切比雪夫滤波器设计课件

第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法

4.模拟滤波器的频率变换-----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。提出的背景1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数

1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前两项给出后才能迭代下一个Chebyshev多项式的特性当N=0时，C0(x)=1；前两项给出后才能迭代下一个Che切比雪夫滤波器设计课件N=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数N=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：

2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：

通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：

：通带截止频率，给定

：表征通带内波纹大小由通带衰减决定3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：：通带截

设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为：

令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出滤波器阶数N

的确定设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：令书上该公式有错3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布

以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bΩp，短半轴为aΩp的椭圆上的点。上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ω

设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布切比雪夫滤波器设计课件5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:

归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中：5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤: 归一化：1）3）求出归一化系统函数：

或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化

3）求出归一化系统函数：

或者由N和，直接查表得其中

例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。解

(1)滤波器的技术指标：例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带(2)求阶数N和ε：此过程可直接查表(2)求阶数N和ε：此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：(4)将Ha(p)去归一化，得到：此过程也可直接查表完成(3)求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出小结：模拟滤波器设计的步骤

通带截止频率、通带衰减

阻带截止频率、阻带衰减确定滤波器的技术指标：将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器构造归一化低通原型滤波器的系统函数反归一小结：模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率、通带衰4.模拟滤波器的频率变换----

模拟高通、带通、带阻滤波器的设计

高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。4.模拟滤波器的频率变换----

模拟高通、带通、带符号规定归一化模拟低通模拟高通、带通、带阻模拟域频带变换符号规定归一化模拟高通、模拟域1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为低通到高通的频率变换关系为1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为低通到高通的频率模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技术指标：

(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率；②低通滤波器阻带截止频率；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。

(3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(4)求模拟高通的H(s)。模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技例6.2.3设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。解①高通技术指标要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

归一化频率②低通技术要求：例6.2.3设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100H③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

④求模拟高通H(s)：③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

④求模

带通与低通滤波器的幅度特性

η与λ的对应关系2)低通到带通的频率变换

带通与低通滤波器的幅度特性η与λ的对应关系2)低通到切比雪夫滤波器设计课件

由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有带通滤波器的归一化带宽为1

低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应η

由于

将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)归一化低通到任意带通系统函数的转换公式

两个环节:1.归一化低通到归一化带通；2.归一化带通到任意带通由于将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl

下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2

通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu-Ωl

与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：下面总结模拟带通的设计步骤。

(2)确定归一化低通技术要求：

λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs(3)设计归一化低通G(p)。

(4)反归一:直接将G(p)转换成带通H(s)。(2)确定归一化低通技术要求：6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=66.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200r(2)模拟归一化低通技术指标要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有(2)模拟归一化低通技术指标要求：

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模拟带通H(s)：取N=3，查表6.2.1，得(4)3)低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性图6.2.11低通与带阻滤波器的幅频特性3)低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性图6B作为一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η与λ的对应关系B作为一化参考频率。相应的归一化边界频率为表切比雪夫滤波器设计课件低通到带阻的频率变换公式直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。根据η与λ的对应关系，可得到：λp=1令p=jλ，并去归一化，可得低通到带阻的频率变换公式直接由归一化低通转换成带阻的频率变换(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：

设计模拟带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：设计模拟带阻滤波器的(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：

取绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp，阻带最小衰减为αs

(3)设计归一化模拟低通G(p)(4)转换成带阻滤波器H(s)。(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：

例6.2.5设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解：(1)模拟带阻滤波器的技术要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=Ωu-Ωl=2π×200;例6.2.5设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25

(2)归一化低通的技术要求：ηl=Ωl/B=4.525,

(4)带阻滤波器的H(s)为(3)设计归一化低通滤波器G(p):(4)带阻滤波器的H(s)为(3)设计归一化低通滤波模拟滤波器设计的步骤

通带截止频率、通带衰减

阻带截止频率、阻带衰减确定滤波器的技术指标：将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器构造归一化低通原型滤波器的系统函数G(P）首先要掌握低通原型滤波器的设计方法模拟滤波器设计的步骤

通带截止频率、通带衰减 模拟滤波器设计步骤小结（1）确定需要设计的“实际AF”H(jΩ)指标(2)将实际AF转换成相应低通AF指标(3)根据实际滤波特性要求，选择合适的AF类型,设计相应的归一化低通G（P)(4)频率变换,将G(P)转化成实际AF系统函数模拟滤波器设计步骤小结（1）确定需要设计的“实际AF”H(j51可编辑感谢下载51可编辑感谢下载第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法

4.模拟滤波器的频率变换-----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。提出的背景1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数

1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前两项给出后才能迭代下一个Chebyshev多项式的特性当N=0时，C0(x)=1；前两项给出后才能迭代下一个Che切比雪夫滤波器设计课件N=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数N=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：

2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：

通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：

：通带截止频率，给定

：表征通带内波纹大小由通带衰减决定3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：：通带截

设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为：

令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出滤波器阶数N

的确定设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：令书上该公式有错3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布

以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bΩp，短半轴为aΩp的椭圆上的点。上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ω

设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布切比雪夫滤波器设计课件5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:

归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中：5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤: 归一化：1）3）求出归一化系统函数：

或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化

3）求出归一化系统函数：

或者由N和，直接查表得其中

例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。解

(1)滤波器的技术指标：例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带(2)求阶数N和ε：此过程可直接查表(2)求阶数N和ε：此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：(4)将Ha(p)去归一化，得到：此过程也可直接查表完成(3)求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出小结：模拟滤波器设计的步骤

通带截止频率、通带衰减

阻带截止频率、阻带衰减确定滤波器的技术指标：将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器构造归一化低通原型滤波器的系统函数反归一小结：模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率、通带衰4.模拟滤波器的频率变换----

模拟高通、带通、带阻滤波器的设计

高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。4.模拟滤波器的频率变换----

模拟高通、带通、带符号规定归一化模拟低通模拟高通、带通、带阻模拟域频带变换符号规定归一化模拟高通、模拟域1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为低通到高通的频率变换关系为1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为低通到高通的频率模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技术指标：

(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率；②低通滤波器阻带截止频率；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。

(3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(4)求模拟高通的H(s)。模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技例6.2.3设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。解①高通技术指标要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

归一化频率②低通技术要求：例6.2.3设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100H③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

④求模拟高通H(s)：③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

④求模

带通与低通滤波器的幅度特性

η与λ的对应关系2)低通到带通的频率变换

带通与低通滤波器的幅度特性η与λ的对应关系2)低通到切比雪夫滤波器设计课件

由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有带通滤波器的归一化带宽为1

低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应η

由于

将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)归一化低通到任意带通系统函数的转换公式

两个环节:1.归一化低通到归一化带通；2.归一化带通到任意带通由于将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl

下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2

通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu-Ωl

与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：下面总结模拟带通的设计步骤。

(2)确定归一化低通技术要求：

λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs(3)设计归一化低通G(p)。

(4)反归一:直接将G(p)转换成带通H(s)。(2)确定归一化低通技术要求：6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=66.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200r(2)模拟归一化低通技术指标要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有(2)模拟归一化低通技术指标要求：

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模拟带通H(s)：取N=3，查表6.2.1，得(4)3)低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性图6.2.11低通与带阻滤波器的幅频特性3)低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性图6B作为一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η与λ的对应关系B作为一化参考频率。相应的归一化边界频率为