课件-p态和力学量表象

态和力学量表象§1

态的表象§2

算符的矩阵表示§3

量子力学公式的矩阵表述§4 Dirac

符号§5

占有数表象§6

么正变换矩阵§4 Dirac

符号(一）引言(二)态矢量（三）算符（四）总结前四章给出的都是X-表象中的形式，本章中给出了任一力学量Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一样。量子力学可以不涉及具体表象来

粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由

Dirac

首先

的，所以该方法所使用的符号称为

Dirac

符号。(一）引言（1）右矢空间前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。例如：一维线性谐振子其状态由量子数n

确定，记为ψn(x)；氢原子的状态由量子数n,l,

m

确定，记为ψn

lm(r,,)，如此等等。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量|>与量子状态相对应，该矢量称为右矢。|n

>

ψn(x)； |n,

l,

m>

ψn

l

m状态|n>和ψn(x)亦可分别记成|ψn

>和|ψn

l

m

>。对力学量的本征态可表示为

|x>,

|p>, |Qn>

...

等。因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量|ψ>可按该空间的某一完备基矢展开。例如：nn|

a

|

n

(二)态矢量（2）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为<|。例如：左矢空间右矢空间<n

||n

><

n,l,m

||n,l,m

><x'

||x'

><A

||A

><

l,m

||l,m

><p'

||p'

><Q_n

||Q_n

>左矢，braket,右矢Dirac

符号右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ

|和|ψ>称为伴矢量。<p’|,<x’|,<Qn

|组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。（3）伴矢量|ψ>和<ψ

|的关系|ψ>按Q的右基矢|Qn

>展开|ψ

>

=

a1

|Q1

>+

a2

|Q2

>+

...

+

an

|Qn

>+

...展开系数即相当于Q表象中的表示：

an

a2

a1

<ψ|按Q的左基矢<Qn

|展开：<ψ|=

a*1

<Q1

|

+

a*2

<Q2

|

+

...

+

a*n

<Qn展开系数即相当于Q表象中的表示：ψ+

=

(a*1,

a*2,

...,

a*n,

...

)|

+

...同理某一左矢量<φ|亦可按Q的左基矢展开：<φ|

=b*1

<Q1

|+

b*2

<Q2

|+...+b*n

<Qn

|+...定义|ψ>和<φ|的标积为：n

nnb

a*

|

显然<φ|ψ>*

=

<ψ|φ>*

n

nna

a

1

|

这就是用Dirac表示的波函数归一化条件。由标积定义得:本征态的正交归一化条件可写为：

|

nm

分立谱

ppp)p'''(''|'连续谱

xxx)x'''(''|'连续谱由此可以看出|ψ>和<ψ|的关系：在同一确定表象中，各分量互为复共轭；由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。（4）本征函数的封闭性展开式nan|

Qn

|

两边左乘<Qm

|得:)

m(|)nnn将a

代回原式得：

Qm

|

||

nn因为|ψ>是任意态矢量，所以|n

n成立。本征矢|Qn

>的封闭性I

分立谱对于连续谱|q>，q

取连续值，任一状态|ψ>展开式为：II

连续谱q

|左乘<q'|

aq'(t)q

代入原式q

1

因为|ψ> 是任意态矢，所以有q

|||

|

p'

dp'

p'|

1|

x'

dx'

x'|

1同理，对于|x’>和|p'>分

别

有这就是连续本征值的本征矢的封闭性。| '

q'|

1|

x'

dx'

x'|

1|

p'

dp'

p'|

1|

1|nn由于所以它们也称为单位算符，在运算中可插

入（乘到）公式任何地方而

不改变原公式的正确性。例如：在

|ψ

>

左侧

算符|

n

| |

|nn

|

n同理|

x'

dx'

x'|

|

p'

dp'

p'|

|

|

即得态矢按各种力学量本征矢的展开式投影算符|Qn><Qn|或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>

投影到基矢|Qn>或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Qn>上的分量

<Qn|ψ>

或

<q|ψ>。故称

|Qn><Qn|

和

|q><q|

为投影算符。因为|ψ>在X表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：

|x

x

|

*

*(

x,

t

)

x

|

(

x,

t

)封闭性在

X表象中的表示左乘<x|右乘|x'>xx'|x'|q

1nn

un

*(

x')un

(

x)

