3高中数学三角函数知识点总结材料

3高中数学三角函数知识点总结资料3高中数学三角函数知识点总结资料3高中数学三角函数知识点总结资料适用标准文案高考三角函数特别角的三角函数值：0sin30010sin0=0=2sin450=2sin600=3sin90=1cos00=122cos900=0cos300301=2cos60=tan00=02cos450=2tan900没心义20=3tan600=3tan30tan4503=12．角度制与弧度制的互化：36002,0,18000300450600900120013501500180027003600023532643234623.弧长及扇形面积公式弧长公式：l.r扇形面积公式:S=1l.r2是圆心角且为弧度制。r-----是扇形半径4.随意角的三角函数设是一个随意角，它的终边上一点p〔x,y〕,r=x2y2(1)正弦siny余弦cos=xy=正切tan=rrx(2)各象限的符号：yyy++—++—Ox+xO——+O——+sincostan5.同角三角函数的根本关系：文档大全适用标准文案〔1〕平方关系：sin2+cos2=1。〔2〕商数关系：sin=tancos〔2k,kz〕6.引诱公式：1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos，cossin226sincos，cossin22

．．口诀：正弦与余弦交换，符号看象限．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质文档大全适用标准文案文档大全适用标准文案8、三角函数公式：倍角公式两角和与差的三角函数关系sin2=2sin·cossin()=sin·coscos·sincos2=cos2-sin2降幂公式：)=cos·cos升幂公式：2cos(sin·sin1+cos=2cos221cos2=2cos-12tantancos2tan()=1-2sin21tantan21cos21-cos=2sin22sin22tan正弦定理9．：tan21tan2abc2R.sinAsinBsinC余弦定理：a2b2c2b2c2a2c2a2b2三角形面积定理

2bccosA;2cacosB;2abcosC..S1absinC1bcsinA1casinB.2221．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。1〕三边之间的关系：a2＋b2＝c2。〔勾股定理〕2〕锐角之间的关系：A＋B＝90°；3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕sinA＝cosB＝a，cosA＝sinB＝b，tanA＝a。ccb2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。1〕三角形内角和：A＋B＋C＝π。2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等文档大全适用标准文案abc2R。sinAsinBsinCR为外接圆半径〕3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：〔1〕△＝1aha＝1bhb＝1chc〔ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高〕；2222〕△＝1absinC＝1bcsinA＝1acsinB；2224．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔此中最罕有一个是边〕求其余未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还能够包含三角形的高、中线、角均分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下边两种情况：假定给出的三角形是直角三角形，那么称为解直角三角形；假定给出的三角形是斜三角形，那么称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。1〕角与角关系：A+B+C=π；2〕边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；3〕边与角关系：正弦定理abcR〔R为外接圆半径〕；sinAsinB2sinC余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，sinAa，cosAb2c2a2。sinBb2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自己的特色。〔1〕角的变换由于在△ABC中，A+B+C=π，因此sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sinABcosC,cosABsinC；2222四．【典例分析】题型1：正、余弦定理〔2021岳阳一中第四次月考〕.△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC15，4a3,b5，那么BAC〔〕A.．30B．150C．1500D．30或1500答案C例1．〔1〕在ABC中，A0，B0，a42.9cm，解三角形；〔2〕在ABC中，a20cm，b28cm，A400，解三角形〔角度精准到10，边长精准到1cm〕。文档大全分析：〔1〕∵适用标准文案分析：〔1〕依据三角形内角和定理，C1800(AB)180000)0；依据正弦定理，basinB080.1(cm)；sinA0依据正弦定理，casinC074.1(cm).sinAsin32.00〔2〕依据正弦定理，sinBbsinA28sin4000.8999.a20由于00＜B＜1800，因此B640，或B1160.①当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，casinC20sin76030(cm).sinAsin400②当B1160时，C1800(AB)1800(4000240asinC20sin24013(cm).116)，csinAsin400谈论：应用正弦定理时〔1〕应注意两边和此中一边的对角解三角形时，可能有两解的情况；〔2〕对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2．〔1〕在ABC中，a23，c62，B600，求b及A；2〕在ABC中，a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形b2a2c22accosB=(23)2(62)2223(62)cos450=12(62)243(31)=8b22.求A能够利用余弦定理，也能够利用正弦定理：Ab2c2a2(22)2(62)2(23)21,0解法一：∵cos2bc222(62)2∴A60.解法二：∵sinAasinB23sin450,b22文档大全适用标准文案又∵62＞3.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜900,A600.〔2〕由余弦定理的推论得：cosAb2c2a22220.5543,2bc2A56020；cosBc2a2b22220.8398,2ca2B32053；C1800(AB)1800(5602032053)90047.谈论：应用余弦定理时解法二应注意确立A的取值范围。题型2：三角形面积例3．在ABC中，sinAcosA2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的2面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。sinAcosA2cos(A45)2,2cos(A45)1.2又0A180,A4560,A105.tanAtan(4560)133,123sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos45sin6026.4SABC1ACABsinA123263(26)。2244解法二：由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosA的值。sinAcosA2①2文档大全适用标准文案(sinAcosA)2122sinAcosA120A180,sinA0,cosA0.(sinAcosA)212sinAcosA3,2sinAcosA6②2+②得－②得

