复合材料力学第六章2课件

第六章层合板的弯曲、屈曲和振动问题§6-1

基本假定

§6-2

层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程§6-4

各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲§6-5各种特殊简支层合板的振动问题§6-3各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲第六章层合板的弯曲、屈曲和振动问题§6-1基本假定§1§6-1引言和基本假定

一.引言本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度：

拉伸和弯曲耦合刚度Bij

拉伸和剪切耦合刚度A16,A26

弯曲与扭转耦合刚度D16,D26对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响,及其给基本微分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果来讨论：对称角铺设层合板的D16,D26

的重要性；

反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的Bij

的作用。§6-1引言和基本假定一.引言本章的目的主要是论述层合21、直法线假定：（Kirchhoff克希霍夫）层合板变形前垂直于中面的法线，在变形后，仍垂直于中面，而且长度不变3、变形很小，认为是小挠度理论（弯曲问题）认为是小应变理论（屈曲、振动问题）4、忽略体积力2、板很薄：很小，忽略不计。二.基本假定

1、直法线假定：（Kirchhoff克希霍夫）3、变形很小3一、弯曲问题的基本微分方程：1、几何方程：

注意：下标“0”表示中面位移§6-2层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程一、弯曲问题的基本微分方程：注意：下42、物理方程：2、物理方程：5今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移。今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移。63、平衡方程（没有体积力）写成简写形式：3、平衡方程（没有体积力）写成简写形式：7将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到层合板弯曲问题的基本微分方程（简写形式）将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达84.边界条件：

每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四个，所以每个边界需给出四个边界条件。通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件.4.边界条件：9简支边：S位移边界条件半位移半内力内力边界条件半内力半位移S1S2S3S4nt简支边：S位移边界条件半位移半内力内力边界条件半内力半位移S10固支边：(C)法、切向都可动法向独立，切向可动法向可动，切向独立法、切向独立位移二、层合板的屈曲问题基本微分方程

几何、物理与弯曲问题相同

C1C2C3C4固支边：(C)法、切向都可动法向独立，切向可动法向可动，切11平衡方程：其中为已知外加平面内膜内力载荷值变分符号

屈曲前平板保持平的，当外载荷达到某一临界值时，层合板产生微弯状态，即小变形范围。满足平衡方程。平衡方程：其中为已知外加平面内膜内力载荷值变分符号12像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代13前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。因为第三个平衡方程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同，前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一14复合材料力学第六章2课件15边界条件：

简支边(S)固支边：同上一样S1S2S3S4边界条件：固支边：同上一样S116三、振动问题基本微分方程

平衡方程：

与屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力项。这里不再重复，包括边界条件。三、振动问题基本微分方程与屈曲问题平衡方程相17四.求解方法1、解析方法满足边界条件下,三个微分方程联立求解：在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。（简化条件）正交异性.2、近似能量法Rayleigh-Ritz法,Kalekin法3、有限差分法有限元法四.求解方法18一、特殊正交各向异性层合板

只需解一个挠度的微分方程：如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令:

可以满足上微分方程和简支边界条件.对于均布载荷:不必考虑面内边界有关u、v的条件。§6-3

各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲一、特殊正交各向异性层合板如同各向同性板的弯曲微分方程的求解19将w代入微分方程，并对比系数可得：一旦w确定下来，则由几何方程可得应变和。由物理方程的应力应变关系可得应力:将w代入微分方程，并对比系数可得：一旦w确定下来，则由几何方20有正轴应力分量可以考虑强度问题。二、对称角铺设层合板

由于

，仍然只需考虑一个微分方程

由于，微分方程中出现对x、y的奇次微分项。分离变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用近似的能量法：Rayleigh-Ritz法

设一挠度函数满足几何边界条件，自然边界（力）条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表示为：有正轴应力分量可以考虑强度问题。由于21其中：Pw项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开，待定系数则根据最小总势能原理，w满足平衡的条件是：其中：Pw项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开22

