专题06 利用导数证明不等式（练习）（教师版）

专题6利用导数证明不等式A组基础巩固1．（2021·湖南高三月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据时判断出，再根据在处取最大值可求的值.【详解】令，∵时，∴不合条件.令，故恒成立，又，∴要在处取最大值，故为在上的极大值点，故，又，故∴，故选：B.【点睛】关键点点睛：对于不等式的恒成立问题，注意观察其等号成立的条件，从而把恒成立问题转化为函数的最值问题.2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可得的取值范围．【详解】画出函数的图像如图所示.在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方，且直线过定点，当直线与相切时，设切点，，可得，解得，则直线斜率为，即；当直线与相切时，此时由，得，令，得或（舍），所以由图像可知故选：A【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，，若对恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，求导，分析导函数的正负，得所函数的单调性和最值，由不等式恒成立思想可得选项．【详解】令，则，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故．令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，解得，故选：A．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.4．（2020·湖北武汉市·武钢三中高二期中）已知幂函数在的图像如图所示，对任意的给出下列结论：①；②；③④正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】由函数的图象，我们可根据（图象上任意两点之间的斜率）与1的大小判断①的对错；根据与（图象上任意两点与原点连线的斜率）的大小判断②的正误；再根据函数图象是凹增的，我们可判断③的真假；得到在递增，由得：，，从而判断正误．【详解】解：由，可得，即两点，与，连线的斜率大于1，显然①不正确；由，得，即表示两点，、，与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②错误；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的，结合图象函数递增的速度增大，故在递增，由得：，即，，所以，故④正确；故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和直线的斜率，解答的关键是结合函数图象分析结论中式子的几何意义，然后进行判断．5．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得在上恒成立，从而有在上恒成立，构造函数，利用导数求其最大值，进而可求出实数a的取值范围【详解】由得：，即，∴在上恒成立；∵在上单调递增，且，所以，，∴在上恒成立；∴在上恒成立，构造函数，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴，∴，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：（1）根据同构式构造新函数，利用导数判断函数单调性，是导数的常考题型之一；（2）利用单调性解不等式通常用于：①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式．解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．6．（2021·浙江高三其他模拟）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】令函数，求导，研究其单调性，即可得到充分性成立，取特殊值证明必要性不成立，即可得出结果．【详解】令函数，当时，，所以函数在区间上单调递增，则，即，故充分；但是反之未必成立，比如取，易知，满足，但是不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】方法点睛：充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据，进行判断；②集合法，即由，成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题与其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断．7．（2021·全国高三月考（理））若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式可化为，构造函数，然后利用导数求函数的最小值，使最小值大于零，可求出实数的取值范围【详解】依题意，，设，，易知在上单调递增，．①当时，，，所以单调递增，则，即．②当时，，可知存在，使得，单调递减，，所以存在，，故不成立．综上所述，．故选：D8．（2021·全国高三专题练习）设实数t＞0，若不等式对x＞0恒成立，则t的取值范围为（）A．[，) B．[，) C．(0，] D．(0，]【答案】B【分析】先将不等式化成，构造，即得，再求解函数的最大值，得到即可.【详解】t＞0，不等式即，因为，则，即，令，则，而，即在上递增，故，即，令，则，令得，故在上递增，在上递减，即，故.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将不等式转化为，构造函数转化成，才能再分离参数突破难点.9．（2021·浙江高三专题练习）已知，曲线在点处切线的斜率为______；若恒成立，则a的取值范围为______【答案】0【分析】求出导函数，进而可得，由导数的几何意义可得切线的斜率；利用导数判断函数在单减，单增，只需，解不等式组即可求解.【详解】，，由得，得.在单减，单增，恒成立，，.故答案为：0；.【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.18．（2021·浙江高二课时练习）已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.【答案】1【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，而由（1）在上，因此只要当时，即可得，由此可得的取值范围，从而得的最小值．【详解】（1）函数定义域是，，时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；当，在上递增，，在递减，，只要即可，∴，综上，的最小值是1.．故答案为：；1．【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值，由单调性易得结论．10．（2020·山东菏泽市·高二期中）若，当时，的极大值为______；关于的方程在上有根，则实数的取值范围是______．【答案】2【分析】将代入，对函数进行求导，结合单调性可得极值；由题意可得，，利用导数判断函数的单调性，由此求得的范围.【详解】当时，，，令，得或；令，得；即函数在和上单调递增，在上单调递减；所以的极大值为.关于的方程在上有根，即在上成立，由于，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；而，，，所以的值域为，即实数的取值范围是，故答案为：2，.【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性和极值的关系，学生对一元三次方程的图象的认识，属于中档题.B组能力提升11．（2020·湖南常德市一中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立【答案】AD【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．【详解】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确．当时，，所以，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．故B错误．作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误．由图可知，对，故D正确．故选：AD．【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．12．（2021·山东泰安市·高三一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（）.A．当时，B．函数在上有且仅有三个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．，【答案】BD【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】令，则，所以，得，所以选项A错误；观察在时的图象，令，得，可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.13．（2021·山东高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，A．，故A错B．，且在单调递增，故：B正确C．有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①令，则当时，在单调递增，即：这与①矛盾，故C错D．设，且均为正数，则且，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．14．（2021·山东）已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（）A． B．C．是R上的增函数 D．，则有【答案】AD【分析】由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.【详解】由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.15．（2020·开原市第二高级中学高三月考）定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（）A．在处取得极小值，极小值为B．只有一个零点C．若在上恒成立，则D．【答案】BCD【分析】对A，根据，，求，求出，根据极值定义进行判断；对B，根据单调性和零点定义，结合图象判断；对C，要保证在上恒成立，即，通过构造函数求其最值，进行判断；对D，根据单调性，和对数比较大小，进行判断.【详解】对A，，且可得：可得：故(为常数)又可得：求得：故：整理可得：，当，即解得：，，此时单调递增当，即解得：，，当，即解得：，，此时单调递减，取得极大值，，故A说法错误；对B，，，，画出草图：如图根据图象可知：只有一个零点，故B说法正确；对C，要保证在上恒成立即：保证在上恒成立，可得在上恒成立故：只需令当时，当时，当时，即,故C说法正确；对D，根据，单调递增，，单调递减，，可得又由根据故：，故D说法正确.综上所述，正确的说法是：BCD故选：BCD.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.16．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.17．（2021·全国高三专题练习（文））（2018年新课标I卷文）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1)a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–．由题设知，f′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f′（x）=．当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.18．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度．19．（2020·平罗中学高三期中（文））设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，，求实数的取值范围.【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.（II）.【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.试题解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增(2)f(x)=(1+x)（1-x）ex当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h