稳健自适应波束形成算法第章模约束稳健波束形成算法课件

第4章模约束稳健波束形成算法4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法第4章模约束稳健波束形成算法4.1基于模约束的稳健Cap4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法

假设阵列由M个传感器组成，则窄带自适应波束形成算法的输出通常表示为

y=wHx(4.1-1)

其中x为阵列的M×1维复采样数据，w为M×1维的自适应加权矢量，(·)H表示共轭转置。4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法

假假设R为阵列输出矢量的理论协方差矩阵，且R>0（正定），则基于空间滤波形式的标准Capon波束形成（SCB）问题可以表示成如下最优化问题：(4.1-2)假设R为阵列输出矢量的理论协方差矩阵，且R>0（正定）其中s为有用信号（SOI）的导向矢量。对于窄带信号，R为其中心频率处的协方差矩阵；对于宽带信号，R为给定频率单元的中心频率处的协方差矩阵。在实际应用中，R通常由样本协方差矩阵代替，其中：(4.1-３)其中N表示快拍数量，xn表示第n个快拍。其中s为有用信号（SOI）的导向矢量。对于窄带信号，R为该最优化问题可以通过Lagrange乘数方法进行求解，即

从上面的最优化问题可以看出，它可以被解释为一个自适应空域滤波问题，即给定R和s，确定加权矢量w作为空间滤波器，使得感兴趣的有用信号无失真地通过，同时使得R中的无用干扰和噪声的贡献最小。(4.1-4)该最优化问题可以通过Lagrange乘数方法进行求解，4.1.2模不等式约束的Capon波束形成算法

NICCB波束形成问题可以表示为(4.1-5)其中s为假设的有用信号（SOI）导向矢量，ζ为模不等式约束参数。4.1.2模不等式约束的Capon波束形成算法

令S表示该最优化问题的约束条件集合，即

(4.1-6)

而且，Lagrange函数可以表示为

(4.1-7)

其中λ和μ为实值Lagrange乘数，μ为任意常数，而λ≥0，并且满足R+λI>0。因此，f1(w,λ,μ)相对于w

可以被最小化，即

(4.1-8)

其中等号在S的边界上取得。 令S表示该最优化问题的约束条件集合，即

当参数ζ满足下面的条件时：

(4.1-9)

基于SCB的自适应加权矢量就满足式(4.1-8)。利用s代替SCB解中的s，即

(4.1-10)

满足NICCB中的模不等式约束条件。因此，该最优解也是NICCB的解。但是，对于这种情况，λ=0和NICCB中的模约束条件是不起作用的。当参数ζ满足下面的条件时：

因此，考虑参数ζ满足下面的条件，即

(4.1-11)

因此，对于NICCB，该条件约束着参数ζ的上限。因而在该条件下，NICCB不同于SCB。为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重新表示为下式：(4.1-12) 因此，考虑参数ζ满足下面的条件，即

因此，对于固定的λ和μ，g1(w,λ,μ)的无约束最小化由下式给出：

(4.1-13)

显然有

(4.1-14)

f2(λ,μ)关于μ的最小化可以由下式给出：(4.1-15)因此，对于固定的λ和μ，g1(w,λ,μ)的无约束最以及对上式求关于λ的最大化，将会得到：为了获得最优的加权矢量，必须求解该方程。以及对上式求关于λ的最大化，将会得到：为了获得最优的加权将上面求出的μ表达式代入最优加权矢量表达式中，可得该式必然满足：以及(4.1-18)(4.1-19)(4.1-20)将上面求出的μ表达式代入最优加权矢量表达式中，可得该式令(4.1-21)则h(λ)在λ≥0时，为单调减函数［10］。这是因为对于任意的关于参数λ的矩阵函数F，有(F－1)′=－F－1F′F－1(4.1-22)其中表示取导数操作，而且还有(F－2)′=－F－2(F′F+FF′)F－2(4.1-23)令(4.1-21)则h(λ)在λ≥0时，为单调减函数［1如果令

F=R+λI(4.1-24)

则有F′=I，而且可得上面h(λ)的导数表达式：(4.1-25)如果令

F=R+λI根据F的表达式可知，当λ≥0时，F>0。故有(4.1-26)因此，当λ≥0时，h′(λ)≤0，即当λ≥0时h(λ)为单调减函数。根据波束形成算法的无失真响应约束，可得(4.1-27)故可得约束参数ζ的下限为(4.1-28)根据F的表达式可知，当λ≥0时，F>0。故有(4.即如果ζ小于该下限，则该波束形成算法无解。因此约束参数ζ至少选择在如下不等式定义的区间之内(4.1-29)后面还会根据解的存在情况对约束参数ζ的取值范围进行更加准确的计算。为了求解方程h(λ)=ζ，令(4.1-30)即如果ζ小于该下限，则该波束形成算法无解。因此约束参数ζ其中矩阵U的列向量由R的特征矢量u1,u2,…，uM组成，对角矩阵Γ的对角线元素γ1≥γ2≥…≥γM为相应的特征值。h(λ)可重新表示如下：(4.1-31)其中矩阵U的列向量由R的特征矢量u1,u2,…，uM组故可得故可得为了分析的方便，令

