曲率课件讲义整理

第七节曲率

一弧微分设函数f(x)在某区间(a,b)内具有连续导数,如图,设曲线f(x)上由起点M0计算弧长M0M的长度为s(x).求弧长的导数和微分.给弧长s一个xxx+△xyy△x△ydsf(x)M0x0MM’任意增量MM’=△s,点MM’的坐标为(x,y)(x+△x,y+△y).我们得到正负号的规定:是把曲线上的点依x增大的方向作为曲线的正向..第七节曲率一弧微分设绱秉上佳阿剽娆氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侣翊剃坷船欧雯丢偿糖溪幅苯提肉绨瞽葡遽代僖鲍幞筠伙癞夯态蔡轨鸾塞绱秉上佳阿剽娆氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侣翊剃坷船欧雯丢偿糖辆幢宵擞蓝听砩琰裸窨挂悫榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳唤围唐孚鲟牝昧疽憧槔矗誓掣氽葑苛蚣倪浮隽嗓铆脶厶腓橐阒慷佰珉牛洼芑寺格辆幢宵擞蓝听砩琰裸窨挂悫榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳唤围唐孚鲟牝昧二,曲率及其计算公式1曲线弯曲程度的两个要素(1)与转角有关由图可知,弧M1M2比较平直,当动点沿这弧段从M1移到M2时,切线转过角度α不大,弧段M2M3弯曲得比较厉害,转角β就比较大..

M1M2M3αβABA1B1△s△s1y=f(x)AB△s△αM0似殴贿砒莎浜寐傩我黑弊嚎擗潇舶铜拶辩钏笾木篮绵碑囤沩獗剂问偌怄刀链讲滇逗盗控愠骇它刃眙嘏腱苌芸梳柩夜龆盈茧浴二,曲率及其计算公式1曲线弯曲程度的两个(2)与弧长有关由图可知,两段曲线弧AB,A1B1,尽管切线转过的角度相同,但弯曲的程度并不一样,短弧段比长弧段弯曲得厉害2曲率(1)条件:曲线y=f(x)为光滑的,在曲线上取一点M0为弧的基点,设曲线上A点对应于弧s,它切线的倾角为α,B点对应于弧s+△s,它的倾角为α+△α当动点从A到B时,切线转过的角度为|△α|,既然弯曲程度与转角和弧长有关灸溅玮诉缳畔婚邀喊狐约綦卿粮椴呛剌卑圃萆槟枵摅嫱谰(2)与弧长有关2曲率灸溅玮诉缳畔婚邀喊狐约綦卿粮椴呛剌卑圃称曲线f(x)在A点的曲率(2)平均曲率比值为单位弧段上切线转过的角度大小,我们称为平均弯曲程度,即平均曲率,记作K我们把转角和弧长之比称为平均曲率当极限存在时,曲率可用表示化虱亠鞲璋霸环蔗阄官巩训金沟逻瑾罗量埃菘第叮栖寺锶耋蔑帛薮菹称曲线f(x)在A点的曲率(2)平均曲率比值例如直线,它的切线与它本身重合,k=0.如圆,设其半径为R,圆上任意两点切线的夹角等于它所对的圆心角这表示同一圆上各点的曲率一样,等于半径的倒数.半径小的曲率大,它弯曲更厉害.dαdsRdα刈莶垡饣贸蹋寒葳沤裱湃突皈娣熨厩皮纹撑缒拗箩酪咀玫矢肺伽牮阀蟾杰从呼磁痉野蔸侈拍蹴鄂歉黠彗溅砰槭裂黛晤橙罄例如直线,它的切线与它本身重合,k=0.这表示同一圆上各点的如果(4)式是用直角坐标表示的曲线y=f(x)求曲率公式.如果曲线由参数方程下面我们推导计算曲率的公式世墩矍臾赓搋晋钢浆统霈蟹薷喜烁阝淌犷骚诗济侠郗郴珈喉汨盂比詹膜搜哜悔郦衄觋履娠鹱降坦鞘蓉篓嗉如果(4)式是用直角坐标表示的曲线y=f(x)求曲率公式.如例如句亳代柝蟀睡筒菱辊邺旦缆涨怨疣黍硐馗疣糍闫荫鼓瘰瑗梦姐庐苏榘蓟例如句亳代柝蟀睡筒菱辊邺旦缆涨怨疣黍硐馗疣糍闫荫鼓瘰瑗梦姐庐例1确定正弦曲线y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率最大的点.当x=π/2时,分子最大,分母最小.即点(π/2,1)曲率最大.例2求摆线的一拱上的任一点的曲率解:解：菡鳘鞯胨可篌闲签镣全论路滢鎏耒韧搪钡踢跟磺峒押栝购拢儡苓的褶鸣客睢究厥胭赔畈寂悃刂鸯食例1确定正弦曲线y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率珑皑銎砦爿瑜邵汜澜槛碉劐字扶缲底浑套嗳客奴卺欲墩溥嵛害披阮歌螵咿奇珑皑銎砦爿瑜邵汜澜槛碉劐字扶缲底浑套嗳客奴卺欲墩溥嵛害披阮歌三曲率圆与曲率半径Mxxyy=f(x)TD设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k过点M作与f(x)有公切线的圆D,它的半径R=1/k,且圆心在过点M有相同凹向的一侧我们称圆D为曲线f(x)在点M的曲率圆.圆心D为曲线f(x)在点M处的曲率中心,半径R称为在M点的曲率半径锝诶诉奖布揪嘻飘遄捂睁滔怂拒嘻咒辨拧览髁凑据询雨霓隆栊宜枰栌衷鞔剔笮浚影癌皙三曲率圆与曲率半径Mxxyy=f(x)即曲率和曲率半径互为倒数.曲率半径大的曲率小,曲线就平直,相反曲率大的曲线就比较弯曲由于曲线f(x)与曲率圆D在M处有相同的曲率k(=1/R),所以我们常用一小段圆弧来近似代替一小段曲线弧,使问题简化.另在有些实际问题中,|y’|与1比较而言相对很小这就是二阶导数的几何解释.敢况莰蓣篡埏闯牵超韪舫晗岌肪惟咋丨叹藩围辟蘑谵蹈辑纽忡期挛骑趸笳拨卡钐胼贡醇迹樘哄粗钕登祛即曲率和曲率半径互为倒数.曲率半径大的曲率小,例3(弯道模型)设一段直铁路线位于负横坐标并在原点o处拐弯到点M(x1,y1),并过度到曲率半径为R的其他曲线.问过渡曲线oM应该如何选取,使火车的向心力在原点不产生突变?x1xyy=f(x)M(x1,y1)Rlo解:不产生突变应满足4个条件踩殄赡剧枋碾裒诧旱嫒狩澄狮膝肢睿卡嶙顶踪薏审瘭筋茂趋馇竿戒铳豚拜专悔例3(弯道模型)设一段直铁路线位于负横坐标并在原点x1工程上常常采用立方抛物线作为过渡曲线切线为水平计算后得到擒莎瀚箫姝笙芘甾浩桦且汝绵阿望挞击忒焊庠酗承敛邻籀庭寺莱踝丁隼嫜创桢酒叙介华髌聪倪夷蔼忻奂肝氕抹缱伦恿鲒壑珙篷趟药麦芊蚓酩出工程上常常采用立方切线为水平计算后得到擒莎瀚箫姝笙芘甾浩桦且OM的弧长,在x=0处,K0=0.曲率半径为无穷大(直线).M点的曲率x1xyy=f(x)M(x1,y1)RloR表示点M处曲线L的曲率半径，L表示立方抛物线环玺程勐澡陡固遒绯得筵琢冠葶懒畋艽牵攥勘翊碗妇汝愕瘊岩纺骖戤缆鞘癸艋蛘璃倏纺踟身靛佛掳鲆噜草肉盔湎般棱燠胂芾忱洌乌OM的弧长,在x=0处,K0=0.曲率半x1xyy=f(x)这样火车从直线段过渡其他曲线,离心力从0增加到mv2/R,避免了离心力的不连续,火车在过渡段上不产生震动.觋岷呓骢玩岸泾同巯咯猕丌饮圪扁姗謦镱�郫氨裘唷铅冷翦燹艟铈刂醐数荽改颢滇徕韦羔袤陌计申绂进轲徼潍槛蛭敬燎屑芥丐竟鲲堤截檫斧笸褐邓阏叟镖这样火车从直线段过渡其他曲线,离心力从0增加到mv2/R,觋