sinA26。4cosA26。4进而tanAsinA26423。cosA426以下解法略去。谈论：本小题主要察看三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，重视数学察看运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你以为哪一种解法比较简单呢？例4．〔2021湖南卷文〕在锐角ABC中，BC1,B2A,那么AC的值等于，cosAAC的取值范围为.答案2(2,3)分析设A,B2.由正弦定理得ACBC,AC1AC2.sin2sin2coscos由锐角ABC得0290045，又01803903060，故304523cos，22AC2cos(2,3).文档大全适用标准文案例5．〔2021浙江理〕〔本题总分值14分〕在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且知足cosA25，ABAC3．25〔I〕求ABC的面积；〔II〕假定bc6，求a的值．解〔1〕由于cosA25，cosA2cos2A13,sinA4，又由ABAC325255得bccosA3,bc5，SABC1bcsinA22〔2〕对于bc5，又bc6，b5,c1或b1,c5，由余弦定理得a2b2c22bccosA20，a25例6．〔2021全国卷Ⅰ理〕在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,求b分析：:本题事实上比较简单,但考生反应不知从何下手.对条件(1)a2c22b左边是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好办理,而对条件(2)sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用此刻已经不再考的积化和差,致使找不到打破口而失分.解法一：在ABC中sinAcosC3cosAsinC,那么由正弦定理及余弦定理有:aa2b2c23b2c2a2c,化简并整理得：2(a2c2)b2.又由2ab2bca2c22b4bb2.解得b4或b0(舍〕.解法二:由余弦定理得:a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0.因此b2ccosA2①又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC文档大全适用标准文案sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC由正弦定理得sinBbsinC，故b4ccosA②c由①，②解得b4.评析:从08年高考考纲中就明确提出要增强对正余弦定理的察看.在备考取应注意总结、提升自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵巧运用能力.其余提示：两纲中明确不再考的知识和方法认识就行，不用增强训练题型4：三角形中求值问题例7．ABC的三个内角为A、B、C，求当A为什么值时，cosA2cosBC获得最大值，2并求出这个最大值。分析：由A+B+C=π，得B+C=π－AB+C=sinA。222，因此有cos22B+CA2AAA123cosA+2cos2=cosA+2sin2=1－2sin2+2sin2=－2(sin2－2)+2；当sinA1，即A=πB+C获得最大值为3。2=23时,cosA+2cos22谈论：运用三角恒等式简化三角因式最后转变为对于一个角的三角函数的形式，经过三角函数的性质求得结果。例8．〔2021浙江文〕〔本题总分值14分〕在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且知足cosA25，ABAC3．25〔I〕求ABC的面积；〔II〕假定c1，求a的值．解〔Ⅰ〕cosA2cos2A12(25)213255又A(0,)，sinA1cos2A4，而AB.AC.cosA3bc3，所55以bc5，因此ABC的面积为：1bcsinA1542225〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知bc5，而c1，因此b5ab2c22cosA2512325因此文档大全适用标准文案谈论：本小题主要察看三角函数见解、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，察看应用、分析和计算能力题型5：三角形中的三角恒等变换问题例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，a、b、c成等比数列，且a2－c2=acbc，求∠A的大小及bsinB的值。c分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。2b2bsinB的值。由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA=b2c2a2=bc=1，∴∠A=60°。2bc2bc2在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsinA，∵b2=ac，∠A=60°，a∴bsinBb2sin60=sin60°=3。cac2解法二：在△ABC中，由面积公式得1bcsinA=1acsinB。2b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴bsinB=sinA=3。c2谈论：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例10．在△ABC中，A、B、C成等差数列，求tanAtanC3tanAtanC的值。2222分析：由于A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，因此A＋C＝120°，进而AC＝60°，故tanAC3.由两角和的正切公式，22tanAtanC得223。1tanAtanC22因此tanAtanC33tanAtanC,2222文档大全适用标准文案tanAtanC3tanAtanC3。2222谈论：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用根本公式，将未知角变换为角求解，同时联合三角变换公式的逆用。题型6：正、余弦定理判断三角形形状例11．在△ABC中，假定2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形状必定是〔〕A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C分析：2sinAcosB＝sin〔A＋B〕＋sin〔A－B〕又∵2sinAcosB＝sinC，sin〔A－B〕＝0，∴A＝B谈论：本题察看了三角形的根天性质，要求经过察看、分析、判断明确解题思路和变形方向，畅达解题门路例12．〔2021四川卷文〕在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA5,sinB10510〔I〕求AB的值；〔II〕假定ab21，求a、b、c的值。解〔I〕∵A、B为锐角，sinA5,sinB10510∴cosA1sin2A25,cosB1sin2B310510cos(AB)253105102.cosAcosBsinAsinB10510250AB∴AB432〔II〕由〔I〕知C，∴sinC42abc由得sinAsinBsinC文档大全适用标准文案5a10b2c，即a2b,c5b又∵ab21∴2bb21∴b1∴a2,c521.〔2021四川卷文〕在ABC