开环极点开环零点课件

第四章根轨迹法经典控制理论的两大代表性方法之一W.R.Evans1948年提出根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)-D2(s)E(s)第四章根轨迹法经典控制理论的两大代表性方法之一1本章主要内容根轨迹基本概念绘制根轨迹的基本依据及规则参数根轨迹串联校正的综合（自学）本章主要内容根轨迹基本概念24-1.根轨迹基本概念开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。根轨迹的定义：D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)-D2(s)E(s)常规根轨迹参数根轨迹4-1.根轨迹基本概念开环传递函数的某一参数从0变到∞时，3R(s)Y(s)-例：-20××jR(s)Y(s)-例：-20××j4由根轨迹图分析系统性能:１.稳定性因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ>0都是稳定的。２.暂态性能0<K≤0.5时，特征根为实根，过阻尼系统，响应为非振荡型；K＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系统，响应为衰减振荡；可根据性能要求设置闭环极点。３．稳态性能开环传函有一个位于坐标原点的极点I型系统阶跃响应的稳态误差为0；闭环极点确定→K确定→其他响应的稳态误差确定。

j0-2-112-2K=0K=0K=0.5-1K=1K=2.5K=1K=2.5当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？由根轨迹图分析系统性能:３．稳态性能开环传函有一个位于坐5特征方程为：

1+G(s)H(s)=0即：G(s)H(s)=-1相角条件4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件G(s)H(s)-R(s)Y(s)幅值条件-10jGH平面-20××js平面特征方程为：相角条件4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件G(6零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据幅值条件主要用于特征根s确定时求Kg

零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：相角条件及特征方程7幅值条件和相角条件的几何意义×p2×p1s0×p3Oz1幅值条件和相角条件的几何意义×p2×p1s0×p3Oz184-3.绘制根轨迹的基本规则二．根轨迹的对称性特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。三．根轨迹的起点和终点起点对应于时的特征根位置，终点则对应于时的特征根位置。一．根轨迹的分支数根轨迹的分支数=n，

与开环极点数相同。4-3.绘制根轨迹的基本规则二．根轨迹的对称性特征方9特征方程可改写为当，必有，即起点是开环极点；当，必有，即开环零点是终点。对于控制系统，一般n>m（有n-m个无穷远处零点），所以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点）。如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹→∞Kg=0Kg=0××Kg∞Kg∞-1jωσKg=0.5-20特征方程可改写为当，必有，即起点是开环极点；10四．实轴上的根轨迹

在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。jωσ××××依据：１．共轭复数零、极点到s1的相角之和为0°，相互抵消；２．实轴上s1点左侧的开环零、极点提供的相角为0°，而右侧的相角均为180°。四．实轴上的根轨迹在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零11例：①∵有三个极点，根轨迹有三条分支②∵n=3,m=2∴有３-２＝１条

根轨迹→∞，２条终止于开环零点。×××-2-4σjωoo-3-1③实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹例：①∵有三个极点，根轨迹有三条分支②∵n=3,m12仿真结构图取Kg=2,5,10,50仿真结构图取Kg=2,5,10,5013系统的单位阶跃响应Kg=2Kg=50Kg=5Kg=10Kg↑极点与虚轴距离↑，2个极点→零点（偶极子）快速性↑系统的单位阶跃响应Kg=2Kg=50Kg=5Kg=10Kg↑14五．根轨迹的渐近线１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处分支的渐近线的倾角为当时，求得的渐近线倾角最小，k增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有（n－m）条．五．根轨迹的渐近线１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处分支的15渐近线的交点总在实轴上，即必为实数．共轭复数零、极点的虚部相互抵消计算时只须代入开环零、极点的实部．２.渐近线与实轴的交点渐近线的交点总在实轴上，即必为实数．２.渐近线与实轴16例：求根轨迹。解：①在s平面中确定开环零、极点的位置；

×××-1-2σjω②确定实轴上的根轨迹；③n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向

无穷远处；④确定渐近线的位置-0.423Kg=6Kg=6-60°60°例：求根轨迹。解：①在s平面中确定开环零、极点的位置；17六.分离点和会合点两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。求解：特点：Kg在分离点上取极值，或特征方程有重根。注：两式等价，只须用其中之一，且只是必要条件六.分离点和会合点两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇18续前例：求分离点上的坐标。系统的特征方程为即上式的根分离点在０至-１之间，应取s1=-0.423用幅值条件确定分离点的增益：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°续前例：求分离点上的坐标。上式的根分离点在０至-１之间，19七.根轨迹与虚轴的交点在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。计算：（1）将s=jω代入特征方程求解；（2）利用劳斯判据确定（见教材）。七.根轨迹与虚轴的交点在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出20续前例，将代入特征方程。实部虚部×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°续前例，将代入特征方程。实部虚部×××-1-2σjω-21利用MATLAB绘制根轨迹图

Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)

rlocus(a)或a=tf([1],[1320])利用MATLAB绘制根轨迹图

Command：或a=t22利用MATLAB根轨迹图获取信息Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)rlocus(a)sgrid绘制等阻尼比线利用MATLAB根轨迹图获取信息Command：绘制等阻23仿真结构图取Kg=0.2,0.385,0.5,1,5（分离点）（ζ=0.84）（ζ=0.51）（ζ=0.035）仿真结构图取Kg=0.2,0.385,24系统的单位阶跃响应Kg=0.2Kg=0.385Kg=5Kg=0.5Kg=1系统的单位阶跃响应Kg=0.2Kg=0.385Kg=5Kg=25八.根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角．入射角：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实轴方向的夹角．j出射角入射角八.根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环极点的切26出射角和入射角的计算：j出射角入射角出射角和入射角的计算：j出射角入射角27则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图p2p1p3p4z1z2z3j1-1-2-1如何从p2,3出发并趋向z2,3？则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图p2p1p3p4z1z228根轨迹从p2出发的出射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1根轨迹从p2出发的出射角:p2p1p3p4z1z2z31-129根轨迹到达z2的入射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1根轨迹到达z2的入射角:p2p1p3p4z1z2z31-30j根轨迹图响应性能与Kg的关系?j根轨迹图响应性能与Kg的关系?31仿真结构图取Kg=0.5,1,5,10,20,50仿真结构图取Kg=0.5,1,5,32系统的单位阶跃响应Kg=0.5Kg=1Kg=5Kg=20Kg=10Kg=50系统的单位阶跃响应Kg=0.5Kg=1Kg=5Kg=20Kg33九.特征方程的根之和=开环极点之和

（n-m≥2）计算时只须代入实部．上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动（见前面例）；还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。九.特征方程的根之和=开环极点之和

34闭环极点及传递函数的确定：根据性能要求确定主导极点由主导极点确定根轨迹增益由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点要求一对主导极点的阻尼比ζ=0.707续前例：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°闭环极点及传递函数的确定：根据性能要求确定主导极点要求一对主351.画出ζ线并确定主导极点1.画出ζ线并确定主导极点362．主导极点处对应的增益值用幅值条件求0.731.660.542．主导极点处对应的增益值用幅值条件求0.731.660.537如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？分别令实部和虚部为零，可得虚部≠实部

时如何求？如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？分别令实部和虚部383．求另一个闭环极点3．求另一个闭环极点39若为单位反馈系统（H=1），

则闭环传函为4．求闭环传递函数G(s)H(s)-R(s)Y(s)若为单位反馈系统（H=1），

则闭环传函为4．求闭环传递函数40零度根轨迹与根轨迹族的概念G(s)H(s)-R(s)Y(s)K1从0变到+∞时，闭环极点的变化轨迹称为零度根轨迹。零度根轨迹还可用于分析正反馈系统和非最小相位系统（有右半s平面零点或极点）。零度根轨迹与根轨迹族的概念G(s)H(s)-R(s)Y(s)41有右半s平面零点或极点的系统：有右半s平面极点的情况同理。G(s)H(s)-R(s)Y(s)有右半s平面零点或极点的系统：有右半s平面极点的情况同理。G42G(s)H(s)R(s)Y(s)正反馈系统：根轨迹族：开环传递函数有多个参数变化时，闭环系统极点在s平面上的变化轨迹。G(s)H(s)R(s)Y(s)正反馈系统：根轨迹族：开环传43例：已知系统结构图，绘制以α为可变参数

（从0变到∞）的根轨迹.--4-4.参数根轨迹相当于一种反馈校正例：已知系统结构图，绘制以α为可变参数

（从0变44（1）系统的开环传递函数与特征方程特征方程为（2）以为参变量，特征方程可改写为即绘制的根轨迹（等效开环传函）--等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同即改写前后的特征方程或特征根等效。（1）系统的开环传递函数与特征方程特征方程为（2）以为参变45（3）开环极点开环零点（4）实轴上的根轨迹（5）会合点求，得