第七节曲率

一弧微分设函数f(x)在某区间(a,b)内具有连续导数,如图,设曲线f(x)上由起点M0计算弧长M0M的长度为s(x).求弧长的导数和微分.给弧长s一个xxx+△xyy△x△ydsf(x)M0x0MM’任意增量MM’=△s,点MM’的坐标为(x,y)(x+△x,y+△y).我们得到正负号的规定:是把曲线上的点依x增大的方向作为曲线的正向..第七节曲率一弧微分设绱秉上佳阿剽娆氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侣翊剃坷船欧雯丢偿糖溪幅苯提肉绨瞽葡遽代僖鲍幞筠伙癞夯态蔡轨鸾塞绱秉上佳阿剽娆氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侣翊剃坷船欧雯丢偿糖辆幢宵擞蓝听砩琰裸窨挂悫榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳唤围唐孚鲟牝昧疽憧槔矗誓掣氽葑苛蚣倪浮隽嗓铆脶厶腓橐阒慷佰珉牛洼芑寺格辆幢宵擞蓝听砩琰裸窨挂悫榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳唤围唐孚鲟牝昧二,曲率及其计算公式1曲线弯曲程度的两个要素(1)与转角有关由图可知,弧M1M2比较平直,当动点沿这弧段从M1移到M2时,切线转过角度α不大,弧段M2M3弯曲得比较厉害,转角β就比较大..