的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度降低了板的抗弯刚度。根据m、n取的项数，可得一联立方程组。解出，则w解出。当m=1~7，n=1~7（共49项）时，板中央的挠度为:如果忽略的作用，把板看作是特殊正交各向异性板，则两者误差约24%。设:的存在增加了挠度，说明弯扭耦合23一.对称角铺设层合板

微分方程为：§6-4各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲一.对称角铺设层合板微分方程为：§6-4各种特殊24简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，变量不可分离，同样可以由Rayleigh－Ritz法求解：设屈曲位移为：满足位移边界，不满足自然边界.简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，变量不25代入总势能表达式和运用最小势能原理：由为w满足平衡的条件。在

和

时(Boron/Epoxy)对三种铺设所得解如图。（1）正交各向异性解（2）20层对称角铺设。同上（3）20层为＋θ，考察弯扭耦合影响载荷：x方向均匀压缩Nx代入总势能表达式和运用最小势能原理：由26可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似解的可靠性）。208060400实验点：

20层＋θ20层θ（1）（3）（2）1．22．01．62．4正交各向异性解可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降27二,反对称正交铺设层合板

考察的影响

由于，屈曲微分方程是联立的。二,反对称正交铺设层合板考察28对于S2简支边界条件选取以下位移变分函数对于S2简支边界条件选取以下位移变分函数29设:设:30并令其满足微分方程得：需求最小值在m，n为整数时。（1）（2）（3）（1）（2）解出表示代入（3）得存在非零解的条件是：并令其满足微分方程得：需求最小值在m，n为整数时。（1）（31式中对的石墨/环氧反对称层板的解如下图.式中对32baB11=02层数4602．02．50．51．01．50．51．01．52．02．53．03．5板的长宽比a/bbaB11=02层数4602．02．50．51．01．50．33

（1）∞层时：B11＝0。两层时，B11最大。a/b＝1时，B11＝0的正则比值比二层时高出183％！比四层时高出19％，比六层时高出8％。说明随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数N＝2时，耦合影响最大，最低。在铺层数N<6层时，耦合影响不容忽视。（2）在层数固定时，耦合影响的大小还与E1/E2有关，拉弯耦合影响随

E1/E2比值的升高而增大。（3）整数波时最小.（1）∞层时：B11＝0。两层时，B11最大。a/b＝1时34§6-5各种特殊简支层合板的振动问题

一.特殊正交各向异性层合板所有耦合刚度均为0，只有一个振动微分方程:§6-5各种特殊简支层合板的振动问题

一.特殊正交各35满足简支边界条件（无u，v向）弹性体自由振动是时间的谐函数，所以可选作：满足简支边界条件（无u，v向）弹性体自由振动是时间的谐函数，36可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条件由空间的变分来满足：则振动微分方程存在非零解的条件为：上式中各种频率w对应与不同的m，n值，即不同的振动波形。当m＝n＝1时，得到最低频率－基本频率。可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条则振动37对于的特殊正交各向异性方板和各向同性板的四个最低频率列与下表，其中系数k定义为：波型特殊正交各向异性各向同性mnkmnk第一113.6055112第二125.8309125第三1310.4403215第四2113.0000228各向同性板时对于38相应的波形如下图：特殊正交各向异性

m＝n＝1m＝1n＝2m＝1n＝3m＝2n＝1

m＝n＝1m＝1n＝2

m＝2n＝1m＝2n＝2各向同性虚线为波结线（任何时间是零挠度的线）相应的波形如下图：特殊正交各向异性m＝n＝1m＝139结论：特殊正交各向异性板的四个最低频率与各向同性板不同，特殊正交各向异性板显示了方向的选择。各向同性板第二，三波形不同，频率相同。特殊正交各向异性板的第二，四波型在x，y方向波结线不同时，频率亦不相同。结论：特殊正交各向异性板的四个最低频率与各向同性板40二.反对称角铺设层合板

振动微分方程是联立的。考察的影响和铺设角θ变化的影响二.反对称角铺设层合板振动微分方程是联立的。考察41选取以下位移变分：和满足基本微分方程

可满足S3简支边界条件：选取以下位移变分：和满足基本微分方程可满足S3简支边界条件42在B16=B26=0时，退化为特殊正交各向异性解。Tij均与m，n有关不能直接导出的最小值与m，n的简单关系。数字计算结果表明：