(

x

x')n')

u(x)dx

(

un

*

(x)um(x)dx

nm正交归一性的表示式是对坐标的积分：封闭性表示式是对本征值求和或积分：

unn

ux un

x

*(')(x'())

xx

dq

*(')(x'())x所以，也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。n

|分立谱n

n

(

x)dq

(

x

x')

u连续谱|||xxx

封闭性与正交归一性比较在形式上二者相似区别(1)右矢空间

(

x,

t

)

Fˆ

(

x,

pˆ

)(

x,

t

)在抽象的Dirac表象|

Fˆ

|

Dirac

符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至Q表象，则只需在适当位置

单位算符。m左乘

<Q

|

n

|

Qm

|

Fˆ

|n把公式

变到Q表象算符F

在Q

表象中的矩阵表示的矩阵元Fm

n写成矩阵形式

11n

1,

Q

|

Q

|

Fˆ

|

Q

Qn

|

2

|

Fˆ

|

Q2

,

Q2

|

Q1

|

Fˆ

|1

|

Fˆ

|

Q2

Qn

|

Q2

|

Q2

|

Fˆ

|

Q

|

ψ=F

φQ

表象X表象

|n

|

1n（三）算符平均值公式F

|

Fˆ

|

单位算符|nmmn

F|F

m

m

||

ˆmnm

mn

nmna

F

a*（2）共轭式（左矢空间）m

|

Fˆ

|

Q

n

|n

|

|

Fˆ

||

ˆ

|

QFn

m

nnnn

|

Q

nm(F

)nm

nnF~*

|

Q

n

Fmn*

Qn

|

**

n*

Fmn

Qn

|

ˆ

Qm

|

F

|

n

|

n|

|

m

|

|

Fˆ表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。若F是厄密算符例：力学量算符 x

在动量中的形式左乘<

p

|

p

|

p

|

xˆ

|

p

|

xˆ

|

p

dp

p

|

p

|x

dx

x

|xˆ

|

x

dx

x

|

p

|

xˆ

|

p

|

xˆ

|

p

p

|

x

dxx

x

|

x

dx

x

|

p

p

|

x

dxx(x

x)dx

x

|

p

p

|

x

xdx

x

|

p

pxipxixe

dx

e

21i

i

px

px

i

pe1

e dx

2dxpx

pxi

ie

ei2

p1p

i

(

p

p)代回原式

p

|

p

|

xˆ

|

p

|

xˆ

|

p

dp

p

|

i

(

p

p)dp

p

|

i

p

|

p

p故坐标算符x在动量表象中取如下形式:pxˆ

i

（1）X表象描述与Dirac符号

(t

)

|

(t

)

1ˆ(

x,

t

)F

(r

,i)*

*

(

x,

t

)(

x,

t

)dx

1u

(

x)u

(

x)dxF|

(t

)

ˆn

mn

m

n

mn

波函数算符归一化本征函数Dirac符号项目X表象|n|

q

|

1|

1)

()(x)dx

(本征函数封闭性正交归一性*

n

nn

u*(x)dq

(x

x)u(x)u(x)

(x

x)u*nˆ|

(t

)

Fˆ

|

(t

)

F

|

|

F

|

Fˆ

|

ˆ公式

(

x,

t

)

Fˆ

(

x,

pˆ

x

)(

x,

t

)本征方程

F

(r

,

p)

(r

)

(r

)平均值

F

*

Fˆdx

ˆ

S

方程F

m

|

Fˆ

|

n

F

ˆ(r

,

t

)

H

(r

,(r

,

t

)t

i)

i

*

ˆdti

d

|

(t

)

Hˆ

|

(t

)

dxmnm

n

Fmn矩阵元（四）总结（2）左右矢空间的对应关系左矢空间

|Fˆ

|

|

Fˆ

右矢空间|

Fˆ|

Fˆ

|

由常量C、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则2）作如下代换：C*（3）厄密共轭规则1）把全部次序整个颠倒常量

