高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列

第二章数列第二章数列12．1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法

2．1数列的概念与简单表示法2自主学习新知突破自主学习新知突破31．了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．2．理解数列是一种特殊的函数．3．掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式．1．了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法4[问题1]

按顺序分别写出满足下列条件的数．(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数；(2)－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂；(3)正整数1,2,3,4,5,6，…的平方．[问题1]按顺序分别写出满足下列条件的数．5[问题2]

从1984年到2008年我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,52.这几个数有顺序吗？[提示]

这几个数有顺序．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列6数列及其有关概念数列按照一定_____排列着的一列数称为数列项数列中的__________叫做这个数列的项表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为_____顺序每一个数{an}数列及其有关概念数列按照一定_____排列着的一列数称为数列7数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数_____的数列1,2,3,4，…，100无穷数列项数_____的数列1,4,9，…，n2，…按项的变化趋势递增数列__________，每一项都_____它的前一项的数列3,4,5，…，n＋2有限无限从第2项起大于数列的分类分类标准名称含义例子按项的有穷数列项数_____的8从第2项起小于各项相等从第2项起大于小于从第2项起小于各项相等从第2项起大于小于9(1)通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)图象法数列的图象是以__________为坐标的一系列无限或有限的__________．数列的简单表示法项数n(n，f(n))孤立的点(1)通项公式数列的简单表示法项数n(n，f(n))孤立的点10(3)列表法列表法就是列出表格来表示___________的关系．例如：数列1,1,2,3,5,8,13,21.序号12345678项1123581321序号与项(3)列表法序号12345678项1123581321序号与11数列表示方法的深层次理解(1)图象法：①数列是特殊的函数，因此，数列也可以根据某通项公式画出其对应图象，这就是图象法．在画图时，为了方便，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同．②图象法的优点：直观明了，能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．

数列表示方法的深层次理解12(2)列表法：运用列表法给出数列，优点是内容具体、方法简单，不需要计算就可以直接看出与序号相对应的项，但要确切表示一个无穷数列或一个项数比较多的有穷数列则比较困难，这与集合的列举法表示效果相似．(3)通项公式法：用通项公式表示数列，简单明了，便于计算，是常用的方法．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列131．下列说法正确的是(

)A．数列是一种特殊的函数，定义域是N*B．数列1,2,8,16与数列1,8,2,16是同一个数列C．同一个数在同一个数列中可以重复出现D．数列1,4,9，…，n2是无穷数列高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列14解析：对于A，因为数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集，故A错；对于B，根据数列的定义可知，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列，故B错；根据数列的定义，C正确；对于D，因为它的项数有限，应该是有穷数列，故D错．答案：C高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列15高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列16解析：A选项中的数列是递减数列，B选项中的数列是摆动数列，D选项中的数列是有穷数列，只有C选项中的数列是无穷数列且是递增数列，故选C.答案：C高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列17答案：23答案：2318高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列19高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列20高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列21高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列22合作探究课堂互动合作探究课堂互动23数列的概念及分类

下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)所有无理数；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.[思路点拨]

由题目可获取的主要信息是五种数学表达式．解答本题要紧扣数列的概念和数列分类标准．

数列的概念及分类 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数24[边听边记]

(1)是集合，不是数列．(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来．(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列25

解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变化情况确定．

解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变26高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列27解析：(1)是无穷数列，递减数列；(2)是无穷数列，递增数列；(3)是无穷数列，常数列；(4)是无穷数列，递减数列；(5)是有穷数列，递减数列；(6)是无穷数列，摆动数列．故有穷数列有(5)，无穷数列有(1)(2)(3)(4)(6)，递增数列有(2)，递减数列有(1)，(4)，(5)，摆动数列有(6)，常数列有(3)．解析：(1)是无穷数列，递减数列；28求数列的通项公式

根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；

求数列的通项公式 根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公29[思路点拨]

根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列来求．解析：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列30高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列31高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列32

用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．

用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思33高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列34高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列35高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列36

数列通项公式的应用

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝3n37高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列38

判断某数是否为数列的项的步骤(1)将所给某数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项．

判断某数是否为数列的项的步骤39高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列40高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列41高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列42高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列43答案：D答案：D44谢谢观看！谢谢观看！45第2课时数列的性质和递推关系第2课时数列的性质和递推关系46自主学习新知突破自主学习新知突破471．了解递推公式是给出数列的一种方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．1．了解递推公式是给出数列的一种方法．48某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都49[问题1]

写出前五排座位数．[提示]

20,22,24,26,28.[问题2]

第n排与第n＋1排座位数有何关系？[提示]

第n＋1排比第n排多2个座位．[问题3]

第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？[提示]