（6）出射角（3）开环极点（4）实轴上的根轨迹46若要求闭环极点s1,2=-1，如何求闭环传函？α对响应性能的影响？若要求闭环极点s1,2=-1，如何求闭环传函？α对响应47注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等效开环传函。求闭环传递函数：--α=1练习：通过仿真验证α的作用注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等48G(s)H(s)-R(s)Y(s)例：绘制以b为参变量的根轨迹。特征方程为绘制以Kb为参数,Gb的根轨迹图（绘制过程略）.相当于一种串联校正G(s)H(s)-R(s)Y(s)例：绘制以b为参变量的根轨49b对响应性能的影响？b对响应性能的影响？50绘制系统的根轨迹图；分析根轨迹图，估计开环增益或其他参数对闭环极点分布的影响；根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应性能；对高阶系统要尽可能找出它的闭环主导极点；若由根轨迹图无法确定满意的闭环极点，可通过增加校正装置（串联或反馈）来改变开环传函，从而改变根轨迹。根轨迹法分析系统的一般步骤：绘制系统的根轨迹图；根轨迹法分析系统的一般步骤：51练习B4.1,B4.4(2),B4.7练习B4.1,B4.4(2),52第四章根轨迹法经典控制理论的两大代表性方法之一W.R.Evans1948年提出根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)-D2(s)E(s)第四章根轨迹法经典控制理论的两大代表性方法之一53本章主要内容根轨迹基本概念绘制根轨迹的基本依据及规则参数根轨迹串联校正的综合（自学）本章主要内容根轨迹基本概念544-1.根轨迹基本概念开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。根轨迹的定义：D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)-D2(s)E(s)常规根轨迹参数根轨迹4-1.根轨迹基本概念开环传递函数的某一参数从0变到∞时，55R(s)Y(s)-例：-20××jR(s)Y(s)-例：-20××j56由根轨迹图分析系统性能:１.稳定性因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ>0都是稳定的。２.暂态性能0<K≤0.5时，特征根为实根，过阻尼系统，响应为非振荡型；K＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系统，响应为衰减振荡；可根据性能要求设置闭环极点。３．稳态性能开环传函有一个位于坐标原点的极点I型系统阶跃响应的稳态误差为0；闭环极点确定→K确定→其他响应的稳态误差确定。

j0-2-112-2K=0K=0K=0.5-1K=1K=2.5K=1K=2.5当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？由根轨迹图分析系统性能:３．稳态性能开环传函有一个位于坐57特征方程为：

1+G(s)H(s)=0即：G(s)H(s)=-1相角条件4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件G(s)H(s)-R(s)Y(s)幅值条件-10jGH平面-20××js平面特征方程为：相角条件4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件G(58零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据幅值条件主要用于特征根s确定时求Kg

零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：相角条件及特征方程59幅值条件和相角条件的几何意义×p2×p1s0×p3Oz1幅值条件和相角条件的几何意义×p2×p1s0×p3Oz1604-3.绘制根轨迹的基本规则二．根轨迹的对称性特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。三．根轨迹的起点和终点起点对应于时的特征根位置，终点则对应于时的特征根位置。一．根轨迹的分支数根轨迹的分支数=n，

与开环极点数相同。4-3.绘制根轨迹的基本规则二．根轨迹的对称性特征方61特征方程可改写为当，必有，即起点是开环极点；当，必有，即开环零点是终点。对于控制系统，一般n>m（有n-m个无穷远处零点），所以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点）。如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹→∞Kg=0Kg=0××Kg∞Kg∞-1jωσKg=0.5-20特征方程可改写为当，必有，即起点是开环极点；62四．实轴上的根轨迹

在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。jωσ××××依据：１．共轭复数零、极点到s1的相角之和为0°，相互抵消；２．实轴上s1点左侧的开环零、极点提供的相角为0°，而右侧的相角均为180°。四．实轴上的根轨迹在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零63例：①∵有三个极点，根轨迹有三条分支②∵n=3,m=2∴有３-２＝１条

