高考数学(理)一轮复习专题32导数与函数单调性(讲)(解析)

2020年高考数学(理)一轮复习专题3.2导数与函数的单调性(讲)(剖析版)2020年高考数学(理)一轮复习专题3.2导数与函数的单调性(讲)(剖析版)2020年高考数学(理)一轮复习专题3.2导数与函数的单调性(讲)(剖析版)专题导数与函数的单调性1.认识函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递加；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.考点一求函数的单调区间【典例1】【2019年高考天津】设函数间。

f(x)excosx,g(x)为fx的导函数，求fx的单调区【剖析】由已知，有f'(x)ex(cosxsinx)．因此，当x2k,2k5(kZ)时，有44sinxcosx，得f'x( )0，则fx单调递减；当x2k3,2k(kZ)时，有sinxcosx，44得f'(x)0，则fx单调递加．因此，fx的单调递加区间为2k3,2k(kZ),f(x)的单调递减区间为442k,2k5(kZ)．44【答案】f(x)的单调递加区间为2kπ3π,2kππ(kZ),f(x)的单调递减区间为442kππ5π(kZ).,2kπ44【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可以解，依照f′(x)的结构特色，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【变式1】【2019年高考浙江】已知实数a0，设函数f(x)=alnxx1,x0.，当a3时，4求函数f(x)的单调区间。【剖析】当a331x,x0．时，f(x)lnx44f'(x)31x(1x2)(21x1)，4x214x1x因此，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递加区间为（3，+）。【答案】fx的单调递加区间是3,,单调递减区间是0,3；考点二判断函数的单调性【典例2】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数f(x)2x3ax2b，谈论f(x)的单调性；【剖析】f(x)6x22ax2x(3xa)．令f(x)0，得x=0或xa.3若a>0，则当x(,0)a,时，f(x)0；当x0,a时，f(x)0．故f(x)在33(,0),a,单调递加，在0,a单调递减；33若a=0，f(x)在(,)单调递加；若a<0，则当x,a(0,)时，f(x)0；当xa,0时，f(x)0．故f(x)在33,a,(0,)单调递加，在a,0单调递减.331【贯穿交融】(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋alnx，谈论f(x)的单调性．【剖析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1ax2－ax＋12－1＋＝－2.xxx①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，因此f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝a－a2－4或x＝a＋a2－422.当x∈0，a－a2－4∪a＋a2－42，＋∞时，2f′(x)＜0；当x∈a－a2－4a＋a2－42，2时，f′(x)＞0.因此f(x)在a－a2－4，a＋a2－4上单调递减，在a－a2－4a＋a2－4上单调递加．0，2，＋∞，222综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在0，a－a2－4，2a＋a2－4a－a2－4a＋a2－42，＋∞上单调递减，在，上单调递加．22【方法技巧】含参函数单调性的求法此类问题中，导数的剖析式经过化简变形后，平时可以转变成一个二次函数的含参问题．关于二次三项式含参问题，有以下办理思路：(1)第一考虑二次三项式可否存在零点，这里涉及对鉴识式Δ≤0和＞0分类谈论，即“有无实根鉴识式，两种状况需认识”．(2)若是二次三项式能因式分解，这表示存在零点，逻辑分类有两种状况，需要考虑首项系数可否含有参数．若是首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行谈论；若是首项系数无参数，只需谈论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜败”．(3)注意：谈论两个根x1，x2的大小时，必然要结合函数定义域进行谈论，考虑两根可否在定义域中，即“定义域，紧追踪，两根可否在其中”．【变式2】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)谈论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【剖析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递加.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a时，f′(x)<0；2a当x∈ln－2，＋∞时，f′(x)>0.a故f(x)在－∞，ln－2上单调递减，在区间ln－a，＋∞上单调递加.22x(2)①当a＝0时，f(x)＝e≥0恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln－a时，f(x)获取最小值，最小值为fln－a＝a23－ln－a，224223a故当且仅当a－ln－2≥0，43即0>a≥－2e4时，f(x)≥0.3综上，a的取值范围是[－2e4，0].考点三依照函数的单调性求参数【典例3】【2019年高考北京】设函数fxexaex（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；fx）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．若（【剖析】第一由奇函数的定义获取关于a的恒等式，据此可得a的值，尔后利用f(x)0可得a的取值范围。若函数fxexaex为奇函数，则fxfx,即exaexexaex，即a1exex0对任意的x恒成立，则a10，得a1.若函数fxexaex是R上的增函数，则f(x)exaex0在R上恒成立，即ae2x在R上恒成立，又e2x0，则a0，即实数a的取值范围是,0.【答案】1,0【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实质上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，获取关于参数的不等式，从而转变成求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实质上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转变成不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．【变式3】(2016·全国Ⅰ卷改编1a的取值范)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递加，则3围是________.222425，f(x)在R上单调递【剖析】f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝1－(2cosx－1)＋acosx＝－cosx＋acosx