高考二次函数(二次函数在区间上的最值)课件

高考第一轮复习（第10讲）二次函数在区间上的最值问题高考第一轮复习（第10讲）二次函数在区间上的最值问题一、定义域为R的二次函数的值域另外也可以从函数的图象上去理解。一、定义域为R的二次函数的值域另外也可以从函数的图象上去理解21-121-13021-121-13021-121-13021-121-130二、定义域不为R的二次函数的值域练习322++-=xxy、的值域当x∈(2,3]时,求函数例1[)3,0]3,2(ÎÎyx时从图象上观察得到当)4,1[)1(-Îx322+-=xxy的值域在下列条件下求函数)11,2[)1(Îy答3-1二、定义域不为R的二次函数的值域练习322++-=xxy、的解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2yxo13a

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值域解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+3

,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2

当x=0时，ymax=3yxo1322a解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1<a<2时1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，,函数在[0,1]上,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,

当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3,函数在[0,1]上单四、动函数定区间的二次函数的值域

例3、求在上的最值。1、由图（1）得：当，即时，2、由图（2）得：当，即时，0a³图（1）10图（2）10四、动函数定区间的二次函数的值域例3、求

例3、求在上的最值。3、由图（3）得：当，即时，4、由图（4）得：当，即时，0图（3）1图（4）1例3、求例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=xyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当a<时,即-1<a<0时,

例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解综上所述:当-1<a<0时,ymax=0

当a≥0时,ymax=

例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=(2)当a<时,即-1<a<0时,

axyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0综上所述:当-1<a<0时,ymax=0例4求函数y=课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及定义区间，应用数形结合法求解。课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二思考讨论：思考讨论：证:(1)令

F(x)=f(x)

-x,由于

x1,x2是方程

f(x)

-x=0

的两根,所以可设

F(x)=a(x-x1)(x-x2).例8.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的两根x1,x2满足

0<x1<x2<

.(1)当

x∈(0,x1)

时,

证明:

x<f(x)<x1;

(2)设函数

f(x)

的图象关于直线

x=x0对称,证明:x0<

.1a2x1∵0<x1<x2<

,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a当

x∈(0,x1)

时,

由

x1<x2及

a>0

有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即

f(x)

-x>0,从而

f(x)>x.又

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴

x1-f(x)>0,从而

x1>f(x).

故当

x∈(0,x1)

时,

有

x<f(x)<x1;证:(1)令F(x)=f(x)-x,由于x1,(2)依题意

x0=-.

2ab由于

x1,x2是方程

f(x)-x=0

即

ax2+(b-1)x+c=0

的两根,∴

x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a

∴

x0=-2ab1-a(x1+x2)

2a

=-a(x1+x2)-12a

=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a

=<=.∴

x02aax1故

x0<.2x1例8.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的两根x1,x2满足

0<x1<x2<

.(1)当

x∈(0,x1)

时,

证明:

x<f(x)<x1;

(2)设函数

f(x)

的图象关于直线

x=x0对称,证明:x0<

.1a2x1(2)依题意x0=-.2ab由于x1,x2是例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.解:(1)令

t=sinx,

则方程

2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解等价于:方程

2t2-4at+1-a=0

有一根为

0,另一根不在

(0,1)

内;或方程

2t2-4at+1-a=0

在

(0,1)

内有两等根;

或方程

2t2-4at+1-a=0

有一解在

(0,1)

内,另一解在[0,1]外.

当

t=0

时,a=1,方程

2t2-4at+1-a=0

的另一根为

2

且

2(0,1),∴a=1

适合题意;

方程

2t2-4at+1-a=0

有两等根时,由

△=16a2-8(1-a)=0

得:a=-1

或.12例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0在例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.∵a=-1时,方程

2t2-4at+1-a=0

的两等根为-1

但

-

1(0,1),∴a=-1

不合题意,舍去;12又a=时,方程

2t2-4at+1-a=0

的两等根为

且(0,1),1212∴a=

适合题意;

12

设

f(t)=2t2-4at+1-a,则方程

2t2-4at+1-a=0有一解在(0,1)内,另一解在[0,1]外等价于:f(0)f(1)<0,即

(1-a)(3-5a)<0.解得

<a<1.

