高中数学几何概型课时练习新人教a版

几何概型一、选择题1．在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0 B．C． D．1[答案]C[解析]由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P(A)＝eq\f(水样的体积,总体积)＝eq\f(2,500)＝.2．设x是一个锐角，则sinx>eq\f(1,2)的概率为()\f(1,2) \f(2,3)\f(1,3) \f(1,6)[答案]B[解析]∵使sinx>eq\f(1,2)的锐角x∈(30°，90°)，∴所求概率为P＝eq\f(90－30,90)＝eq\f(2,3).3．已知直线y＝x＋b的横截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上截距b大于1的概率是()\f(1,5) \f(2,5)\f(3,5) \f(4,5)[答案]A[解析]直线y＝x＋b的横截距－b∈[－2,3]，∴纵截距b∈[－3,2]，故b>1的概率P＝eq\f(2－1,2－(－3))＝eq\f(1,5).4．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()\f(1,π) \f(2,π)\f(\r(2),π) \f(3,π)[答案]B[解析]点落在圆内的任意位，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为eq\r(2).∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝eq\f(2,π).5．(2022·陕西宝鸡)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为()\f(1,4) \f(1,2)\f(π,4) D．π[答案]C[解析]由题意可知，当动点PD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为eq\f(S扇形ABD,S正方形ABCD)＝eq\f(π,4)，故选C.6．已知f(x)＝x2＋x－2x∈D，其中D＝[－3,3]，在D内任取x0，使f(x0)≥0的概率为()A． B．C． D．[答案]D[解析]由xeq\o\al(2,0)＋x0－2≥0得，(x0＋2)(x0－1)≥0，∴x0≤－2或x0≥1，∵x0∈D，∴－3≤x0≤－2或1≤x0≤3，∴所求概率P＝eq\f([－2－(－3)]＋(3－1),3－(－3))＝eq\f(1,2).7．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P与A连结，则弦长超过半径的概率为()\f(1,6) \f(1,3)\f(2,3) \f(1,2)[答案]C[解析]如图，AB＝AC＝R，当点P落在优弧上时，弦长AP>R，∵∠AOB＝∠AOC＝60°，∴的长为圆周长的eq\f(1,3)，∴所求概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).8．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()\f(3,4) \f(7,8)\f(1,2) \f(1,4)[答案]B[解析]由VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC知，P点在三棱锥S－ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－eq\f(VS－A0B0C0,VS－ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，故选B.二、填空题9．(08·江苏文)在平面直角中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．[答案]eq\f(π,16)[解析]如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝eq\f(π×12,4×4)＝eq\f(π,16).10．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m、宽20m的长方形．则此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为________．[答案]eq\f(23,75)[解析]如图是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是SQ＝30×20m2＝600m2，SA＝(30×20－26×16)m2＝∴P(A)＝eq\f(SA,SQ)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75).11．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．[答案]eq\f(53,125)[解析]由三视图可知，该圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝eq\f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq\f(53,125).12．设有一个正方形网最小正方形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．[答案]eq\f(5,9)[解析]设事件A＝“格线有公共点”．事件B＝“硬币落下后与格线没有公共点”，则事件A与事件B互为对立事件．为了确定硬币的位置，由硬币中心向正方形四边引垂线OM、ON、OP、OQ，垂足为M、N、P、Q，事件B发生的充要条件是O到四边的距离都大于1cm，即O在正方形中与它同中心的以4cm为边长的小正方形内．μB＝42＝16(cm2)，μΩ＝62＝36(cm2)．由几何概率公式得P(B)＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).[点评]把硬币与格线关系转化为硬币中心到格线的距离，从而转化为中心所在位置的面积型几何概率问题．三、解答题13．一个路口的红绿灯，红灯亮的，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析]在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝eq\f(亮红灯的时间,全部时间)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(亮黄灯的时间,全部时间)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(黄灯或绿灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).14．(201模考)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，其中a∈(0,2]，b∈(0,2]，求此函数在区间[1，＋∞)上为增函数的概率．[解析]函数f(x)＝ax2－bx－1在[eq\f(b,2a)，＋∞)上为增函数，据已知条件可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)≤1,a>0))，∴b≤2a，如图可知，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)(1＋2)×2,2×2)＝eq\f(3,4).15．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长eq\r(3)的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长eq\r(3)的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长eq\r(3)的概率是多少？[解析](1)设事件A＝“弦长超过eq\r(3)”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于eq\f(1,2)时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)设事件B＝“弦长超过eq\r(3)”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为eq\f(1,2)的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝eq\f(1,4).(3)设事件C＝“弦长超过eq\r(3)”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝eq\r(3)，由几何概率公式知P(C)＝eq\f(1,3).16．(20潭市)下表为某体育训练队跳高成绩(x)与跳远成绩(y)的分布，成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.yy分人数x分跳远54321跳高513101410251321043213600100113(1)求该训练队跳高的平均成绩；(2)现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．求y＝4的概率及x＋y≥8的概率．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5×6＋4×9＋3×10＋2×10＋1×5,40)＝即该训练队跳高的平均成绩为.(2)当y＝4时的概率为p1＝eq\f(7,40)，因为x＋y≥8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝5))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x