高中数学立体几何向量法归纳课件

高中数学立体几何向量法归纳高中数学立体几何向量法归纳1空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直空间空间空间空间加减共线空间知识结构夹角和距离21、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系C'D'B'A'COAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念1、空间直角坐标系以单位正方体3右手直角坐标系空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴右手直角坐标系空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴42、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M5

如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.4、平面的法向量nα3、直线的方向向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,61、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n·a=0且n·b=0可列出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),

便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).3、取某一个变7大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点8例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为:例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-9

例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA

BOzyA1C1B1AxCDD1例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面105、两法向量所成的角与二面角的关系设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1

、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.5、两法向量所成的角与二面角的关系设n1、n2分别是二面角11二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长度公式（向量的模）二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长123、向量的坐标运算公式3、向量的坐标运算公式134、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或147、重心坐标公式6、中点坐标公式7、重心坐标公式6、中点坐标公式159、直线与平面所成角公式

(为

的法向量)8、直线与直线所成角公式10、平面与平面所成角公式

(为二面角两个半平面的法向量）9、直线与平面所成角公式(为的法向量)8、直线与直线所成1611、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,为平面的法向量）12、异面直线的距离公式（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）11、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,17利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所18利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面19四、基本方法1、平行问题四、基本方法1、平行问题20２、垂直问题２、垂直问题21３、角度问题３、角度问题22４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的23例：题型一：线线角五、典型例题例：题型一：线线角五、典型例题24所以：题型一：线线角解：以点C

为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则

C||所以与所成角的余弦值为所以：题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间C||所以25题型二：线线垂直题型二：线线垂直26题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例：题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体27题型三：线面角N又例：在长方体中，题型三：线面角N又例：在长方体28ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEF题型四：线面平行xyz即ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中29DACBBCDAFEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明DACBBCDAFEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的30题型六：面面角设平面xyz题型六：面面角设平面xyz31XYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明XYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A132例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直或证明两平面的法向量垂直例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，ABC33练习练习34练习练习35练习练习36练习练习37练习练习38题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-39ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离40练习练习41练习练习42练习练习43练习练习44高中数学立体几何向量法归纳高中数学立体几何向量法归纳45空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直空间空间空间空间加减共线空间知识结构夹角和距离461、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系C'D'B'A'COAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念1、空间直角坐标系以单位正方体47右手直角坐标系空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴右手直角坐标系空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴482、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M49

如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.4、平面的法向量nα3、直线的方向向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,501、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n·a=0且n·b=0可列出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),

便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).3、取某一个变51大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点52例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为:例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-53

例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA

BOzyA1C1B1AxCDD1例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面545、两法向量所成的角与二面角的关系设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1

、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.5、两法向量所成的角与二面角的关系设n1、n2分别是二面角55二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长度公式（向量的模）二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长563、向量的坐标运算公式3、向量的坐标运算公式574、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或587、重心坐标公式6、中点坐标公式7、重心坐标公式6、中点坐标公式599、直线与平面所成角公式

(为

的法向量)8、直线与直线所成角公式10、平面与平面所成角公式

(为二面角两个半平面的法向量）9、直线与平面所成角公式(为的法向量)8、直线与直线所成6011、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,为平面的法向量）12、异面直线的距离公式（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）11、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,61利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所62利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面63四、基本方法1、平行问题四、基本方法1、平行问题64２、垂直问题２、垂直问题65３、角度问题３、角度问题66４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的67例：题型一：线线角五、典型例题例：题型一：线线角五、典型例题68所以：题型一：线线角解：以点C

为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则

C||所以与所成角的余弦值为所以：题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间C||所以69题型二：线线垂直题型二：线线垂直70题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例：题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体71题型三：线面角N又例：在长方体中，题型三：线面角N又例：在长方体72ABDCA1