(4.1-34)

因此，上面的不等式关系(4.1-32）和(4.1-33)可简写为：(4.1-35)(4.1-36)为了分析的方便，令

(4.1-37)(4.1-37)因此，当(4.1-38)因此，当(4.1-38) 因为：(4.1-39)(4.1-40)满足h(λ)=ζ。 因为：(4.1-39)(4.1-40)满足h(λ)=(4.1-41)(4.1-41)因此，(4.1-42)因此，(4.1-42)因为：(4.1-43)(4.1-44)不存在λ满足h(λ)=ζ。因为：(4.1-43)(4.1-44)不存在λ满足h(λ)4.1.3模不等式约束参数的选择

基于上面的推导分析可知，模不等式约束参数ζ应该满足下面的条件：(4.1-45)4.1.3模不等式约束参数的选择

基于上面的推导即(4.1-46)故当模不等式约束参数ζ满足上面的条件时，NICCB的解一定存在。即(4.1-46)故当模不等式约束参数ζ满足上面的条件时4.1.4模等式约束的Capon波束形成算法

NECCB波束形成问题可以表示如下：(4.1-47)其中的参数定义同NICCB。4.1.4模等式约束的Capon波束形成算法

NNECCB的解具有和NICCB相同的形式，但是Lagrange乘数

的取值范围不同。对于NECCB有：(4.1-4８)(4.1-49)因此，对于NECCB有下面的讨论结果。NECCB的解具有和NICCB相同的形式，但是Lagr(4.1-51)(4.1-50)(4.1-51)(4.1-50)(4.1-52)(4.1-52)因此，(4.1-53)因此，(4.1-53)4.1.5仿真分析

1.算法的有效性分析

为了验证所提出算法的有效性，波束形成算法的方向图如图4.1-1所示。由于存在信号的指向误差，所以SCB方向图的主瓣指向5°，而NICCB的方向图基本和SCB的接近，改善效果不是很明显，但是NECCB方向图的主瓣基本指向实际的信号方向0°。4.1.5仿真分析

1.算法的有效性分析

图4.1-1Capon波束形成算法的方向图（1）图4.1-1Capon波束形成算法的方向图（1）为了进一步验证所提出算法的稳健性，还进行了另一场景的比较分析，其中信号的方向角为－20°，而假定

的信号方向角为-15°，两个等功率的干扰信号分别位于

－80°和40°处，信噪比和干噪比分别为－5dB，波束形成算法的方向图如图4.1-2所示，由于该算法只对有用信号参数进行约束，故只比较主瓣指向，通过比较可知，NECCB准确地指向了信号的真实方向，而SCB和NICCB指向了带有误差的假定方向。为了进一步验证所提出算法的稳健性，还进行了另一场景的比图4.1-2Capon波束形成算法的方向图（2）图4.1-2Capon波束形成算法的方向图（2）2.加载电平对算法的性能影响分析

负加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-3所示。当加载电平在［，0］内变化时，NCCB的方向图指向相应地进行变化，当加载电平为负时，对应于NECCB，从方向图的指向可以看出，负加载对波束形成算法的指向性能有一定的改善，但是只有在最优的NECCB时，方向图的主瓣指向是最优的。2.加载电平对算法的性能影响分析

负加载对波束形图4.1-3负加载对波束形成算法方向图的影响图4.1-3负加载对波束形成算法方向图的影响正加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-4所示。当加载电平在内变化时，NCCB的方向图指向相应地进行变化，当加载电平为正时，对应于NICCB，从方向图的指向可以看出，正加载对波束形成算法的指向性能有一定的改善，但改善不是很明显。正加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-4所示。当加载图4.1-4正加载对波束形成算法方向图的影响图4.1-4正加载对波束形成算法方向图的影响通过图4.1-3和图4.1-4的方向图比较可以清楚地看出，随着加载电平在内变化，NCCB的方向图指

向相应地进行变化，但是负加载的性能优于正加载的性能，而且只有在最优的NECCB时，即最优负加载时，方向图的主瓣指向是最优的。因此，有效的加载可明显地改善Capon波束形成算法的指向性能。通过图4.1-3和图4.1-4的方向图比较可以清楚地看出对角加载电平对Capon波束形成算法的信噪比（SNR）影响如图4.1-5所示。仿真中信噪比的计算利用了以下公式：(4.1-54)其中σ2s为信号功率，s为信号导向矢量，R为阵列接收数据的协方差矩阵，而w为加权矢量，为了简化仿真，其中设置σ2s=1。对角加载电平对Capon波束形成算法的信噪比（SNR）影图4.1-5加载电平变化时的输出SNR图4.1-5加载电平变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的变化如图4.1-6所示。与图4.1-5相似，当加载电平在允许的范围，即在区间内选择时，模约束Capon波束形成算法的加权矢量模值也随之相应地变换,其中NCCB的最高点对应与图4.1-5中NCCB的最低点。因此，加载电平对加权矢量的模值具有较大的影响。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的图4.1-6加载电平变化时的加权矢量模值图4.1-6加载电平变化时的加权矢量模值3.模约束参数对算法的性能影响分析

NICCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-7所示。从图中的方向图曲线可以清楚地看出，当模约束参数在(ζmin,ζmax)内变化时，NICCB的方向图也随之变化，但

是变化不是很明显，性能改善也不理想。3.模约束参数对算法的性能影响分析

NICCB的方图4.1-7模约束参数变化时的NICCB方向图图4.1-7模约束参数变化时的NICCB方向图NECCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-8所示。从图中的方向图曲线可以清楚地看出，当模约束参数在(ζmin,ζmax)内变化时，NECCB的方向图也随之变化，除了当模约束参数取最大值的方向图之外，其它参数时的方向图变化也不是很明显，但是性能改善相当显著。因为当模约束参数取最大值时，约束条件基本不起作用，所以性能改善较差。NECCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-8所示。图4.1-8模约束参数变化时的NECCB方向图图4.1-8模约束参数变化时的NECCB方向图Capon波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图4.1-9所示。当模约束参数在允许的范围内，即在区间(ζmin,ζmax)内变化时，波束形成算法的SNR也随之相应地变换。NICCB相对于Capon具有较高的SNR，而NECCB具有最高的SNR。Capon波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图图4.1-9模约束参数变化时的输出SNR图4.1-9模约束参数变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变化如图4.1-10所示。与图4.1-9相类似，当模约束参数在允许的范围，即在区间(ζmin,ζmax)内变化时，基于模

约束的Capon波束形成算法的加权矢量模值也随之相应地变化，而且近似等于模约束参数的平方根。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变图4.1-10模约束参数变化时的加权矢量模值图4.1-10模约束参数变化时的加权矢量模值4.样本数量对波束形成算法的影响

Capon波束形成算法的SNR相对于样本数量的变化如

图4.1-11所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的

变化，Capon波束形成算法的SNR也相应地进行变化。NICCB优于标准Capon波束形成算法，而且低于理想Capon（即Ideal-SCB）波束形成算法，而NECCB相比于NICCB更加接近理想Capon。4.样本数量对波束形成算法的影响

Capon波图4.1-11样本数量变化时的输出SNR图4.1-11样本数量变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化如图4.1-12所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的变化，NICCB和NECCB具有较低的加权矢量模值，而SCB具有较高的加权矢量模值；相对于没有约束的Capon波束形成算法，具有模约束的Capon具有较低的加权矢量模值起伏。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化图4.1-12样本数量变化时的加权矢量模值图4.1-12样本数量变化时的加权矢量模值4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法

4.2.1LCMP波束形成算法

LCMP最优化问题可以描述如下：

(4.2-1)其中Rx=E｛x(k)xH(k)｝为数据协方差矩阵。4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法

4.2最小化函数（Lagrange函数，f(w,μ)）为

(4.2-2)

其中μ为Lagrange乘数矢量。为了求解f(w,μ)，求其关于w的复梯度，并令结果等于零，可得

(4.2-3)

或者

w=R－1xCμ(4.2-4)最小化函数（Lagrange函数，f(w,μ)）为为了求解μ，将上式所示的最优解代入LCMP最优化问题的约束条件，可得求解该方程可得注意到Rx为Hermitian矩阵，有［R－1x］H=R－1x。为了求解μ，将上式所示的最优解代入LCMP最优化问题的将解出的Lagrange乘数矢量代入上面所求的最优加权矢

量中，即得LCMP波束形成算法的最终加权矢量表达式：

w=R－1xC(CHR－1xC)－1f(4.2-7)

在阵列信号处理中，典型的线性约束包括主波束约束和零点约束。其中主波束约束主要用于将主波束展宽或使主瓣更加平坦，以提供对阵列响应失配的稳健性，而零点约束主要用于在某些方向进行置零处理，以提高波束形成器的干扰抑制能力。将解出的Lagrange乘数矢量代入上面所求的最优加权4.2.2二次不等式约束LCMP波束形成算法

二次不等式约束（QIC）条件下的LCMP波束形成算法是通过对加权矢量w的模强加一个不等式约束，用来改善对于指向误差和传感器参数随机扰动的稳健性，即对权矢量w的二次不等式约束具有如下所示的形式：

‖w‖2≤ε(4.2-8)4.2.2二次不等式约束LCMP波束形成算法

因此，QICLCMP波束形成算法可以描述如下：(4.2-9)由于该波束形成算法一直未能得到有效的求解，因而制约着该算法的应用。因此，QICLCMP波束形成算法可以描述如下：(4.2-91.QICLCMP波束形成算法的求解

令S表示，式(4.2-9)所示的最优化问题的约束条件集合，即

定义函数：

(4.2-11)

其中λ为实值Lagrange乘数，且λ≥0,满足Rx+λI>0，因此f1(w,λ,μ)可以相对于参数w最小化，而μ为任意的Lagrange乘数矢量。1.QICLCMP波束形成算法的求解

令S因此有

f1(w,λ,μ)≤wHRxw,w∈S(4.2-12)

其中该式的等号在S的边界上取得。

考虑条件：(4.2-13)当上面的条件成立时，LCMP的解(4.2-14)因此有

f1(w,满足QICLCMP波束形成算法的模约束条件，因此也是QICLCMP波束形成算法的解。但是对于这种情况λ=0，并且QICLCMP波束形成算法的模约束不起作用。

