24数学与计算科学学院例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]36的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；例4

n元齐次线性方程组

(＊)

注②(＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是

n

维向量空间

Pn

的一个子2022/11/24数学与计算科学学院的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空37例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：

解：W1、W3是Pn的子空间，

W2不是Pn的子空间.若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1是n元齐次线性方程组的解空间.所以，维W1＝n－1，①的一个基础解系①2022/11/24数学与计算科学学院例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：解：W1、W3是38就是W1的一组基.而在

W2中任取两个向量，设则故W2不是Pn的子空间.2022/11/24数学与计算科学学院就是W1的一组基.而在W2中任取两个向量，设则故W39故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，则有

其次，

设下证W3是Pn的子空间.就是W3的一组基.2022/11/24数学与计算科学学院故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，则有其次，40例6设V为数域P上的线性空间，

则W关于V的运算作成V的一个子空间．

即的一切线性组合所成集合.2022/11/24数学与计算科学学院例6设V为数域P上的线性空间，则W关于V的运算作成V的一41称为V的由生成的子空间，二、一类重要的子空间

——生成子空间

定义：V为数域P上的线性空间，

则子空间

，记作．称为的一组生成元.2022/11/24数学与计算科学学院称为V的由生成的子42例7在Pn

中，

为Pn的一组基，即Pn

由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.2022/11/24数学与计算科学学院例7在Pn中，为Pn的一组基，即Pn由它的一组基生43有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有2、（定理3）

1）；为线性空间V中的两组向量，则与等价．

2）生成子空间的维数＝向量组的秩．2022/11/24数学与计算科学学院有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，2、（定理44证：1）若

则对

有，

从而可被线性表出；同理每一个

也可被线性表出.

所以，

与等价．

，

可被线性表出，

从而可被线性表出，即

反之，

与等价．

2022/11/24数学与计算科学学院证：1）若则对有，从而45所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）设向量组

的秩＝t，不妨设

为它的一个极大无关组．

因为

与等价，

就是的一组基，

所以，的维数＝t．2022/11/24数学与计算科学学院所以,同理可得，故，由§3定理46无关组，则推论：设是线性空间V中不全为零的一组向量，是它的一个极大3、设为P上n维线性空间V的一组基，则的维数＝秩(A).

A为P上一个矩阵，若2022/11/24数学与计算科学学院无关组，则推论：设是线性空间V中不全为零的一组向47证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，则A＝(A1,

A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，设即下证线性无关.2022/11/24数学与计算科学学院证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这48是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性无关.从而2022/11/24数学与计算科学学院是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性49任取将A的第

j

列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则则有即设2022/11/24数学与计算科学学院任取将A的第j列添在A1的右边构成的矩50从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数故为的极大无关组，所以的维数＝r＝秩(A).线性相关.2022/11/24数学与计算科学学院从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数51则向量组与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而求出生成子空间的维数与一组基.注：由证明过程可知，若为V的一组基，2022/11/24数学与计算科学学院则向量组与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.52为

V

的一组基．即在

V

中必定可找到

n－m

个向量设W为

n维线性空间

V

的一个

m

维子空间，4、（定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使为

V

的一组基．扩基定理

证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即

n＝m，定理成立．就是V的一组基.