名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质(含答案解析)

名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质(含答案解析)名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质(含答案解析)名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质(含答案解析)资料仅供参考文件编号：2022年4月名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质(含答案解析)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例

点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E.两条直线【解前点津】A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用、、、、等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l,如图(1)；(2)α∩β=l,aα,a∥l,如图(2).例2题解图【例3】如图，已知：l不属于α,A、B、C…∈l,AA1⊥α,BB1⊥α,CC1⊥α.求证：AA1、BB1、CC1…共面.【解前点津】证明n条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.例3题图【规范解答】证法一∵AA1⊥α,CC例3题图∴AA1∥CC1.∴AA1与CC1确定平面β,且β⊥α.∵ACβ,即lβ,而B∈l,∴B∈β,又知BB1⊥α,∴BB1β.∴AA1、BB1、CC1…共面.证法二反证法由证法1得β⊥α于A1C1假设BB1不属于β,在β内作BB′⊥A1C1(如图∴BB′⊥α,已知BB1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB1不属于β是不可能的,∴BB1β,∴AA1、BB1、CC1…共面.【解后归纳】证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A1,B1,C1,D1,E1,F1六点，求证:A1,B1,C1,D1,E1,F1六点在同一条直线上.例4题图【规范解答】设平行四边形ABCD所在平面为例4题图∵A∈β,B∈β,∴ABβ,又A1∈AB,∴A1∈β,又A1∈α∴A1在平面α与平面β的交线上,设交线为l,则A1∈l,同理可证B1,C1,D1,E1,F1都在直线l上,∴A1,B1,C1,D1,E1,F1六点在同一条直线上.【解后归纳】证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为().32C2.下列说法正确的是()A.如果两个平面α、β有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A，就说α、β相交于过A的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC与DBC交于线段BC3.下列命题正确的是()A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a，下面四个命题：①如果点P∈α，且P∈β，那么P∈a；②如果点A∈α，点B∈β，那么ABα；③如果点A∈α，那么点B∈β；④如果线段ABα，且ABβ，那么ABa.其中正确命题的个数是().1C5.空间四点A、B、C、D共面但不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.B.C.D.7.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原三角形ABC的面积为()A.B.C.D.8.两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有个.10.不重合的三个平面把空间分成n个部分，则n的可能值为.11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是.12.与空间不共面四点距离相等的平面为个.13.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝１，则成为空间四面体时，AC的取值范围是.三、能力提高14.如图，已知l1∥l2∥l3，l∩l1＝Ａ,l∩l2＝Ｂ，l∩l3＝C.求证：l１、l2、l3、l共面.第第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗已知：A、B、C、D是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB、AC、BC的延长线交平面α于P、R、Q三点．求证：P、R、Q三点共线．17.已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且.求证：直线EF、GH、AC交于一点.第第17题图18.已知直线a,b,c,其中b,c为异面直线,试就a与b,c的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课平面的概念与性质习题解答CC+CC+2=32.排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=·2=2+．按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个可确定C-2=4个．个这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，)AC>0，ABCD为菱形时AC＝.14.由l1∥l2，知l1与l2确定一个平面α，同理l2、l3确定一个平面β，由A∈l1,l1α，知A∈α，同理B∈α，又A、B∈l，故lα，同理lβ.由上知l∩l2＝Ｂ，且l、l2α,l、l2β，因两相交直线l、l2确定一个平面，故α与β重合，所以l1、l2、l3、l共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A、B、C在同一直线a上，点Da.∴点D和a可确定一平面α，∴A、B、C、D∈α.与A、B、C、D不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.第16题图解16.如图，∵AP∩AR=A,∴AP与AR第16题图解又P、R∈α，∴α∩平面APR=PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR，即Q∈平面APR．又Q∈α，∴Q∈α∩平面APR=PR.∴P、Q、R三点共线． 点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵F、G分别是边BC、CD上的点，且，∴EH∥FG，EH≠FG，∴四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P.∵EF平面ABC，∴P∈平面ABC.又P∈平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC.故P∈AC，即EF、GH、AC交于一点P.18.(1)若a与b,c都相交,a与b,a与c都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a与b,