另外，考虑条件：(4.2-15)该条件约束着参数ε的上限，故QICLCMP波束形成算法不同于LCMP波束形成算法。满足QICLCMP波束形成算法的模约束条件，因此也是Q为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重写如下：(4.2-16)因此，对于给定的λ和μ，f1(w,λ,μ)的无约束最小化解由下式给出：(4.2-17)为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重写如下显然有

(4.2-18)因此，f2(λ,μ)相对于μ的最大化由下式给出：令上式等于零即可解出μ，即(4.2-19)(4.2-20)显然有

(4.2-18)因此，f2(λ,μ)相对于μ的最(4.2-21)对于参数λ的任意矩阵函数F，有如下结论：(4.2-2２)(4.2-21)对于参数λ的任意矩阵函数F，有如下结论：因此，求f3(λ)关于参数λ的最大化，可得(4.2-23)(4.2-24)因此，求f3(λ)关于参数λ的最大化，可得(4.2-23该最优权矢量将满足QICLCMP波束形成算法的约束条件，即满足以及(4.2-25)(4.2-26)该最优权矢量将满足QICLCMP波束形成算法的约束条件，为了获得Lagrange乘数λ，必须利用Newton等方法求解下面的方程：(4.2-27)因此，QICLCMP波束形成算法的关键问题是利用方程(4.2-27)求解最优Lagrange乘数。为了获得Lagrange乘数λ，必须利用Newton等2.最优Lagrange乘数的求解

为了求解该方程，对样本协方差矩阵进行如下的特征分解（EVD）：

(4.2-28)

其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)为对角矩阵，U=(u1,u2,…,uN)为Hermitian矩阵，λi(i=1,2，…，N)和ui(i=1,2，…，N)分别为Rx的特征值和特征矢量，N为接收数据的自由度。2.最优Lagrange乘数的求解

为了求解该为了分析的方便，假设Rx的特征值（或特征矢量）按照如下所述的降序排列:

λ1≥λ2≥…≥λN(4.2-29)

因此，可得(4.2-30)为了分析的方便，假设Rx的特征值（或特征矢量）按照如下所以有：

并且令(4.2-33)所以有：

并且令(4.2-33)因此，f(λ)可以被重新表示为(4.2-34)因此，f(λ)可以被重新表示为(4.2-34)可得以下结论：

可得以下结论：

对上述结果进行简化，可得如下的简单不等式关系：(4.2-38)(4.2-39)(4.2-40)对上述结果进行简化，可得如下的简单不等式关系：(4.2-（1）如果a>1，则有：(4.2-41)(4.2-42)由于λ≥0，而λM－aλ1<0，因此，在a>1的条件下，Lagrange乘数λ的取值范围由下式给出：(4.2-43)（1）如果a>1，则有：(4.2-41)(4.2-4因此，可得：(4.2-44)利用条件a<λ1/λM可得，当1<a<λ1/λM时，至少存在一个解λ∈［λ(1)min,λ(1)max］满足方程f(λ)=0。因此，可得：(4.2-44)利用条件a<λ1/λM（2）如果a<1，则有：(4.2-45)(4.2-46)（2）如果a<1，则有：(4.2-45)(4.2-由于λ≥0，而aλM－λ1≤0,如果aλ1－λM≥0，则有a≥λM/λ1，因此，当λM/λ1≤a<1时，Lagrange乘数λ的取值范围由下式给出：因此，可得：(4.2-47)(4.2-48)由于λ≥0，而aλM－λ1≤0,如果aλ1－λM≥03.QICLCMP波束形成算法

综上所述，QICLCMP波束形成算法由以下步骤实现。第一步：对数据协方差矩阵Rx进行特征分解，得到

Rx的特征值/特征矢量。利用定义式(4.2-33)计算参数γ。3.QICLCMP波束形成算法

综上所述，QI第三步：利用在第二步得到的最优Lagrange乘数，按照(4.2-24)式计算最优加权矢量，或按照下式进行计算：(4.2-49)其中对角矩阵Λ+λI的逆矩阵比较容易计算，而且矩阵UHC也可以利用第一步中的计算结果。第三步：利用在第二步得到的最优Lagrange乘数，4.2.3二次不等式约束参数的选择

二次不等式约束参数ε的选择可以按照下式进行：

(4.2-50)(4.2-51)(4.2-52)4.2.3二次不等式约束参数的选择

二次不等式约束参4.2.4二次等式约束LCMP波束形成算法

QECLCMP波束形成算法可以描述如下:(4.2-53)对比QICLCMP和QECLCMP波束形成算法可知，QICLCMP波束形成算法的解存在于约束条件的边界上，同样QECLCMP波束形成算法的解也在约束条件的边界上取得。4.2.4二次等式约束LCMP波束形成算法