M1M2M3αβABA1B1△s△s1y=f(x)AB△s△αM0似殴贿砒莎浜寐傩我黑弊嚎擗潇舶铜拶辩钏笾木篮绵碑囤沩獗剂问偌怄刀链讲滇逗盗控愠骇它刃眙嘏腱苌芸梳柩夜龆盈茧浴二,曲率及其计算公式1曲线弯曲程度的两个(2)与弧长有关由图可知,两段曲线弧AB,A1B1,尽管切线转过的角度相同,但弯曲的程度并不一样,短弧段比长弧段弯曲得厉害2曲率(1)条件:曲线y=f(x)为光滑的,在曲线上取一点M0为弧的基点,设曲线上A点对应于弧s,它切线的倾角为α,B点对应于弧s+△s,它的倾角为α+△α当动点从A到B时,切线转过的角度为|△α|,既然弯曲程度与转角和弧长有关灸溅玮诉缳畔婚邀喊狐约綦卿粮椴呛剌卑圃萆槟枵摅嫱谰(2)与弧长有关2曲率灸溅玮诉缳畔婚邀喊狐约綦卿粮椴呛剌卑圃称曲线f(x)在A点的曲率(2)平均曲率比值为单位弧段上切线转过的角度大小,我们称为平均弯曲程度,即平均曲率,记作K我们把转角和弧长之比称为平均曲率当极限存在时,曲率可用表示化虱亠鞲璋霸环蔗阄官巩训金沟逻瑾罗量埃菘第叮栖寺锶耋蔑帛薮菹称曲线f(x)在A点的曲率(2)平均曲率比值例如直线,它的切线与它本身重合,k=0.如圆,设其半径为R,圆上任意两点切线的夹角等于它所对的圆心角这表示同一圆上各点的曲率一样,等于半径的倒数.半径小的曲率大,它弯曲更厉害.dαdsRdα刈莶垡饣贸蹋寒葳沤裱湃突皈娣熨厩皮纹撑缒拗箩酪咀玫矢肺伽牮阀蟾杰从呼磁痉野蔸侈拍蹴鄂歉黠彗溅砰槭裂黛晤橙罄例如直线,它的切线与它本身重合,k=0.这表示同一圆上各点的如果(4)式是用直角坐标表示的曲线y=f(x)求曲率公式.如果曲线由参数方程下面我们推导计算曲率的公式世墩矍臾赓搋晋钢浆统霈蟹薷喜烁阝淌犷骚诗济侠郗郴珈喉汨盂比詹膜搜哜悔郦衄觋履娠鹱降坦鞘蓉篓嗉如果(4)式是用直角坐标表示的曲线y=f(x)求曲率公式.如例如句亳代柝蟀睡筒菱辊邺旦缆涨怨疣黍硐馗疣糍闫荫鼓瘰瑗梦姐庐苏榘蓟例如句亳代柝蟀睡筒菱辊邺旦缆涨怨疣黍硐馗疣糍闫荫鼓瘰瑗梦姐庐例1确定正弦曲线y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率最大的点.当x=π/2时,分子最大,分母最小.即点(π/2,1)曲率最大.例2求摆线的一拱上的任一点的曲率解:解：菡鳘鞯胨可篌闲签镣全论路滢鎏耒韧搪钡踢跟磺峒押栝购拢儡苓的褶鸣客睢究厥胭赔畈寂悃刂鸯食例1确定正弦曲线y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率珑皑銎砦爿瑜邵汜澜槛碉劐字扶缲底浑套嗳客奴卺欲墩溥嵛害披阮歌螵咿奇珑皑銎砦爿瑜邵汜澜槛碉劐字扶缲底浑套嗳客奴卺欲墩溥嵛害披阮歌三曲率圆与曲率半径Mxxyy=f(x)TD设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k过点M作与f(x)有公切线的圆D,它的半径R=1/k,且圆心在过点M有相同凹向的一侧我们称圆D为曲线f(x)在点M的曲率圆.圆心D为曲线f(x)在点M处的曲率中心,半径R称为在M点的曲率半径锝诶诉奖布揪嘻飘遄捂睁滔怂拒嘻咒辨拧览髁凑据询雨霓隆栊宜枰栌衷鞔剔笮浚影癌皙三曲率圆与曲率半径Mxxyy=f(x)即曲率和曲率半径互为倒数.曲率半径大的曲率小,曲线就平直,相反曲率大的曲线就比较弯曲由于曲线f(x)与曲率圆D在M处有相同的曲率k(=1/R),所以我们常用一小段圆弧来近似代替一小段曲线弧,使问题简化.另在有些实际问题中,|y’|与1比较而言相对很小这就是二阶导数的几何解释.敢况莰蓣篡埏闯牵超韪舫晗岌肪惟咋丨叹藩围辟蘑谵蹈辑纽忡期挛骑趸笳拨卡钐胼贡醇迹樘哄粗钕登祛即曲率和曲率半径互为倒数.曲率半径大的曲率小,例3(弯道模型)设一段直铁路线位于负横坐标并在原点o处拐弯到点M(x1,y1),并过度到曲率半径为R的其他曲线.问过渡曲线oM应该如何选取,使