专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题(原卷版)

20212021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题11二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线x两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点，顶点为点D．a＝6A，B，C，D的坐标：A ，B ，C ，D ；31DCxEtan∠AED=4aCE的长；32，在（2）NOCPPx轴ANFPf＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设＜mm0，求f的最大值．4【例（202•恩施州）如图，抛物线=−1+b+c经过点（，顶点为，对称轴＝2与x轴相4交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）PBCxMPM逆时针旋转490°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−1x2+bx+c只有一个交点时，4求点M的坐标．（3）MPC在（）的旋转变换下，若=√2（如图．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．（2020•湘西州y＝kx﹣21，0，点m，）是x轴正半轴上的动点．当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，cE时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；在yCQQb，当S =

时，求m的值；△EQM 2△ACEDDb+1

27√2时，求b的值．2 的最小值为4【例（202•云南抛物线y＝+b+c与x轴交于ABy轴交于点CA（1，点C的坐标为，．点P为抛物线＝+b+c上的一个动点．过点P作⊥x轴于点D，交直线BCE．、c的值；Fy＝x2+bx+cF的坐标；PPBCDBC5P所有的坐标；若不存在，请说明理由．【例（202•娄底）如图，抛物线经过点A（0（C0．求抛物线的解析式；P（m，n）是抛物线上的动点，当m的面积最大；BDDA2﹣DC2＝6D的坐标；若不存在，请说明理由．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2kN．若此抛物线过点（3，，求抛物线的解析式；在yBAB，CAB的上CCDxD，CDABECE＝EDC坐标；3已知点−43，0，且无论k取何值，抛物线都经过定点MH＝60°时，求抛物线3的解析式．【例（202•海南）抛物线2+bc经过点（﹣，0）和点20，与y轴交于点．求该抛物线的函数表达式；Py轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．8（2020•眉ft）1y＝﹣x2+bx+cxAByCB坐标为，，点C坐标为0，．求抛物线的表达式；PBCP的坐标；2MMD⊥xDMDNNMCNAN的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1（202•西宁二模a2b+c与x轴交于（50（，50）两点，与y轴交于点（0．2求抛物线的解析式；MAM，CM，求△AMC的面积；P是抛物线上的一个动点，过点PPEyEACDDx轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．2（202•平房区二模）已知：如图，抛物线＝a2a﹣3a交x轴正半轴于点A，负半轴于点B，交y轴于点C，tan∠OBC＝3．a值；PACPCPS，求S与t（请直接写出自变量t的取值范围；在的条件下，过点PPD∥yCAD，连接PB，交yE，点Q为第二QExNFFDxKE为QFFN＝FKDF的解析式．3（202•涡阳县一模）如图，抛物线a2ba≠0）与直线1相交于A（1，B4）两点，且抛物线经过点（5．求抛物线的解析式．PP点坐标．若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合，过点P作直线⊥x轴于点D，交直线EPE＝2EDP点坐标；yF，在抛物线的第一象限内，是否存在一点AMFC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．4（202•南岗区模拟）已知：抛物线=−1+2+m交x轴于B两点，交y轴于点，其中点B 2 2在点A的右侧，且AB＝7．1，求抛物线的解析式；2DCD，AD，ADyEDd，△E的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围；值．如图3，在的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若DAB ，且 HE ：CP ＝3 ：5 ，求点 D 的坐标及相应 S 值．【题组二】55202•哈尔滨模拟）如图，抛物线＝a2b5经过坐标轴上B和C三点，连接=35＝3OB．求抛物线的解析式；QtBQyECQ、CB，△BCQ的面积SSt的函数解析式；DBQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．6（202•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线a﹣2a﹣a交x轴于AB两点（点A在点B的左边，交y轴负半轴于点．则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．1Ay＝ax+ayFDBBE∥yAD于E，求证：AF＝DE．2DE：y＝kx+bDEF，满DF＝FEa＝1F坐标．7202•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=−1

与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为40，与y轴交于点C（，2．2y=−1𝑥2+bx+cBC2