QE1.最优Lagrange乘数的求解

QECLCMP的Lagrange乘数的取值范围可由下式

确定：(4.2-54)(4.2-55)1.最优Lagrange乘数的求解

QECLCMP（1）如果a>1，则有(4.2-56)(4.2-57)（1）如果a>1，则有(4.2-56)(4.2-57)（2）如果a<1，则有(4.2-58)如果aλ1－λM>0，则a>λM/λ1，由于aλM－λ1<0且，因此，当λM/λ1<a<1时，可得（2）如果a<1，则有(4.2-58)如果aλ1(4.2-59)束形成算法的分析结果，可知当λM/λ1<a<1时，在区间内无解，而在区间内的解才是QECLCMP波束形成算法的解。基于上面对QICLCMP波(4.2-59)束形成算法的分析结果，可知当λM/λ1<a2.QECLCMP波束形成算法

第一步：对数据协方差矩阵Rx进行特征分解，得到Rx的特征值/特征矢量。利用定义式(4.2-33)计算参数γ。2.QECLCMP波束形成算法

第一步：对数第二步：对于给定的约束参数ε，按照定义式

计算参数a，如果不等式关系1<a<λ1/λM成立，则在区间

（或内求解方程(4.2-27)（或

)，可得最优Lagrange乘数，例如利用Newton’s等方法。第二步：对于给定的约束参数ε，按照定义式

计算参数a第三步：利用在第二步得到的最优Lagrange乘数，按照(4.2-24)式计算最优加权矢量，或按照下式进行计算：(4.2-60)其中对角矩阵的逆矩阵比较容易计算，而且矩阵UHC也可以利用第一步计算的结果。第三步：利用在第二步得到的最优Lagrange乘数，4.2.5仿真分析

1.算法的有效性分析

为了验证所提出算法的有效性，首先比较LCMP波束形成算法的方向图。LCMP波束形成算法的方向图如图4.2-1所示。由于信号方向失配的存在，LCMP的方向图主瓣偏离了信号方向但是在干扰方向具有较深的零点。4.2.5仿真分析

1.算法的有效性分析

变加载递归最小二乘（VLRLS）LCMP接近于标准

LCMP波束形成算法。QICLCMP优于LCMP，但是改善不是很明显，而QECLCMP是所有算法中最优的，信号的方向失配被很好地克服。其中，QICLCMP应用正的最优加载电平，而QECLCMP应用了负的最优加载电平。变加载递归最小二乘（VLRLS）LCMP接近于标准

LC图4.2-1LCMP波束形成算法的方向图图4.2-1LCMP波束形成算法的方向图LCMP波束形成算法的输出信噪比（SNR）相对于信号方向失配的变化如图4.2-2所示。仿真中信噪比的计算利用了公式其中σ2s为信号功率，s为信号导向矢量，R为阵列接收数据的协方差矩阵，而w为加权矢量，为了简化仿真，其中设置σ2s=1。LCMP波束形成算法的输出信噪比（SNR）相对于信号方向图4.2-2信号方向失配变化时的输出SNR图4.2-2信号方向失配变化时的输出SNR2.对角加载电平对波束形成算法的影响

LCMP波束形成算法的方向图相对于对角加载电平的变化如图4.2-3所示。当加载电平在给定的区间

内变化时，二次约束（QC）LCMP的方向图也随之相应地变化。2.对角加载电平对波束形成算法的影响

LCMP波束图4.2-3加载电平变化时的LCMP方向图图4.2-3加载电平变化时的LCMP方向图LCMP波束形成算法的信噪比（SNR）相对于对角加

载电平的变化如图4.2-4所示。当加载电平在允许的范围内选取，即在区间内选择时，二次约束（QC）LCMP的SNR也进行相应的变化。LCMP波束形成算法的信噪比（SNR）相对于对角加

载电当加载电平为正时，QCLCMP为QICLCMP，而当加载电平为负时，QCLCMP为QECLCMP。从曲线图可以看出，QECLCMP具有比QICLCMP更高的SNR。对于最优加载，即加载电平为－6.12时，由于QECLCMP具有最优的指向性能，因此它的SNR是最高的，这可以从图4.2-3中进行解释。当加载电平为正时，QCLCMP为QICLCMP，而当图4.2-3加载电平变化时的LCMP方向图图4.2-3加载电平变化时的LCMP方向图图4.2-4LCMP波束形成算法的SNR相对于对角加载电平的变化图4.2-4LCMP波束形成算法的SNR相对于对角加LCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的变化如图4.2-5所示。

与图4.2-4相似，当加载电平在允许的范围内选取，

即在区间内选择时，基于二次约束（QC）的LCMP的加权矢量模值也随之相应地变换。其中QCLCMP的最高点对应于图4.2-4中QCLCMP的最低点。因此，加载电平对加权矢量的模值具有较大的影响。LCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的变图4.2-5LCMP波束形成算法的加权矢量模相对于对角加载电平的变化图4.2-5LCMP波束形成算法的加权矢量模相对于对3.模约束参数对波束形成算法的影响

QICLCMP波束形成算法的方向图相对于模约束参数的变化如图4.2-6所示。从图中可以看出，当模约束参数在允许的区间(εmin,εmax)内变化时，最优加载方向图也随之相应地进行变化。随着模约束参数的增加，方向图的主瓣逐渐偏离了真实的信号方向，尽管性能有一点改善，但是变化不是很明显，而且性能也不理想。3.模约束参数对波束形成算法的影响

