高中数学必修四人教版112弧度制10课件

1.1.2弧度制1.1.2弧度制回顾问：我们是用什么单位来度量角的？1º的角是怎样规定的？(2)规定周角的1/360叫做1度的角。(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。单位为“度”（即“º”）不能省略回顾问：我们是用什么单位来度量角的？1º的角是怎样规定的？(一、弧度制新知探究

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。设弧AB的长为:r若=r,则∠AOB==1弧度若=2r,则∠AOB=r=2radr=若=3r,则∠AOB=3radr=rOAB一、弧度制新知探究我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角

思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？lr=3l=3rOABr-3弧度即∠AOB=－lr=－3rad︱∠AOB︳=思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对1.定义：我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：︱α︱=lr其中：

l——以角α为圆心角所对的弧长

r——α角所在圆的半径这种用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。1.定义：︱α︱=lr其中：l——以角α为圆心角所对的弧

弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆的半径之间存在一定的联系么？若存在，请阐述是什么关系？若不存在，说明理由。问题1：结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个2.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；

（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周所对的圆心角的大小；2.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六二、弧度与角度的换算

思考：1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？

2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？2πrad若l=2πr,则∠AOB=lr=若l=πr,则∠AOB=lr=πrad360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrO（B）r二、弧度与角度的换算思考：1.若弧是一个整圆，其圆心角的问题2：180°=π弧度由公式你可推算出：1°等于多少弧度么？1弧度又等于多少度呢？180°=1°×1801°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180结论：问题2：180°=π弧度由公式例题1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把—π

弧度化成度。53解：

解：

练习:

(1)把112º30′化成弧度（用π表示）。(2)把化为角度。例题1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把

例2.请写出一些特殊角的弧度数

注:

1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”

通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。

2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式,

如无特别要求，不用将π化成小数。度

0º30º45º60º90º120º135º150º180º270º360º弧度数例2.请写出一些特殊角的弧度数注:1.用弧度锐角：{θ|0°＜θ＜90°}直角：{θ|θ=90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}小于90°角：{θ|θ＜90°}例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。锐角：{θ|0°＜θ＜90°}例3：请用弧度制表示下列角度所探究：你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？弧长公式：l=nπR/180扇形面积公式：角度制：弧度制：弧长公式：l=αR扇形面积公式：s=½αR=½lR2三.弧长及扇形面积探究：你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下

用弧度制表示弧长及扇形面积公式：

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.①弧长公式：由公式：比公式简单.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：弧长等于弧所对的②扇形面积公式其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则又αR=l，所以②扇形面积公式其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.所以它的面积是证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是而弧长为l的扇形的解：因为60º=,所以l=α·r=×50≈52.5.例4.扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。⌒AB⌒AB答：的长约为52.5米.⌒AB解：因为60º=,所以l=α·r=×例5.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为

，面积为2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.例5.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825º=－5×360º－25º，

所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.合例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿例7.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.所以扇形的中心角是2(π－1)rad.合()º扇形面积是例7.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个仅与角α大小有关的常数,所以作为度量角的标准.2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.正角零角负角正实数零负实数小结1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个仅与角α大小有关的常数,弧度制角度制度量单位弧度(10进制)度(60进制,1=60,1′=60)单位规定把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。周角的1/360叫做1度的角。换算关系

基本关系导出关系

弧度制角度制度量单位弧度(10进制)度(60进制,1=601.1.2弧度制1.1.2弧度制回顾问：我们是用什么单位来度量角的？1º的角是怎样规定的？(2)规定周角的1/360叫做1度的角。(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。单位为“度”（即“º”）不能省略回顾问：我们是用什么单位来度量角的？1º的角是怎样规定的？(一、弧度制新知探究

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。设弧AB的长为:r若=r,则∠AOB==1弧度若=2r,则∠AOB=r=2radr=若=3r,则∠AOB=3radr=rOAB一、弧度制新知探究我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角

思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？lr=3l=3rOABr-3弧度即∠AOB=－lr=－3rad︱∠AOB︳=思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对1.定义：我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：︱α︱=lr其中：

l——以角α为圆心角所对的弧长

r——α角所在圆的半径这种用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。1.定义：︱α︱=lr其中：l——以角α为圆心角所对的弧

弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆的半径之间存在一定的联系么？若存在，请阐述是什么关系？若不存在，说明理由。问题1：结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个2.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；

（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周所对的圆心角的大小；2.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六二、弧度与角度的换算

思考：1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？

2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？2πrad若l=2πr,则∠AOB=lr=若l=πr,则∠AOB=lr=πrad360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrO（B）r二、弧度与角度的换算思考：1.若弧是一个整圆，其圆心角的问题2：180°=π弧度由公式你可推算出：1°等于多少弧度么？1弧度又等于多少度呢？180°=1°×1801°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180结论：问题2：180°=π弧度由公式例题1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把—π

弧度化成度。53解：

解：

练习:

(1)把112º30′化成弧度（用π表示）。(2)把化为角度。例题1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把

例2.请写出一些特殊角的弧度数

注:

1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”

通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。

2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式,

如无特别要求，不用将π化成小数。度

0º30º45º60º90º120º135º150º180º270º360º弧度数例2.请写出一些特殊角的弧度数注:1.用弧度锐角：{θ|0°＜θ＜90°}直角：{θ|θ=90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}小于90°角：{θ|θ＜90°}例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。锐角：{θ|0°＜θ＜90°}例3：请用弧度制表示下列角度所探究：你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？弧长公式：l=nπR/180扇形面积公式：角度制：弧度制：弧长公式：l=αR扇形面积公式：s=½αR=½lR2三.弧长及扇形面积探究：你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下

用弧度制表示弧长及扇形面积公式：

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.①弧长公式：由公式：比公式简单.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：弧长等于弧所对的②扇形面积公式其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则又αR=l，所以②扇形面积公式其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.所以它的面积是证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是而弧长为l的扇形的解：因为60º=,所以l=α·r=×50≈52.5.例4.扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。⌒AB⌒AB答：的长约为52.5米.⌒AB解：因为60º=,所以l=α·r=×例5.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为

，面积为2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，