66《三角函数模型的简单应用》（天津陈刚）

““卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动优秀论文评选《三角函数模型的简单应用》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修4第一章1.6节）授课教师：陈刚天津市经济技术开发区国际学校指导教师：傅剑天津市实验中学沈婕天津市中小学教育教学研究室赵杨天津市经济技术开发区国际学校2010年10月

三角函数模型的简单应用授课教师：天津经济技术开发区国际学校陈刚一、内容和内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为等基本初等函数模型；根据问题情境建立精确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法，这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题.这体现了数学建模的思想．其次，是数形结合思想．在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采用数形结合的思想，使问题得以解决．三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体．就本节所涉及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解．此外，在运用三角函数模型解决数学问题的过程中，“函数与方程”的数学思想也得到了体现．三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型之后学习的又一具体函数模型，在知识的形成过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节．因此，本节的教学重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．教学问题诊断分析在学习了分段函数、指数函数、对数函数等基本函数模型后，学生已经历过观察散点图，抽象成函数模型，分析图象的特征，运用图形计算器等信息技术手段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面上，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的陌生背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有一定的困难．因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析．教学难点：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．三、目标和目标解析（一）教学目标1．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．2．经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．（二）目标解析1．学生在学习了分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型的基本步骤有所了解，但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触，特别是对如何根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一．2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非通过简单如“复制与灌输”手段得以实现．所以通过数学建模的过程，让学生领悟到“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数思想”等，并能运用这些数学思想分析三角函数的图象，通过解决一些具有实际背景的综合性问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力．3．通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以图形计算器为平台（本节课使用的是CasioClassPad330型图形计算器），绘制三角函数等函数图象，变抽象为直观；同时辅之以图形计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持．五、教学过程设计（一）开门见山——呈现问题同学们，我们已经学过三角函数的图象与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．我们知道，海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的整点时间与水深（单位：m）关系表：时刻0:001:002:003:004:005:006:007:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.754时刻8:009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:00水深2.8352.5002.8353.7545.0006.2507.1657.500时刻16:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深7.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（二）观察数据——建立模型

问题1：请同学们仔细观察表格中的数据，从中可以得到一些什么信息？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面去研究．【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．问题2：怎么画这些数据的散点图？你能使用图形计算器画出散点图吗？师生活动：教师提问，学生思考、回答，以时间为横轴，水深为纵轴，通过描点法是可以画出这些数据的散点图的．教师引导学生使用图形计算器作散点图，如下图．【设计意图】让学生复习用描点法画出散点图的方法．问题3：如果我们用一条光滑的曲线把这些点连接起来，根据曲线的形状和走势，能用什么样的函数来近似拟合这个图象？师生活动：教师引导学生利用图形计算器的连线功能将散点连接起来，如下图.观察、分析绘出的曲线的形状和特征，思考、判断、选择函数模型．教师根据学生回答的情况加以补充，突出对“周期性”的引导，最后确定可以用形如的正弦型函数来近似拟合.【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.问题4：如何求出函数中的，，，和的值，从而确定函数模型的解析式呢？师生活动：师生通过问答的形式，结合图象，求出,,,.（1）求振幅.由图象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值与最小值之差的一半是振幅，=2.5.（2）求.的值跟周期有关，从图象可以看到，完成一次往复运动要用12小时，所以周期是12.所以,.（3）求.图象向上平移了5个单位，.（4）求.代入一个特殊点，例如（0，5），就可以得到，从而得到.学生利用图形计算器统计模块中的函数拟合功能，得出正弦型函数的解析式，如下图.师生共同比较图形计算器得出的解析式和学生自己求出的解析式，得出两个解析式实际是相同的.【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出各参数的值，体会“数形结合”的数学思想，利用图形计算器验证所求结果．问题5：我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，谁能试着总结一下刚才我们建立三角函数模型的过程？师生活动：学生回顾刚才建模的过程、回答．教师根据学生回答的情况加以补充完善，主要强调（1）根据已知的数据画出散点图；(2)用光滑的曲线连接散点图；（3）根据曲线的变化趋势具有周期性的特点，选择正弦型函数模型；(4)求正弦型函数解析式.【设计意图】及时对建模的过程加以小结，使学生进一步了解各个步骤之间的联系，巩固所学知识，体会其中使用的方法和所蕴含的数学思想.(三）回归现实——提出问题我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题.问题6：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？师生活动：教师通过以下问题，引导学生探究.（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？（实际水深≥安全水深）（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？（）（3）如何解不等式？（4）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满足我们条件的解是图象的哪部分？（5）在[0，24]内满足条件的解集是什么？（6）结合图象，货船应该选择什么时间进港，什么时间出港？（7）货船在港口能呆多久？（8）如何使用图形计算器帮助我们解决其中的问题？学生利用图形计算器分别画出和的图象，找出两图象的交点，通过数形结合得到不等式的解集.【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清楚题目的意思，引导学生建立函数模型，借助图形计算器，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出解释.过渡语：刚才的问题中，货船从进港、在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，卸完货后离开港口，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，那么在这种情况下，我们又该如何选择进出港时间呢？问题7：（卸货时间问题）若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？师生活动：教师启发学生类比、思考，组织学生讨论如下问题：（1）“必须停止卸货”的含义是什么？你能用一个关系式来表述吗？（2）安全水深如何表示呢？（3）如何解不等式？学生在这些问题的引导下思考探究，对于要求解的不等式，学生根据刚才解题的经历，相互讨论寻求解决的途径，利用图形计算器通过两种方法求出不等式的解集.PP【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.问题8：在船的安全水深正好等于港口水深时，停止卸货行吗？为什么？正确的结论是什么？师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答.货船应该在6时30分左右驶离港口.否则就不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.【设计意图】将所得的数学解释转化为实际问题的解释.（四）课时小结，认识深化

问题9：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？（师生一起归纳）1.通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：（1）观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；（2）根据已知数据绘制散点图；（3）用光滑的曲线连接散点图；（4）通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；（5）求函数模型的解析式.在数据处理的过程中，运用了函数的三种不同的表示方法，分析问题并解决问题．2.在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等