QICLCMP图4.2-6模约束参数变化时的方向图（QICLCMP）图4.2-6模约束参数变化时的方向图（QICLCMPQECLCMP波束形成算法的方向图相对于模约束参数的变化如图4.2-7所示。从图中可以看出，当模约束参数在允许的区间(εmin,εmax)内变化时，最优加载方向图也随之相应地进行变化。除了最大的模约束参数外，方向图的变化也不是很明显，但是性能的改善非常显著。对于最大的模约束参数，模约束是不起作用的，此时最优的加载电平接近于零，因此，它所对应的方向图与LCMP的方向图接近。QECLCMP波束形成算法的方向图相对于模约束参数的变化图4.2-7模约束参数变化时的方向图（QECLCMP）图4.2-7模约束参数变化时的方向图（QECLCMPLCMP波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图4.2-8所示。当模约束参数在允许的范围内变化，即在区间(εmin,εmax)内变化时，LCMP的SNR也随之相应地变换。QICLCMP相对于LCMP具有较高的SNR，而QECLCMP相比于QICLCMP具有更高的SNR,且接近Ideal-LCMP。LCMP波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图4随着模约束参数的增加，QECLCMP的SNR也相应地增加，这和图4.2-6中的结果相一致，但是QICLCMP的SNR逐渐趋近于LCMP的SNR，这也和图4.2-7中的结果相一致。当模约束参数等于最大值时，约束不起作用，三个SNR的取值相同。因此，LCMP的SNR取决于模约束参数，尤其对于QCLCMP。随着模约束参数的增加，QECLCMP的SNR也相应地增图4.2-8模约束参数变化时的LCMP输出SNR图4.2-8模约束参数变化时的LCMP输出SNRLCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变化如图4.2-9所示。与图4.2-8相类似，当模约束参数在允许的范围内变化，即在区间(εmin,εmax)内变化时，二次约束（QC）LCMP的加权矢量模值也随之相应地变化，而且近似等于模约束参数的平方根。LCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变化图4.2-9模约束参数变化时的加权矢量模值图4.2-9模约束参数变化时的加权矢量模值4.样本数量对波束形成算法的影响

LCMP波束形成算法的SNR相对于样本数量的变化如

图4.2-10所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的变化，LCMP波束形成算法的SNR也相应地进行变化。QICLCMP优于VLRLS-LCMP和标准LCMP波束形成算法，但是低于QECLCMP，而QECLCMP最接近Ideal-LCMP。4.样本数量对波束形成算法的影响

LCMP波束图4.2-10样本数量变化时的LCMP输出SNR图4.2-10样本数量变化时的LCMP输出SNRLCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化如图4.2-11所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的变化，QICLCMP和QECLCMP具有较低的加权矢量模值；而LCMP和VLRLS-LCMP具有较高的加权矢量模值；相对于没有约束的LCMP，具有二次约束的LCMP则有

较低的加权矢量模值起伏。LCMP波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化如图4.2-11样本数量变化时的加权矢量模值图4.2-11样本数量变化时的加权矢量模值第4章模约束稳健波束形成算法4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法第4章模约束稳健波束形成算法4.1基于模约束的稳健Cap4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法

假设阵列由M个传感器组成，则窄带自适应波束形成算法的输出通常表示为

y=wHx(4.1-1)

其中x为阵列的M×1维复采样数据，w为M×1维的自适应加权矢量，(·)H表示共轭转置。4.1基于模约束的稳健Capon波束形成算法

假假设R为阵列输出矢量的理论协方差矩阵，且R>0（正定），则基于空间滤波形式的标准Capon波束形成（SCB）问题可以表示成如下最优化问题：(4.1-2)假设R为阵列输出矢量的理论协方差矩阵，且R>0（正定）其中s为有用信号（SOI）的导向矢量。对于窄带信号，R为其中心频率处的协方差矩阵；对于宽带信号，R为给定频率单元的中心频率处的协方差矩阵。在实际应用中，R通常由样本协方差矩阵代替，其中：(4.1-３)其中N表示快拍数量，xn表示第n个快拍。其中s为有用信号（SOI）的导向矢量。对于窄带信号，R为该最优化问题可以通过Lagrange乘数方法进行求解，即

从上面的最优化问题可以看出，它可以被解释为一个自适应空域滤波问题，即给定R和s，确定加权矢量w作为空间滤波器，使得感兴趣的有用信号无失真地通过，同时使得R中的无用干扰和噪声的贡献最小。(4.1-4)该最优化问题可以通过Lagrange乘数方法进行求解，4.1.2模不等式约束的Capon波束形成算法

NICCB波束形成问题可以表示为(4.1-5)其中s为假设的有用信号（SOI）导向矢量，ζ为模不等式约束参数。4.1.2模不等式约束的Capon波束形成算法

令S表示该最优化问题的约束条件集合，即

(4.1-6)

而且，Lagrange函数可以表示为

(4.1-7)

其中λ和μ为实值Lagrange乘数，μ为任意常数，而λ≥0，并且满足R+λI>0。因此，f1(w,λ,μ)相对于w

可以被最小化，即

(4.1-8)