能．an＋1＝an＋2.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列50如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一51数列通项公式和递推公式各有什么作用？(1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最大值或最小值．(2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．数列通项公式和递推公式各有什么作用？52拓展：通项公式与递推公式的关系示意图高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列531．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(

)A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….∴an＝an－1＋n(n≥2)．答案：B1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()542．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(

)A．递增数列 B．递减数列C．摆动数列 D．常数列解析：an＋1＝an＋3>an(n∈N*)，∴数列为递增数列．答案：A高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列553．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值是________．解析：∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an有最小值－9.答案：－9高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列56高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列57合作探究课堂互动合作探究课堂互动58由递推公式写数列的项并求通项公式

已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．由递推公式写数列的项并求通项公式 已知数列{an}，a1＝259高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列60高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列61

(1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键．

(1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清公式中各62高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列63高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列64高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列65数列的单调性问题[思路点拨]

用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的项，比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性．数列的单调性问题[思路点拨]用序号代替通项公式中的n，就可66高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列67

单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．

单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作68高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列69高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列70高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列71高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列72

数列的最大项、最小项问题数列的最大项、最小项问题73高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列74高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列75

(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件． (1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研763．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.77高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列78高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列79◎设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ的取值范围是________．◎设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足80【错因】

错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形，事实上，n的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且满足a1<a2时，也成立．【错因】错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形81高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列82方法二：直接根据定义来处理．∵数列{an}是单调递增数列，∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，又n∈N*，∴λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列83谢谢观看！谢谢观看！842．2等差数列第1课时等差数列

2．2等差数列85自主学习新知突破自主学习新知突破861．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．2．理解等差数列的概念．3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．87观察以下这四个数列：0,5,10,15,20，…48,53,58,6318,15.5,13,10.5,8,5.510072,10144,10216,10288,10360[问题]

这些数列有什么共同特点呢？[提示]

以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)．观察以下这四个数列：88如果一个数列从第____项起，每一项与它的________的差等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的______，通常用字母____表示．等差数列的定义2前一项同一常数常数公差d如果一个数列从第____项起，每一项与它的________的891．等差数列的定义的理解(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．1．等差数列的定义的理解90如果a，A，b成_____数列，那么A叫做a与b的等差中项．事实上，若a，A，b成等差数列，即A＝________，则A就是a与b的等差中项；若A＝________，即A－a＝b－A，则a，A，b成等差数列．等差中项等差如果a，A，b成_____数列，那么A叫做a与b的等差中项．91高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列92已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

等差数列的通项公式递推公式通项公式___________＝d(n≥2)an＝___________an－an－1a1＋(n－1)d已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，等差数列的通项933．等差数列通项公式的应用在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．3．等差数列通项公式的应用941．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(

)A．49

B．50C．51 D．521．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a95答案：D答案：D96高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列97答案：B答案：B983．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.答案：12－n

3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式994．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列100合作探究课堂互动合作探究课堂互动101等差数列的通项公式

已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a5＝11，a8＝5；(2)前三项为a,2a－1,3－a.[思路点拨]

先确定数列的首项a1与公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可．

等差数列的通项公式 已知数列{an}为等差数列，分别根据下列102高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列103高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列104

在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.

在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；1051．在等差数列{an}中，(1)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；(2)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列106高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列107

等差中项

已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？[思路点拨]

方法一：由前三项的和为18，前三项的积为66，列关于a1和d的方程，求出a1和d，进而求出an，再令an＝－34，求n值进行判断即可．方法二：可以设前三项为a－d，a，a＋d，求出a和d的值，再求出an，下同方法一．

等差中项 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项108高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列109高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列110高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列111高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列112高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1132．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________；(2)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．解析：(1)因为数列8，a,2，b，c是等差数列，所以2a＝8＋2，所以a＝5，因为公差d＝5－8＝－3，所以b＝2＋(－3)＝－1，c＝－1＋(－3)＝－4.2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c114高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列115答案：(1)5－1－4答案：(1)5－1－4116等差数列的判定[思路点拨]

先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数．等差数列的判定[思路点拨]先用an表示bn＋1，bn，再验117高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列118高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列119

判断一个数列是否为等差数列有以下方法：

方法符号语言结论定义法an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*){an}是等差数列等差中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*) 判断一个数列是否为等差数列有以下方法：方法符号语言结论120高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列121高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列122高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列123【错因】

在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明“a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．【错因】在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开始比1大124答案：D答案：D125谢谢观看！谢谢观看！126第2课时等差数列的性质第2课时等差数列的性质127自主学习新知突破自主学习新知突破1281．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用．1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．129等差数列中项与序号的关系等差数列中项与序号的关系130(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为___的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列．