在此处，拉弯耦合刚度的影响与铺层数，铺设角有关，以及与材料性能E1/E2的大小有关。存在非零解的频率条件为：在B16=B26=0时，退化为特殊正交各向异性解。Tij均与43式中式中440º15º30º45º1020246∞0º15º30º45º1020246∞4524601020304050E1/E20．20．40．60．81．024601020304050E1/E20．20．40．60．46小结：Bij：层合板中弯曲和拉伸之间的耦合影响减少了层板的有效刚度，一般会增加挠度和显著地降低屈曲载荷和振动频率。D16，D26：存在扭转与弯曲耦合的层合板，同样时挠度增加，屈曲载荷和频率减少。

无论是存在拉弯耦合或弯扭耦合的情况，对于固定厚度的反对称或对称层合板的挠度，屈曲载荷和振动频率的影响随着铺层数的增加而迅速衰减（层数增加，意味着趋向均匀化），一般认为，当N>6或8时，耦合影响可忽略不计。小结：47第六章层合板的弯曲、屈曲和振动问题§6-1

基本假定

§6-2

层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程§6-4

各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲§6-5各种特殊简支层合板的振动问题§6-3各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲第六章层合板的弯曲、屈曲和振动问题§6-1基本假定§48§6-1引言和基本假定

一.引言本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度：

拉伸和弯曲耦合刚度Bij

拉伸和剪切耦合刚度A16,A26

弯曲与扭转耦合刚度D16,D26对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响,及其给基本微分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果来讨论：对称角铺设层合板的D16,D26

的重要性；

反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的Bij

的作用。§6-1引言和基本假定一.引言本章的目的主要是论述层合491、直法线假定：（Kirchhoff克希霍夫）层合板变形前垂直于中面的法线，在变形后，仍垂直于中面，而且长度不变3、变形很小，认为是小挠度理论（弯曲问题）认为是小应变理论（屈曲、振动问题）4、忽略体积力2、板很薄：很小，忽略不计。二.基本假定

1、直法线假定：（Kirchhoff克希霍夫）3、变形很小50一、弯曲问题的基本微分方程：1、几何方程：

注意：下标“0”表示中面位移§6-2层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程一、弯曲问题的基本微分方程：注意：下512、物理方程：2、物理方程：52今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移。今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移。533、平衡方程（没有体积力）写成简写形式：3、平衡方程（没有体积力）写成简写形式：54将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到层合板弯曲问题的基本微分方程（简写形式）将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达554.边界条件：

每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四个，所以每个边界需给出四个边界条件。通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件.4.边界条件：56简支边：S位移边界条件半位移半内力内力边界条件半内力半位移S1S2S3S4nt简支边：S位移边界条件半位移半内力内力边界条件半内力半位移S57固支边：(C)法、切向都可动法向独立，切向可动法向可动，切向独立法、切向独立位移二、层合板的屈曲问题基本微分方程

几何、物理与弯曲问题相同

C1C2C3C4固支边：(C)法、切向都可动法向独立，切向可动法向可动，切58平衡方程：其中为已知外加平面内膜内力载荷值变分符号

屈曲前平板保持平的，当外载荷达到某一临界值时，层合板产生微弯状态，即小变形范围。满足平衡方程。平衡方程：其中为已知外加平面内膜内力载荷值变分符号59像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代60前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。因为第三个平衡方程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同，前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一61复合材料力学第六章2课件62边界条件：

简支边(S)固支边：同上一样S1S2S3S4边界条件：固支边：同上一样S163三、振动问题基本微分方程

平衡方程：

与屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力项。这里不再重复，包括边界条件。三、振动问题基本微分方程与屈曲问题平衡方程相64四.求解方法1、解析方法满足边界条件下,三个微分方程联立求解：在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。（简化条件）正交异性.2、近似能量法Rayleigh-Ritz法,Kalekin法3、有限差分法有限元法四.求解方法65一、特殊正交各向异性层合板