其中等号在S的边界上取得。 令S表示该最优化问题的约束条件集合，即

当参数ζ满足下面的条件时：

(4.1-9)

基于SCB的自适应加权矢量就满足式(4.1-8)。利用s代替SCB解中的s，即

(4.1-10)

满足NICCB中的模不等式约束条件。因此，该最优解也是NICCB的解。但是，对于这种情况，λ=0和NICCB中的模约束条件是不起作用的。当参数ζ满足下面的条件时：

因此，考虑参数ζ满足下面的条件，即

(4.1-11)

因此，对于NICCB，该条件约束着参数ζ的上限。因而在该条件下，NICCB不同于SCB。为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重新表示为下式：(4.1-12) 因此，考虑参数ζ满足下面的条件，即

因此，对于固定的λ和μ，g1(w,λ,μ)的无约束最小化由下式给出：

(4.1-13)

显然有

(4.1-14)

f2(λ,μ)关于μ的最小化可以由下式给出：(4.1-15)因此，对于固定的λ和μ，g1(w,λ,μ)的无约束最以及对上式求关于λ的最大化，将会得到：为了获得最优的加权矢量，必须求解该方程。以及对上式求关于λ的最大化，将会得到：为了获得最优的加权将上面求出的μ表达式代入最优加权矢量表达式中，可得该式必然满足：以及(4.1-18)(4.1-19)(4.1-20)将上面求出的μ表达式代入最优加权矢量表达式中，可得该式令(4.1-21)则h(λ)在λ≥0时，为单调减函数［10］。这是因为对于任意的关于参数λ的矩阵函数F，有(F－1)′=－F－1F′F－1(4.1-22)其中表示取导数操作，而且还有(F－2)′=－F－2(F′F+FF′)F－2(4.1-23)令(4.1-21)则h(λ)在λ≥0时，为单调减函数［1如果令

F=R+λI(4.1-24)

则有F′=I，而且可得上面h(λ)的导数表达式：(4.1-25)如果令

F=R+λI根据F的表达式可知，当λ≥0时，F>0。故有(4.1-26)因此，当λ≥0时，h′(λ)≤0，即当λ≥0时h(λ)为单调减函数。根据波束形成算法的无失真响应约束，可得(4.1-27)故可得约束参数ζ的下限为(4.1-28)根据F的表达式可知，当λ≥0时，F>0。故有(4.即如果ζ小于该下限，则该波束形成算法无解。因此约束参数ζ至少选择在如下不等式定义的区间之内(4.1-29)后面还会根据解的存在情况对约束参数ζ的取值范围进行更加准确的计算。为了求解方程h(λ)=ζ，令(4.1-30)即如果ζ小于该下限，则该波束形成算法无解。因此约束参数ζ其中矩阵U的列向量由R的特征矢量u1,u2,…，uM组成，对角矩阵Γ的对角线元素γ1≥γ2≥…≥γM为相应的特征值。h(λ)可重新表示如下：(4.1-31)其中矩阵U的列向量由R的特征矢量u1,u2,…，uM组故可得故可得为了分析的方便，令

(4.1-34)

因此，上面的不等式关系(4.1-32）和(4.1-33)可简写为：(4.1-35)(4.1-36)为了分析的方便，令

(4.1-37)(4.1-37)因此，当(4.1-38)因此，当(4.1-38) 因为：(4.1-39)(4.1-40)满足h(λ)=ζ。 因为：(4.1-39)(4.1-40)满足h(λ)=(4.1-41)(4.1-41)因此，(4.1-42)因此，(4.1-42)因为：(4.1-43)(4.1-44)不存在λ满足h(λ)=ζ。因为：(4.1-43)(4.1-44)不存在λ满足h(λ)4.1.3模不等式约束参数的选择

基于上面的推导分析可知，模不等式约束参数ζ应该满足下面的条件：(4.1-45)4.1.3模不等式约束参数的选择

基于上面的推导即(4.1-46)故当模不等式约束参数ζ满足上面的条件时，NICCB的解一定存在。即(4.1-46)故当模不等式约束参数ζ满足上面的条件时4.1.4模等式约束的Capon波束形成算法

NECCB波束形成问题可以表示如下：(4.1-47)其中的参数定义同NICCB。4.1.4模等式约束的Capon波束形成算法

NNECCB的解具有和NICCB相同的形式，但是Lagrange乘数

的取值范围不同。对于NECCB有：(4.1-4８)(4.1-49)因此，对于NECCB有下面的讨论结果。NECCB的解具有和NICCB相同的形式，但是Lagr(4.1-51)(4.1-50)(4.1-51)(4.1-50)(4.1-52)(4.1-52)因此，(4.1-53)因此，(4.1-53)4.1.5仿真分析

1.算法的有效性分析

为了验证所提出算法的有效性，波束形成算法的方向图如图4.1-1所示。由于存在信号的指向误差，所以SCB方向图的主瓣指向5°，而NICCB的方向图基本和SCB的接近，改善效果不是很明显，但是NECCB方向图的主瓣基本指向实际的信号方向0°。4.1.5仿真分析