35综上所述,实数

a

的取值范围是a=,或<a≤1.3512解法二:分离参数:a=…(0≤sinx<1)来求.要注意不适合题意的情况.例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0在

(2)令

t=sinx,

则不等式

2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立等价于不等式

2t2-4at+1-a>0

在[0,1]上恒成立.等价于或或a<0f(0)>00≤a≤1f(a)>0a>1f(1)>0.即或或a<01-a>00≤a≤12a2+a-1<0a>13-5a>0.解得

a<,

12此即为所求实数

a

的取值范围.

例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.(2)令t=sinx,则不等式2sin2x-4a【例8】(06浙江)设，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证：（1）a>0且（2）方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根。【分析】通过已知条件消去c便可得到a与b的关系,从而得出b/a的范围，要证f(x)=0在(0,1)内有两个实根，只需证明对称轴在(0,1)之间且顶点的纵坐标小于0即可。【例8】(06浙江)设高考第一轮复习（第10讲）二次函数在区间上的最值问题高考第一轮复习（第10讲）二次函数在区间上的最值问题一、定义域为R的二次函数的值域另外也可以从函数的图象上去理解。一、定义域为R的二次函数的值域另外也可以从函数的图象上去理解21-121-13021-121-13021-121-13021-121-130二、定义域不为R的二次函数的值域练习322++-=xxy、的值域当x∈(2,3]时,求函数例1[)3,0]3,2(ÎÎyx时从图象上观察得到当)4,1[)1(-Îx322+-=xxy的值域在下列条件下求函数)11,2[)1(Îy答3-1二、定义域不为R的二次函数的值域练习322++-=xxy、的解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2yxo13a

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值域解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+3

,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2

当x=0时，ymax=3yxo1322a解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1<a<2时1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，,函数在[0,1]上,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,

当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3,函数在[0,1]上单四、动函数定区间的二次函数的值域

例3、求在上的最值。1、由图（1）得：当，即时，2、由图（2）得：当，即时，0a³图（1）10图（2）10四、动函数定区间的二次函数的值域例3、求

例3、求在上的最值。3、由图（3）得：当，即时，4、由图（4）得：当，即时，0图（3）1图（4）1例3、求例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=xyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当a<时,即-1<a<0时,

例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解综上所述:当-1<a<0时,ymax=0

当a≥0时,ymax=

例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=(2)当a<时,即-1<a<0时,

axyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0综上所述:当-1<a<0时,ymax=0例4求函数y=课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及定义区间，应用数形结合法求解。课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二思考讨论：思考讨论：证:(1)令

F(x)=f(x)

-x,由于

x1,x2是方程

f(x)

-x=0

的两根,所以可设

F(x)=a(x-x1)(x-x2).例8.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的两根x1,x2满足

0<x1<x2<

.(1)当

x∈(0,x1)

时,

证明:

x<f(x)<x1;

(2)设函数

f(x)

的图象关于直线

x=x0对称,证明:x0<

.1a2x1∵0<x1<x2<

,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a当

x∈(0,x1)

时,

由

x1<x2及

a>0

有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即

f(x)

-x>0,从而

f(x)>x.又

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴

x1-f(x)>0,从而

x1>f(x).

故当

x∈(0,x1)

时,

有

x<f(x)<x1;证:(1)令F(x)=f(x)-x,由于x1,(2)依题意

x0=-.

2ab由于

x1,x2是方程

f(x)-x=0

即

ax2+(b-1)x+c=0

的两根,∴

x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a

∴

x0=-2ab1-a(x1+x2)

2a

=-a(x1+x2)-12a

=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a

=<=.∴

x02aax1故

x0<.2x1例8.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的两根x1,x2满足

0<x1<x2<

.(1)当

x∈(0,x1)

时,

证明:

x<f(x)<x1;

(2)设函数

f(x)

的图象关于直线

x=x0对称,证明:x0<

.1a2x1(2)依题意x0=-.2ab由于x1,x2是例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.解:(1)令

t=sinx,

则方程

2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解等价于:方程

2t2-4at+1-a=0

有一根为

0,另一根不在

(0,1)

内;或方程

2t2-4at+1-a=0

在

(0,1)

内有两等根;

或方程

2t2-4at+1-a=0

有一解在

(0,1)

内,另一解在[0,1]外.

当

t=0

时,a=1,方程

2t2-4at+1-a=0

的另一根为

2

且

2(0,1),∴a=1

适合题意;

方程

2t2-4at+1-a=0

有两等根时,由

△=16a2-8(1-a)=0

得:a=-1

或.12例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0在例8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.∵a=-1时,方程

2t