2x+bx+cPBCPBCP的坐标；O与PBCDNBC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=√5DF时，请直接写出点N的坐标．8202•花都区一模）如图，抛物线＝﹣+b+c交x轴于B两点，其中点A坐标为（0，与y轴交于点C（，3．（2）（2）My＝﹣x2+bx+cCS△OMC=1S2△ABCM的坐标；（3）PxDxAPBP分别交F．请问DE+DF由．【题组三】9（202•岳阳二模）如图，已知抛物线+b+c与x轴相交于（10m）两点，与y轴相交于点（0，3，抛物线的顶点为．求抛物线的解析式；ExE的坐标．PBCPPH⊥xHBC①求线段PM长度的最大值．2②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+√2CF的最小值．210（202•镇江模拟）二次函数a（﹣3﹣1的图象记为抛物线C，它与x轴交于点A2，B，其对称轴与x轴交于点，顶点为，点（）在抛物线C上（异于点ABD．小聪以点E为ABDP2：1、D的对应点的抛物线1（如图，小明认为还可以找到一条过ABD的对应点的抛物线C．a＝C2对应的函数表达式为；试证明：点P的对应点在抛物线1或2（选择其中一种情形证明）落在抛物线C2P1Q2＝2√13，DQ+1P2

Q的最小值为 （直接写出结果）1（202•白云区模拟）如图，抛物线＝2bc交x轴于点B，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．A，C的坐标；Py轴交点的坐标；Qx为定值，并求出这个定值．312（202•道里区二模）O为坐标原点，抛物线=−1𝑥2b3交x轴于3A、B两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．1，求抛物线的解析式；32EBEEED⊥OBD，tan∠EBD=4，求3△BDE的面积；3，在（2）BCDEQKEK交BCxN，∠EMC＝45KKT⊥xTEEL∥x轴，交直KTLF是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ETET于点PDPELS，SE＝2SLF的坐标．【题组四】13（202•汉阳区模拟）如图，抛物线＝+bc经过点（，1B，0．、c的值；1DABDyABNDN的最大值；2Py、PBEFEFAB的位置关系，并说明理由．14（202•福安市校级模拟）已知，抛物线＝a，其中a．1B是此抛物线上两点，且分属于yAByC＝90°．𝑎=1；𝑎如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．15（202•三明二模）如图，抛物线＝x＜）交x轴于A两点，顶点为点．（Ⅰ）B的面积（用含m的代数式表示；DA不重合yCCE∥ABxE．（ⅰ）𝐶𝐸k的取值范围；（ⅱ）求证：DE∥y轴．16（202•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，4点（，3，与x轴分别交于CD两点．OB以及该抛物线相应的函数表达式；如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点MxOB交NMN的最大值；2AxEAE∥yPAD之间的一个动点，直线PC、PDAEFGP是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组五】17（202•青ft区模拟）如图，在平面直角坐标系y中，一次函数=5 m为常数）的图象与x轴4x+m交于点（3，，与y轴交于点，以直线1为对称轴的抛物线＝ab+（abc为常数，a≠0）ACxBm的值及抛物线的函数表达式；QACQ横坐标；若存在，请说明理由；PPy轴不平行的直线交M（x

M（x

𝑀1𝑃⋅𝑀2𝑃是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是1 1 1请说明理由．

2 2 2）

𝑀2（参考公式：在平面直角坐标系中，若 A（1，1，B（2，2，则A，B两点间的距离为B=√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2）18（202•营口模拟如图＝n交x轴于点（和点y轴于点（2．求抛物线的函数表达式；△ MSAOM＝2SBOCM△ NACDN⊥xDN长度的最大值．19（202•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线a﹣2aa＜）交x轴于点B，yC，AB＝6．1，求抛物线的解析式；2RRB、RCsRtst的函数关系式；DxFyEOB上一点，3P为第一象限内一点，连接PDOCRRT⊥OBPCPBT2R的坐标．320（202•黔西南州）已知抛物线＝ab（≠）交x轴于点6）和点（0，交y轴于点C．求抛物线的解析式和顶点坐标；如图1，点P是抛物线上位于直线C上方的动点，过点P分别作xy轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；如图2，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线CNMNN的坐标．【题组六】21（202•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线a+b3与x轴交于点A（0B1，，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．求抛物线的解析式；1AMEAMFEEH⊥x轴于HAMDPyEF取最大值时：①求PD+PC的最小值；4②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+1OQ的最小值．4222202•滨州）如图，抛物线的顶点为（，，与y轴交于点B0−1，点（，）为其对称2轴上的一个定点．求这条抛物线的函数解析式；ly轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d，求证：PF＝d；已知坐标平面内的点3，请在抛物线上找一点QQ的坐标．3 √3