高二数学下学期期末考试分类汇编椭圆新人教A版

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！专题04椭圆方程及其应用类型一椭圆的定义与标准方程1．（2022·全国·高二课时练习）设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由椭圆的定义可知，，则△的周长为，故选：.2．（2022·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（

）A．3 B．9 C． D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义有，①根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积．故选:C类型二椭圆的简单几何性质4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【解析】由三角形面积公式可知，当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，其中，则△面积的最大值是，故选：.5．（2022·广东·盐田高中高二期中）已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】D【解析】由，得，即.设的内切圆的半径为，则因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍），在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知，即，由，联立，得，所以该椭圆的长轴长为.故选：D.6．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，其中，因为P与的四个顶点不重合，设，则，则，所以，又，所以，∴的取值范围是.故选：D.类型三椭圆离心率问题7．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为过坐标原点的直线交E于P，Q两点，根据椭圆的对称性，可知四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，则，因为，所以，则，设，则，又，所以，即，解得，则，因为，即，所以，所以，故选：B8．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，切线的方程为，联立消去可得：，因为直线为椭圆的切线，所以，化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.故选：B.法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.设切点，，，，切线：，切线：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，将，代入椭圆中得：，经分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故选：B.9．（2022·四川·阆中中学高二期中）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：B.10．（2022·江西赣州·高二期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，在椭圆上，，，两边都乘以化简后得：，，，又因为椭圆离心率，.故选：A.

考点二椭圆综合问题类型一：齐次化解决定点定值问题1已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1).(2)证明见解析.解题方法一：试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）解题方法二：齐次化处理：类型二：常规韦达定理解决椭圆问题3．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点P的坐标；（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）因为椭圆过点、，则有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，.由（1）知，.因为，则有，即，所以解得即.分别将、两点的坐标代入得解得（舍）或所以所求点的坐标为.（3）设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，，则.又因为，即，即，所以即（*）又由得，，且，.代入（*）得即，所以存在常数，使得.4．已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，所以椭圆方程为.（2）存在常数，使恒成立，

由消去y并整理得：，设，，则，，又，，，则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有所以存在常数，使恒成立.围.类型三：中点弦问题5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上.(1)若线段MN的中点坐标为，求直线MN的斜率；(2)若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】设，则，两式相减，可得，则，解得，即直线MN的斜率为；(2)显然直线NF1的斜率不为0，设直线NF1：，，联立，消去x整理得，显然，故，故△PMN的面积，令，则，当且仅当，即时等号成立，故△PMN面积的最大值为.6．已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）是垂直；证明见解析．【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，直线方程为，点坐标．由知，直线斜率不为0，故设直线的方程为，从而，直线的方程为，令得，点坐标为，故直线的方程来，联立方程组，消去得：，设，，即，，从而，线段的中点，，综上可知，．（2）（ⅰ）当直线的斜率为0时，点即为点，从而．（ⅱ）当直线的斜率不为0时，由（1）知，，，所以，则，直线的方程为，又，令，得，所以点的坐标为，即．类型四：最，定值以及参数取值范围问题7设点M和N分别是椭圆上下不同的两点，线段MN最长为4，椭圆的离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】由题意可得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为，（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设其方程为，由，得，由，得，设，则，所以，因为，所以，得，所以，设直线的斜率为，因为，所以，化简得，所以，所以，解得或，所以直线OP的斜率的取值范围为1、单选题1．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由已知得若，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为,代入椭圆方程中并整理得：,，令,,当,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时面积取得最大值为，∴四边形AOBE的面积最大值为.故选：B.2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，内切圆的半径为r．因为，所以，则．由等面积法可得，整理得，又故．又，所以则，从而．故选：C3．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D由椭圆的定义知，，则，因为为正三角形，所以，．在中，由余弦定理得，则，，故选：D．4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点在第一象限，所以，因为，所以，当时，满足，，所以，所以，所以直线的斜率为，当时，，不符合题意.综上所以直线的斜率为.故选：A二、多选题5．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（

）A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是C．的面积一定是 D．的周长一定是【答案】BD【解析】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；由椭圆定义知，的周长为，D正确.故选：BD6．（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二阶段练习）一般地，我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（

）A．若椭圆是黄金椭圆，则B．在中，，，点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为C．过黄金椭圆上的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于、两点，则D．设､是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在【答案】BCD【解析】对于A，若焦点在轴上,则,解得.若焦点在轴上,则,解得，故A错误；对于B，易知,所以,所以,故B正确；对于C，将代人椭圆方程得,则,因为,所以，故C正确；对于D，设,,则,与联立,此方程组无实数解.因此椭圆上满足的点不存在,故D正确.故选：BCD.7．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（

）A．B．的周长的取值范围是（6，12）C．当时，的面积为D．当时，为直角三角形．【答案】ABD【解析】：由椭圆得，设椭圆的左焦点为，则，∴为定值，故A正确；的周长为，因为为定值6，∴的范围是，∴的周长的范围是，故B正确；当时，将与椭圆方程联立，解得，，则，所以的面积为，故C不正确；当时，将与椭圆方程联立，解得，，又因为，所以，所以为直角三角形，故D正确．故选：ABD.8．（2022·河北省唐县第一中学高二开学考试）已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（

）A．的周长为 B．当时，若的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若，则椭圆的离心率【答案】CD【解析】对于A,当k=0时,直线l:y=k(x+c)与椭圆的两交点A,B与F2在一直线上，不能构成三角形.故A错误；对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),,可得由作差得:，则有.故B错误；对于C,,则有,可得：.故C正确；对于D,由,即，解得：（舍去）,所以.故D正确.故选:CD三、解答题9．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆的左右顶点的坐标分别为且椭圆E的离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作直线l交椭圆E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线的斜率分别为．①证明：；②设点Q关于x轴的对称点为，求证直线过x轴上一个定点，并求面积的最大值．【答案】(1);(2)①证明见解析；②.【解析】(1)由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆方程为；(2)①设直线的方程为，则，又，消得，得因此，故.②坐标为，则直线方程为，令解得:，即直线恒过点，故，当，即时，等号成立，此时面积最大值为．10．（2022·湖北恩施·高二期中）已知椭圆过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的斜率为.(1)求E的方程；(2)不经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD的斜率之和为，求直线l所过的定点.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，直线AB为，即，故当时，所以，椭圆过，则，所以椭圆E为.(2)设直线BC与直线BD的斜率分别为，.若直线l与x轴垂直，设直线，且，可得C，D分别为，，则，得，不符合题设.从而可设直线.将