等差数列的性质dcd2dpd1＋qd2(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：等差数列131对等差数列的性质的理解(1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项．特别地，当m＋n＝2r时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar.(2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．对等差数列的性质的理解132(3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等差数列，公差为kd.(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于每2项，4项，5项…抽取，道理是相同的．(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1331．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(

)A．4

B．5C．6 D．7解析：a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6.答案：C1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(1342．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(

)A．40 B．42C．43 D．45解析：∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋3×3d＝42.答案：B高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1353．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.解析：∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.答案：15高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1364．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列137高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列138高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列139合作探究课堂互动合作探究课堂互动140等差数列性质的应用

在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.[思路点拨]

由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解．

等差数列性质的应用 在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a141解析：方法一：根据等差数列的性质可得：a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.方法二：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.答案：18高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列142

法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n∈N*)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想.

法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n1431．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(

)A．15

B．30C．31 D．64高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列144解析：方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15.方法二：∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7＋a9－a4＝15.答案：A高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列145等差数列的运算

(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[思路点拨]

(1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．

等差数列的运算 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，146[边听边记]

(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列147方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列148(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列149高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列150

利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．

利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规1512．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三152高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列153

综合运用题综合运用题154高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列155

(1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换的思想方法．(2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．

(1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋11563．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度．解析：用{an}表示题中的等差数列．由已知条件得a1＝33，a12＝110，n＝12.设公差为d，则a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝33＋2×7＝47，…，a11＝33＋10×7＝103.∴中间各级的宽度分别为40cm,47cm,54cm，61cm，68cm，75cm，82cm,89cm,96cm,103cm.3．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间157◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？【错解】

由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)，令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8158【错因】

本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同159高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列160谢谢观看！谢谢观看！1612．3等差数列的前n项和第1课时等差数列前n项和

2．3等差数列的前n项和162自主学习新知突破自主学习新知突破1631．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．3．能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想．1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a164如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．[问题1]

共有几层？图形的横截面是什么形状？[提示]

六层等腰梯形

如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每165[问题2]

假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？[提示]

(4＋9)×6＝78.[问题3]

原来有多少根钢管？[问题2]假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示166[问题4]

能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列167等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝_____________Sn＝________________等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数168对等差数列前n项和公式的理解(1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列169高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1701．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝(

)A．8

B．7C．6 D．5答案：D1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a41712．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(

)A．7 B．15C．20 D．25答案：B2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前1723．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝____________.答案：103．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n1734．在等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5，求a8和S8.4．在等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5，求a8和S8174高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列175合作探究课堂互动合作探究课堂互动176与前n项和有关的基本量的运算

在等差数列{an}中，(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.[思路点拨]

将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法．

与前n项和有关的基本量的运算 在等差数列{an}中，177高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列178

一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便．

一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道1791．已知等差数列{an}中，(1)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n；(2)a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.1．已知等差数列{an}中，180高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列181高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列182

与前n项和有关的最值问题

已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．[思路点拨]

与前n项和有关的最值问题 已知等差数列{an}中，a1＝9183高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列184高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列185高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列186

求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：

求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：187高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1882．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得最小值时，n＝(

)A．26

B．25C．24 D．23(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得189高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列190答案：(1)C

(2)120答案：(1)C(2)120191求数列{|an|}的前n项和

在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．[思路点拨]

本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数．由于已知数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．

求数列{|an|}的前n项和 在等差数列{an}中，a1＝－192高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列193高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列194

已知等差数列{an}的项先负后正，求数列{|an|}的前n项和Tn，步骤如下：(1)求an：即{an}的通项公式；(2)判号：利用通项公式，判断前多少项为负数(假设前m项为负数)；

已知等差数列{an}的项先负后正，求数列{|an|}的前n195高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列1963．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－4，S8＝a8，求数列{|an|}的前n项和Tn.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－4，S8＝197高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列198◎在等差数列{an}中，an＝3n－31，记bn＝|an|，求数列bn的前30项和．◎在等差数列{an}中，an＝3n－31，记bn＝|an|，199【错因】

错把{bn}也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞清绝对值符号内的an的正负，易知当n≤10时，an<0，当n≥11时，an>0.【错因】错把{bn}也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞200谢谢观看！谢谢观看！201第2课时等差数列前n项和习题课

第2课时等差数列前n项和习题课202自主学习新知突破自主学习新知突破2031．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题．2．能应用等差数列解决一些实际问题．1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题204教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试写出推导过程．[提示]

等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，具体过程如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试写出推导过程．205高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列206等差数列前n项和的主要性质等差数列前n项和的主要性质207对等差数列前n项和性质的理解(1)等差数列的前n项和是所有奇数项与所有偶数项的和，我们可以根据等差数列的性质，得出结论．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列2081．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于(