C<|左矢|

>右矢 |

><

|Fˆ

Fˆ例如[C

u

|

Fˆ

|

v

|

|]*|

|

v

|

Fˆ

|

u

C

*（一）引言（二）H-F定理（三）实例mann-Feynman定理及应用关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数mann-Feynman定理（简称H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算；利用H-F定理可以很巧妙地推出维里定理。（一）引言设体系的Hamilton量H中含有某参量λ，En

是H的本征值，ψn

是归一的

态本征函数（n

为一组量子数），则nnEnHˆ

题设，ψn

满足本征值方程：

其共轭方程为：(Hˆ

En

)

|

n

0

n

|

(

Hˆ

En

)

0对λ求导数并左乘<ψn

|得：n

0n|(

Hˆ

En

En

)|

n

n

|

(

Hˆnn

nnn

|

Hˆ

|

|

E

|

0Ennnnn

|

|

Hˆ

|

Ennn

|

Hˆ

|

n

n<ψ

|ψ >=1[证毕]由共轭方程知，上式等号左边第二项为0，H-F定理很有实用价值，H中的μ,

等都可以选为参数λ。（二）H-F定理（1）证明一维谐振子<V>=<p2

/2μ>。证一维谐振子Hamilton

量：n

0,1,2,Hˆ

2

d

22

dx21n

2E

(n

)2

221

x方法

I：

取μ作为参数λ

0En2

1

2

x

2Hˆ

2

d

2

2

2

dx

212

222

dx2)

1

x

]2

d

2

[(p2

1

[

2

V

(

x)]由HF定理nnEnHˆ

1p20

n

2

V

(

x)

np2

n

V

(

x)

n

n

2

n22

V

(

x)

p

简记为（三）实例方法II令λ=ω2

(n

1

)En

x

2Hˆ2[

1

2

x

2

]2

2

V

(

x

)nn

n

HˆE

V

(

x)

22(n

1

)

n

V

2112(n

)

E12

V

E

Hp22nˆ

V

2

V

p22p22

V

方法IIIHˆ

取λ=2

d

22

(n

1

)En

[

2

dx

212

2

x

2

]2

d

2

dx

2

p22

d

2[

]

[

]

2

dx2

2

2由HF定理nn

n

E

Hˆ22p2(n

1

)

2n

1

(n

1

)

1

E2

2

2p22

V

]p222

1

[

V

22p由HF

定理（2）对类氢离子任何一个态ψnlm，求

1/r

,

1/r2

的平均值解1）求1/r0222

n2

2a

n2其中

a0

e2

Z

2e4

Z

2e2Ze

2p22Hˆ

EnYrurlmnlnlm

nl

lm

R

Y

取

Z

为变分参数

由HF定理0a

n2Ze2

n

Z2n2E

Ze4

Hˆ

e2

Z

r2a0nZe

2re2

0a

n21rZ

2）求：<1/r2>类氢离子径向波函数unl满足的径向方程为：22

d

2

2)(

u

0r

2

drrZe2

ll

1)(E改写成

ll

u

Eud

222r

22

dr

2

r

Ze2

1)(

2

该方程可看成是一维定态方程，其等效Hamilton量和本征值为：202ˆ2a

nEn

H

Ze2

l(l

1)22r

22

d

2

Z

2e22

dr

r取ℓ为变分参数n

l

n

n

lE

E

nZ

2e2[

2

]n

2a0

nn

nr

l

13a0nZ

2e2Hˆ20a

n312

(2l

1)

r

2

Z

2e

2

2l

l

n

E

Hˆl

2r

2

(2l

1)由HF定理2Z

2e20

1

r

2a

n32

(2l

1)2Z

20a2n3

(2l

1)（3）证明维里定理2

T

r

V

即nnnn2

pˆ

2

1

2

r

V

(r

)证I.在坐标表象ˆ222

V

(r

)将

视为参数由HF

定理2

2

2

p

2H

HˆEn

n

nHˆII.在动量表象pr

i

ˆ

ˆp2H

V

(i

)2

pV

(i

)

Hˆ

由HF定理

r

V

n

E

1

r

V

22

p

1

2

npˆ

2

n

2

2p

rr

V

(r

)

