高数幂级数详解和习题课件

第三节幂级数一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结练习题25-11月-221第三节幂级数一、函数项级数的一般概念23-11月-22一、函数项级数的一般概念1.定义:25-11月-222一、函数项级数的一般概念1.定义:23-11月-2222.收敛点与收敛域:25-11月-2232.收敛点与收敛域:23-11月-223函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)25-11月-224函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:25-11月-225二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:23-11月-22几何说明收敛区域发散区域发散区域25-11月-226几何说明收敛区域发散区域发散区域23-11月-226推论25-11月-227推论23-11月-227定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域为以下几个区间之一：25-11月-228定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收证明25-11月-229证明23-11月-229由比值审敛法,25-11月-2210由比值审敛法,23-11月-2210定理证毕.25-11月-2211定理证毕.23-11月-2211例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散25-11月-2212例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散23-25-11月-221323-11月-2213发散收敛故收敛域为(0,1].25-11月-2214发散收敛故收敛域为(0,1].23-11月-2214解缺少偶次幂的项级数收敛,25-11月-2215解缺少偶次幂的项级数收敛,23-11月-2215级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为25-11月-2216级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为23-11月-三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中25-11月-2217三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中23-(2)乘法(其中25-11月-2218(2)乘法(其中23-11月-2218(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:25-11月-2219(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)(收敛半径不变)25-11月-2220(收敛半径不变)23-11月-2220(收敛半径不变)25-11月-2221(收敛半径不变)23-11月-2221解两边积分得25-11月-2222解两边积分得23-11月-222225-11月-222323-11月-2223解25-11月-2224解23-11月-222425-11月-222523-11月-2225解收敛区间(-1,1),25-11月-2226解收敛区间(-1,1),23-11月-2226常用已知和函数的幂级数25-11月-2227常用已知和函数的幂级数23-11月-2227四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:25-11月-2228四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析思考题

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？25-11月-2229思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是25-11月-2230思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是练习题25-11月-2231练习题23-11月-223125-11月-223223-11月-2232练习题答案25-11月-2233练习题答案23-11月-2233第三节幂级数一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结练习题25-11月-2234第三节幂级数一、函数项级数的一般概念23-11月-22一、函数项级数的一般概念1.定义:25-11月-2235一、函数项级数的一般概念1.定义:23-11月-2222.收敛点与收敛域:25-11月-22362.收敛点与收敛域:23-11月-223函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)25-11月-2237函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:25-11月-2238二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:23-11月-22几何说明收敛区域发散区域发散区域25-11月-2239几何说明收敛区域发散区域发散区域23-11月-226推论25-11月-2240推论23-11月-227定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域为以下几个区间之一：25-11月-2241定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收证明25-11月-2242证明23-11月-229由比值审敛法,25-11月-2243由比值审敛法,23-11月-2210定理证毕.25-11月-2244定理证毕.23-11月-2211例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散25-11月-2245例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散23-25-11月-224623-11月-2213发散收敛故收敛域为(0,1].25-11月-2247发散收敛故收敛域为(0,1].23-11月-2214解缺少偶次幂的项级数收敛,25-11月-2248解缺少偶次幂的项级数收敛,23-11月-2215级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为25-11月-2249级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为23-11月-三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中25-11月-2250三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中23-(2)乘法(其中25-11月-2251(2)乘法(其中23-11月-2218(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:25-11月-2252(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)(收敛半径不变)25-11月-2253(收敛半径不变)23-11月-2220(收敛半径不变)25-11月-2254(收敛半径不变)23-11月-2221解两边积分得25-11月-2255解两边积分得23-11月-222225-11月-225623-11月-2223解25-11月-2257解23-11月-222425-11月-225823-11月-2225解收敛区间(-1,1),25-11月-2259解收敛区间(-1,1),23-11月-2226常用已知和函数的幂级数25-11月-2260常用已知和函数的幂级数23-11月-2227四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:25-11月-2261四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析思考题

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？25-11月-2262思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那