海伦公式宋树燕课件

选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五第一章“阅读与思考”高一年级组宋树燕海伦公式选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五海伦公式1新课导入

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？新课导入

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？2问题提出

问题提出

3海伦

海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是《量度论》一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。海伦海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公4海伦公式宋树燕课件5海伦公式宋树燕课件6

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

转化为数学语言为下列图形：新课导入问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一7问题提出

问题提出

8公式推导“三斜求积”

公式

①②③把③②代入①，得：一：余弦定理证明法公式推导“三斜求积”

①②③一：余弦定理证明法9公式转化

公式转化

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过程梳理余弦定理

“三斜求积”公式海伦公式等价

过程梳理余弦定理

“三斜求积”公式海伦公式等价12

公式转化等价

公式转化等价13课堂练习

课堂练习

14除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？

自主探究除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？自主探究15二：勾股定理证明法如图,AB=c,BC=a,CA=b,CD⊥AB于D,CD=h,又记BD=t,则AD=c-tcbatDCBAc-th[首先求出t(用a,b,c,h表示][再用a,b,c表示h][进而求出面积S]二：勾股定理证明法如图,AB=c,BC=a,CA=b,16Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2,h2=a2-t2=b2-(c-t)2[首先求出t(用a,b,c,h表示]cbatDCBAc-th

由a2-t2=b2-(c-t)2移项得a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c)进而有Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,[首先求出t(17[再用a,b,c表示出h]cbatDCBAc-th[再用a,b,c表示出h]cbatDCBAc-th18cbatDCBAc-th[求出面积S]cbatDCBAc-th[求出面积S]19三、向量证明法证明:在三角形中,设,,,,,,因为：的面积为:所以:＝………………(1)三、向量证明法证明:在三角形中,设20因为:,所以:,所以:,所以:……(2)将(2)式代入(1)式,并化简得:因为:,21海伦公式宋树燕课件22四：内切圆证明法四：内切圆证明法23海伦公式宋树燕课件24运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？CABNM（第24题）运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点，25解：设⊿ABC的面积为S,由本题AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x,∴p==2∴S==∴=2(x-1)(2-x)=﹣∴当x==时=最大，即S=最大。解：设⊿ABC的面积为S,由本题26运用2：AB=2,AC=BC,求三角形ABC面积的最大值?运用2：AB=2,AC=BC,求三角形ABC面积的最27运用3：求内切圆半径为1的三角形面积的最小值运用3：求内切圆半径为1的三角形面积的最小值28选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五第一章“阅读与思考”高一年级组宋树燕海伦公式选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五海伦公式29新课导入

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？新课导入

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？30问题提出

问题提出

31海伦

海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是《量度论》一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。海伦海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公32海伦公式宋树燕课件33海伦公式宋树燕课件34

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

转化为数学语言为下列图形：新课导入问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一35问题提出

问题提出

36公式推导“三斜求积”

公式

①②③把③②代入①，得：一：余弦定理证明法公式推导“三斜求积”

①②③一：余弦定理证明法37公式转化

公式转化

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过程梳理余弦定理

“三斜求积”公式海伦公式等价

过程梳理余弦定理

“三斜求积”公式海伦公式等价40

公式转化等价

公式转化等价41课堂练习

课堂练习

42除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？

自主探究除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？自主探究43二：勾股定理证明法如图,AB=c,BC=a,CA=b,CD⊥AB于D,CD=h,又记BD=t,则AD=c-tcbatDCBAc-th[首先求出t(用a,b,c,h表示][再用a,b,c表示h][进而求出面积S]二：勾股定理证明法如图,AB=c,BC=a,CA=b,44Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2,h2=a2-t2=b2-(c-t)2[首先求出t(用a,b,c,h表示]cbatDCBAc-th

由a2-t2=b2-(c-t)2移项得a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c)进而有Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,[首先求出t(45[再用a,b,c表示出h]cbatDCBAc-th[再用a,b,c表示出h]cbatDCBAc-th46cbatDCBAc-th[求出面积S]cbatDCBAc-th[求出面积S]47三、向量证明法证明:在三角形中,设,,,,,,因为：的面积为:所以:＝………………(1)三、向量证明法证明:在三角形中,设48因为:,所以:,所以:,所以:……(2)将(2)式代入(1)式,并化简得:因为:,49海伦公式宋树燕课件50四：内切圆证明法四：内切圆证明法51海伦公式宋树燕课件52运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？CABNM（第24题）运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点，53解：设⊿ABC的面积为S,由本题AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x,∴p==2∴S=