只需解一个挠度的微分方程：如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令:

可以满足上微分方程和简支边界条件.对于均布载荷:不必考虑面内边界有关u、v的条件。§6-3

各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲一、特殊正交各向异性层合板如同各向同性板的弯曲微分方程的求解66将w代入微分方程，并对比系数可得：一旦w确定下来，则由几何方程可得应变和。由物理方程的应力应变关系可得应力:将w代入微分方程，并对比系数可得：一旦w确定下来，则由几何方67有正轴应力分量可以考虑强度问题。二、对称角铺设层合板

由于

，仍然只需考虑一个微分方程

由于，微分方程中出现对x、y的奇次微分项。分离变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用近似的能量法：Rayleigh-Ritz法

设一挠度函数满足几何边界条件，自然边界（力）条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表示为：有正轴应力分量可以考虑强度问题。由于68其中：Pw项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开，待定系数则根据最小总势能原理，w满足平衡的条件是：其中：Pw项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开69

的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度降低了板的抗弯刚度。根据m、n取的项数，可得一联立方程组。解出，则w解出。当m=1~7，n=1~7（共49项）时，板中央的挠度为:如果忽略的作用，把板看作是特殊正交各向异性板，则两者误差约24%。设:的存在增加了挠度，说明弯扭耦合70一.对称角铺设层合板

微分方程为：§6-4各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲一.对称角铺设层合板微分方程为：§6-4各种特殊71简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，变量不可分离，同样可以由Rayleigh－Ritz法求解：设屈曲位移为：满足位移边界，不满足自然边界.简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，变量不72代入总势能表达式和运用最小势能原理：由为w满足平衡的条件。在

和

时(Boron/Epoxy)对三种铺设所得解如图。（1）正交各向异性解（2）20层对称角铺设。同上（3）20层为＋θ，考察弯扭耦合影响载荷：x方向均匀压缩Nx代入总势能表达式和运用最小势能原理：由73可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似解的可靠性）。208060400实验点：

20层＋θ20层θ（1）（3）（2）1．22．01．62．4正交各向异性解可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降74二,反对称正交铺设层合板

考察的影响

由于，屈曲微分方程是联立的。二,反对称正交铺设层合板考察75对于S2简支边界条件选取以下位移变分函数对于S2简支边界条件选取以下位移变分函数76设:设:77并令其满足微分方程得：需求最小值在m，n为整数时。（1）（2）（3）（1）（2）解出表示代入（3）得存在非零解的条件是：并令其满足微分方程得：需求最小值在m，n为整数时。（1）（78式中对的石墨/环氧反对称层板的解如下图.式中对79baB11=02层数4602．02．50．51．01．50．51．01．52．02．53．03．5板的长宽比a/bbaB11=02层数4602．02．50．51．01．50．80

（1）∞层时：B11＝0。两层时，B11最大。a/b＝1时，B11＝0的正则比值比二层时高出183％！比四层时高出19％，比六层时高出8％。说明随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数N＝2时，耦合影响最大，最低。在铺层数N<6层时，耦合影响不容忽视。（2）在层数固定时，耦合影响的大小还与E1/E2有关，拉弯耦合影响随

E1/E2比值的升高而增大。（3）整数波时最小.（1）∞层时：B11＝0。两层时，B11最大。a/b＝1时81§6-5各种特殊简支层合板的振动问题

一.特殊正交各向异性层合板所有耦合刚度均为0，只有一个振动微分方程:§6-5各种特殊简支层合板的振动问题

一.特殊正交各82满足简支边界条件（无u，v向）弹性体自由振动是时间的谐函数，所以可选作：满足简支边界条件（无u，v向）弹性体自由振动是时间的谐函数，83可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条件由空间的变分来满足：则振动微分方程存在非零解的条件为：上式中各种频率w对应与不同的m，n值，即不同的振动波形。当m＝n＝1时，得到最低频率－基本频率。可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条则振动84对于的特殊正交各向异性方板和各向同性板的四个最低频率列与下表，其中系