)A．3

B．4C．6 D．12答案：C1．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于()2092．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数列{an}为(

)A．首项为1，公差为2的等差数列B．首项为3，公差为2的等差数列C．首项为3，公差为4的等差数列D．首项为5，公差为3的等差数列解析：当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝4×1－1＝3.∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C.答案：C2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数2103．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝____________.解析：∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0.又a3＋a6＝a4＋a5，∴2(a4＋a5)＝0，∴a5＝－a4＝－1.答案：－1高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列2114．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求它的前3m项的和．4．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为1212高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列213高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列214高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列215合作探究课堂互动合作探究课堂互动216等差数列前n项和的性质应用

一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[思路点拨]

可以利用列方程组方法求解，也可以利用等差数列前n项和的性质求解．等差数列前n项和的性质应用 一个等差数列的前12项的和为35217高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列218高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列219

2201．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．1．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24221高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列222高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列223高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列224高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列225等差数列的性质在前n项和中的应用等差数列的性质在前n项和中的应用226高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列227高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列228高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列229

230高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列231已知Sn求an的问题

已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式an.(1)Sn＝－3n2＋6n；(2)Sn＝－3n2＋6n＋1.

已知Sn求an的问题 已知数列{an}的前n项和为Sn，求数232高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列233高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列2343．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋1求数列的通项公式an.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋1求数列的通235◎已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？【错解】

an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，∴{an}是等差数列．【错因】

已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．◎已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式236高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列237谢谢观看！谢谢观看！2382．4等比数列第1课时等比数列2．4等比数列239自主学习新知突破自主学习新知突破2401．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．3．掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数241分析下面几个数列．(1)－1,1，－1,1，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资100000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为100000×1.05,100000×1.052，…，100000×1.055.分析下面几个数列．242[问题1]

上面数列是等差数列吗？[提示]

不是．[问题2]

以上数列中后项与前项的比有何特点？[提示]

后项与前项的比值都相同．高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列243等比数列的定义及通项公式等比数列的定义及通项公式2441．等比数列通项公式的理解(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．1．等比数列通项公式的理解245定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a与b的等比中项．这三个数满足关系式__________.等比中项等比数列G2＝ab定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成_246高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列247高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列2481．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为(

)A．等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．以上都不正确解析：当a≠0时，该数列是等差数列，也是等比数列，当a＝0时，是等差数列，但不是等比数列，故选D.答案：D1．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为()2492．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为(

)A．2 B．3

C．4

D．8答案：A2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公2503．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1251高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列252高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列253合作探究课堂互动合作探究课堂互动254等比数列通项公式的运用

在等比数列{an}中，[思路点拨]

解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．

等比数列通项公式的运用 在等比数列{an}中，255高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列256高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列257高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列258

等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法．

等比数列基本量的求法2591．在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.解析：(1)方法一：由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.1．在等比数列{an}中，260高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列261高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列262

等比数列的判定

已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？[思路点拨]

要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an－1之比为一常数，已知Sn＝2an＋1，以此来寻找an与an－1的关系．

等比数列的判定 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1263高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列264

2652．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．解析：数列{an－1}是等比数列．证明如下：∵a1＝2，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)∴数列{an－1}是以1为首项，公比为2的等比数列．2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断266

等比中项的应用

等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．等比中项的应用 等比数列{an}的前三项的和为168，a2267高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列268高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列269

270高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列271答案：(1)B

(2)D答案：(1)B(2)D272◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是(

)A．q>1⇒{an}为递增数列B．{an}为递增数列⇒q>1C．q>1⇔{an}为递增数列D．q>1⇒{an}为递增数列，且{an}为递增数列⇒q>1◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是()273【错解】

在等差数列中，公差d的符号决定了数列的单调性，即d>0时{an}是递增数列，d<0时{an}是递减数列，d＝0时{an}是常数列．类似地，在等比数列中，公比q与1的相对大小也决定了数列的单调性，故选C.【错因】

等比数列的单调性不但与q有关，还与a1有关．【正解】

当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列{an}为递增数列，故选D.答案：D【错解】在等差数列中，公差d的符号决定了数列的单调性，即d274谢谢观看！谢谢观看！275第2课时等比数列的性质第2课时等比数列的性质276自主学习新知突破自主学习新知突破2771．了解等比数列的性质的由来．2．掌握等比数列的性质并能综合运用．1．了解等比数列的性质的由来．278等比数列的性质等比数列的性质279高中数学必修5(必修五)课件第二章：数列280等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为0；(3)任意两实数的等差中项唯一；(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时am＋an＝ap＋aq(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为0；(3)两同号实数(不为0