1

Vr

r

V

p

1

22

2（4）对类氢原子定态，证明：pˆ

222

1

V

证对类氢原子E

02a

n22

rZ

2e22Hˆ

p

Ze

2n

2

2

2

2

2

ˆH

p

1

p

0a

En

En

a0)(2

222

202a

nZ

2e

2

e(

2

)Ze2

Z

2

a0n

Ze2

1rZe21

2

r

2

V

12由HF定理nEH

ˆ

1

p

2Hˆ

2

p

1

V

2

21

2

p2

1

V

2

2由例（2）知：)20a

n1

Zr

(（一）算符

a,

a+,

N.（二）占有数表象§5占有数表象EHˆ

n

2,1,2

d

22

dx2n

221

2

x22

2

N

enH

x)(n

x

/2nn

1

)(

这一问题，引进占有数表象。a+,

N.本节

从新的角度（2）定义新算符

a,令ˆ

ˆp]aˆ

i

[

x

2ˆˆp]

1

i

2

[

x2

ˆˆp][

x

2aˆ

i

ˆˆp][

x

2

1

i

2证明二者满足如下对易关系[aˆ,

aˆ

]

1（一）算符

a,

a+,

N.（1）坐标表象下的线性谐振子证[aˆ,

aˆ

]

1ˆp)ˆ(

x

2ˆp),ˆ(

x

2ˆ

ˆ[a,

a

]

1

i

2

1

i

2pˆ

xˆ

pˆ,

xˆ

2

1212

2

i

i2i

2

i

2

i

2

i

2

2

{[

xˆ,

xˆ]

[

xˆ,

1

pˆ]

[

1

pˆ,

xˆ]

[

1

pˆ,

1

pˆ]}

1

{[

xˆ,

pˆ]

[

pˆ,

xˆ]}i

2

22

1

{2i}i

2

22

1[证毕]（3）用算符a,

a+表示振子Hamilton量由

a,

a+

定义式

将算符

x,

p

用新算符a,a+

表示出来2

2

1

1

[a

a]

x

[(2)

(1)]

2

2pˆ

i

[(2)

(1)]

i

[a

a]i

2aˆ

[

xˆ

1

pˆ

]

(1)22pˆ]

(2)[

xˆ

aˆ

1i

2代入振子Hamilton量2

21pˆ

22

2Hˆ

x12i

[aˆ

aˆ]i

[aˆ

aˆ]2

221

2

2

2

1

[aˆ

aˆ]

1

[aˆ

aˆ]4

[a

a

aa a

a aa

]

22ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2[aˆ

aˆ

aˆaˆ

aˆ

aˆ

aˆaˆ

]4

212

1

[aˆ

aˆ

aˆaˆ

]ˆ

ˆ

ˆ

ˆ21

a

a

[a

aˆ

ˆ[a

a

1]

ˆ12

21

]

[

N

]

aˆaˆ

aˆ

aˆ

aˆaˆ

]

[aˆ

aˆ

aˆaˆ

aˆ

aˆ

aˆaˆ

]

1

[aˆ

aˆ4

4[aˆ

aˆ

]

12=/

其中

Nˆ

aˆ

aˆ

称为粒子数算符（4）

a,a+,N的物理意义I.a, a+的物理意义2

xx2

xx

1

x

1

2

2aˆ

[

xˆ

1

pˆ]

[

xˆ

12

i

2

2

]

aˆ

[

xˆ

1

pˆ]

2

i

2

2将a作用在能量本征态ψn(αx)上由ψn的递推公式22

n1n12

n1nx

nn1n1x

n

1

n1

1

n

2naˆ2

x

nx

1

]2

[

nnx2

x

1

2222

n1n1n1n2

n1n1

]

[

]