根轨迹→∞，２条终止于开环零点。×××-2-4σjωoo-3-1③实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹例：①∵有三个极点，根轨迹有三条分支②∵n=3,m64仿真结构图取Kg=2,5,10,50仿真结构图取Kg=2,5,10,5065系统的单位阶跃响应Kg=2Kg=50Kg=5Kg=10Kg↑极点与虚轴距离↑，2个极点→零点（偶极子）快速性↑系统的单位阶跃响应Kg=2Kg=50Kg=5Kg=10Kg↑66五．根轨迹的渐近线１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处分支的渐近线的倾角为当时，求得的渐近线倾角最小，k增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有（n－m）条．五．根轨迹的渐近线１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处分支的67渐近线的交点总在实轴上，即必为实数．共轭复数零、极点的虚部相互抵消计算时只须代入开环零、极点的实部．２.渐近线与实轴的交点渐近线的交点总在实轴上，即必为实数．２.渐近线与实轴68例：求根轨迹。解：①在s平面中确定开环零、极点的位置；

×××-1-2σjω②确定实轴上的根轨迹；③n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向

无穷远处；④确定渐近线的位置-0.423Kg=6Kg=6-60°60°例：求根轨迹。解：①在s平面中确定开环零、极点的位置；69六.分离点和会合点两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。求解：特点：Kg在分离点上取极值，或特征方程有重根。注：两式等价，只须用其中之一，且只是必要条件六.分离点和会合点两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇70续前例：求分离点上的坐标。系统的特征方程为即上式的根分离点在０至-１之间，应取s1=-0.423用幅值条件确定分离点的增益：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°续前例：求分离点上的坐标。上式的根分离点在０至-１之间，71七.根轨迹与虚轴的交点在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。计算：（1）将s=jω代入特征方程求解；（2）利用劳斯判据确定（见教材）。七.根轨迹与虚轴的交点在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出72续前例，将代入特征方程。实部虚部×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°续前例，将代入特征方程。实部虚部×××-1-2σjω-73利用MATLAB绘制根轨迹图

Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)

rlocus(a)或a=tf([1],[1320])利用MATLAB绘制根轨迹图

Command：或a=t74利用MATLAB根轨迹图获取信息Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)rlocus(a)sgrid绘制等阻尼比线利用MATLAB根轨迹图获取信息Command：绘制等阻75仿真结构图取Kg=0.2,0.385,0.5,1,5（分离点）（ζ=0.84）（ζ=0.51）（ζ=0.035）仿真结构图取Kg=0.2,0.385,76系统的单位阶跃响应Kg=0.2Kg=0.385Kg=5Kg=0.5Kg=1系统的单位阶跃响应Kg=0.2Kg=0.385Kg=5Kg=77八.根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角．入射角：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实轴方向的夹角．j出射角入射角八.根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环极点的切78出射角和入射角的计算：j出射角入射角出射角和入射角的计算：j出射角入射角79则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图p2p1p3p4z1z2z3j1-1-2-1如何从p2,3出发并趋向z2,3？则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图p2p1p3p4z1z280根轨迹从p2出发的出射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1根轨迹从p2出发的出射角:p2p1p3p4z1z2z31-181根轨迹到达z2的入射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1根轨迹到达z2的入射角:p2p1p3p4z1z2z31-82j根轨迹图响应性能与Kg的关系?j根轨迹图响应性能与Kg的关系?83仿真结构图取Kg=0.5,1,5,10,20,50仿真结构图取Kg=0.5,1,5,84系统的单位阶跃响应Kg=0.5Kg=1Kg=5Kg=20Kg=10Kg=50系统的单位阶跃响应Kg=0.5Kg=1Kg=5Kg=20Kg85九.特征方程的根之和=开环极点之和

（n-m≥2）计算时只须代入实部．上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动（见前面例）；还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。九.特征方程的根之和=开环极点之和

86闭环极点及传递函数的确定：根据性能要求确定主导极点由主导极点确定根轨迹增益由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点要求一对主导极点的阻尼比ζ=0.707续前例：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°闭环极点及传递函数的确定：根据性能要求确定主导极点要求一对主871.画出ζ线并确定主导极点1.画出ζ线并确定主导极点882．主导极点处对应的增益值用幅值条件求0.731.660.542．主导极点处对应的增益值用幅值条件求0.731.660.589如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？分别令实部和虚部为零，可得虚部≠实部

时如何求？如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？分别令实部和虚部903．求另一个闭环极点3．求另一个闭环极点91若为单位反馈系统（H=1），

则闭环传函为4．求闭环传递函数G(s)H(s)-R(s)Y(s)若为单位反馈系统（H=1），

则闭环传函为4．求闭环传递函数92零度根轨迹与根轨迹族的概念G(s)H(s)-R(s)Y(s)K1从0变到+∞时，闭环极点的变化轨迹称为零度根