1

21

n1

2

[

1

nn1

nn1

n

1n同理：

aˆ用Dirac符号表示ˆa

|

n

n

1

|

n

1

n

|

n

1

aˆ

|

n

其中|n>,|n-1>,|n+1>等都是H

的本征基矢，

En,En-1,En+1。是相应本征值。aˆ

|

0

0因为振子能量只能以ω为单位变化，所以ω能量单位可以看成是一个粒子，称为“声子”。状态 |n>表示体系在此态中有

n

个粒子（声子）称为

n

个声子态。粒子

湮灭算符粒子产生算符显然有振子基态的基矢用产生算符a+表示的振子基矢1

|

1

1

aˆ

|

0

aˆ

|

0

0

1

|

0

1

aˆ

|

1

1

1

|1

1

|

2

1

aˆ

|

1

1

12

2

12!aˆ

aˆ

|

0

1

(aˆ

)2

|

0

n!|

n

1

(aˆ

)n

|

0

II.N的意义Nˆ

|

n

aˆ

aˆ

|

n

aˆ

n

|

n

1

n

(n

1)

1

|

n

n

|

n

上式表明，n是N算符的本征值，描写粒子的数目，故N称为粒子数算符。以|n>为基矢的表象称为占有数表象

n

|

aˆ

|

n

形式为：0

0

3

0

a

0

矩

01000

00000

阵

00200

10000

a

0

2

0

0

0

0

0

3

0

0

0000

0100N

0020

0003

n

|

aˆ

|

nnnn1n

n

|

n

1

n

1

n

|

n

1

nn1n

1+湮灭算符

a的矩阵元产生算符

a的矩阵元（二）占有数表象（一）不同表象之间的变换和幺正变换矩阵（二）波函数和算符的变换关系（三）幺正变换的性质§7幺正变换矩阵（1）幺正变换矩阵力学量

A,

B其本征方程分别为:Aˆ

|

k

An

|

k

Bˆ

|

B

|

|

k

k

|

1|

|

1kk

k

kk

k|

|

|

|

S

|

|

j

j

|j|

*jS

j

j由于本征基矢的封闭性B基矢可k

按A的基矢展开：

j

|

*

j

|j~*j

j

jjS

|S

|

j

j展开系数：Sk

k

|

k

|

x

dx

x

|

x

|

k

*dx

x

|

k

*(

x)

(

x)dx（一）不同表象之间的变换和幺正变换矩阵写成矩阵形式

|

k

|

2

|

1

Sk|

S1

S2

S12Sk1Sk

2

S11

S21S22|

2

|

1

~

S（2）S矩阵的幺正性1）S+

S=

Ik

kk(

S

S

)

kS)k

k~*(

S

)

S

(

Sk

kkS*

|

k

k

|

k

|

S

|

*

|

k

k k

2）S

S+

=

IS

(S

)j

kjk(SS

)

)kS

j

(

S~*S*S

j

k*

|

|j

k

kjk

S+S

=S

S+

→

S+

j

|

|

k

j

|=

S-1所以（3）如何求幺正变换矩阵方法I：由S矩阵元的定义式：k*kS

(

x)

(

x)dx计算出全部矩阵元即可得到S矩阵。k|

Sk

|

k

方法

II

：

由表达式

可知，S矩阵元S

kβ,n=1,

2,

3,...即是基矢

|φβ

>在A表象中的表示，即

S

k

S2

S1

反之，如果 已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末就可以直接把S变换矩阵写出来。为清楚简单起见，假设：A和B的本征矢各只有3个，分别为:|ψ1>,|ψ2>,|ψ3>和|φ1>,

|φ2>, |φ3>。|φ1>=S1

1|ψ1>+S2

1|ψ2>+S3

1|ψ3>|φ2>=S1

2|ψ1>+S2

2|ψ2>+S3

2|ψ3>|φ3>=S1

3|ψ1>+S23|ψ2>+S3

3|ψ3>如果|φβ

>,(β=1,2,3)在A表象中的表示已知：在A表象中，B的本征基矢可表示为：

33

23

32

22

31

21

3

S

S13

S2

S

S12

S1

S

S11

S将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：

33

21

32S

S

SS23

S11

S12

S13

S22S

S21就是由A表象到B表象的么正变换矩阵。（1）波函数变换关系对任一态矢|u>作用A的单位矢量|

k

k

|

1kk

ka

|

u

|

u

|

k

k

|

u

|

k

akk

k其中则于是|u>在A表象中的表示为：同理：

ak

u

a

a

a2

1

|

u

|

|

u

|