1.算法的有效性分析

图4.1-1Capon波束形成算法的方向图（1）图4.1-1Capon波束形成算法的方向图（1）为了进一步验证所提出算法的稳健性，还进行了另一场景的比较分析，其中信号的方向角为－20°，而假定

的信号方向角为-15°，两个等功率的干扰信号分别位于

－80°和40°处，信噪比和干噪比分别为－5dB，波束形成算法的方向图如图4.1-2所示，由于该算法只对有用信号参数进行约束，故只比较主瓣指向，通过比较可知，NECCB准确地指向了信号的真实方向，而SCB和NICCB指向了带有误差的假定方向。为了进一步验证所提出算法的稳健性，还进行了另一场景的比图4.1-2Capon波束形成算法的方向图（2）图4.1-2Capon波束形成算法的方向图（2）2.加载电平对算法的性能影响分析

负加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-3所示。当加载电平在［，0］内变化时，NCCB的方向图指向相应地进行变化，当加载电平为负时，对应于NECCB，从方向图的指向可以看出，负加载对波束形成算法的指向性能有一定的改善，但是只有在最优的NECCB时，方向图的主瓣指向是最优的。2.加载电平对算法的性能影响分析

负加载对波束形图4.1-3负加载对波束形成算法方向图的影响图4.1-3负加载对波束形成算法方向图的影响正加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-4所示。当加载电平在内变化时，NCCB的方向图指向相应地进行变化，当加载电平为正时，对应于NICCB，从方向图的指向可以看出，正加载对波束形成算法的指向性能有一定的改善，但改善不是很明显。正加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-4所示。当加载图4.1-4正加载对波束形成算法方向图的影响图4.1-4正加载对波束形成算法方向图的影响通过图4.1-3和图4.1-4的方向图比较可以清楚地看出，随着加载电平在内变化，NCCB的方向图指

向相应地进行变化，但是负加载的性能优于正加载的性能，而且只有在最优的NECCB时，即最优负加载时，方向图的主瓣指向是最优的。因此，有效的加载可明显地改善Capon波束形成算法的指向性能。通过图4.1-3和图4.1-4的方向图比较可以清楚地看出对角加载电平对Capon波束形成算法的信噪比（SNR）影响如图4.1-5所示。仿真中信噪比的计算利用了以下公式：(4.1-54)其中σ2s为信号功率，s为信号导向矢量，R为阵列接收数据的协方差矩阵，而w为加权矢量，为了简化仿真，其中设置σ2s=1。对角加载电平对Capon波束形成算法的信噪比（SNR）影图4.1-5加载电平变化时的输出SNR图4.1-5加载电平变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的变化如图4.1-6所示。与图4.1-5相似，当加载电平在允许的范围，即在区间内选择时，模约束Capon波束形成算法的加权矢量模值也随之相应地变换,其中NCCB的最高点对应与图4.1-5中NCCB的最低点。因此，加载电平对加权矢量的模值具有较大的影响。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于对角加载电平的图4.1-6加载电平变化时的加权矢量模值图4.1-6加载电平变化时的加权矢量模值3.模约束参数对算法的性能影响分析

NICCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-7所示。从图中的方向图曲线可以清楚地看出，当模约束参数在(ζmin,ζmax)内变化时，NICCB的方向图也随之变化，但

是变化不是很明显，性能改善也不理想。3.模约束参数对算法的性能影响分析

NICCB的方图4.1-7模约束参数变化时的NICCB方向图图4.1-7模约束参数变化时的NICCB方向图NECCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-8所示。从图中的方向图曲线可以清楚地看出，当模约束参数在(ζmin,ζmax)内变化时，NECCB的方向图也随之变化，除了当模约束参数取最大值的方向图之外，其它参数时的方向图变化也不是很明显，但是性能改善相当显著。因为当模约束参数取最大值时，约束条件基本不起作用，所以性能改善较差。NECCB的方向图随模约束参数的变化如图4.1-8所示。图4.1-8模约束参数变化时的NECCB方向图图4.1-8模约束参数变化时的NECCB方向图Capon波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图4.1-9所示。当模约束参数在允许的范围内，即在区间(ζmin,ζmax)内变化时，波束形成算法的SNR也随之相应地变换。NICCB相对于Capon具有较高的SNR，而NECCB具有最高的SNR。Capon波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图图4.1-9模约束参数变化时的输出SNR图4.1-9模约束参数变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变化如图4.1-10所示。与图4.1-9相类似，当模约束参数在允许的范围，即在区间(ζmin,ζmax)内变化时，基于模

约束的Capon波束形成算法的加权矢量模值也随之相应地变化，而且近似等于模约束参数的平方根。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于模约束参数的变图4.1-10模约束参数变化时的加权矢量模值图4.1-10模约束参数变化时的加权矢量模值4.样本数量对波束形成算法的影响

Capon波束形成算法的SNR相对于样本数量的变化如

图4.1-11所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的

变化，Capon波束形成算法的SNR也相应地进行变化。NICCB优于标准Capon波束形成算法，而且低于理想Capon（即Ideal-SCB）波束形成算法，而NECCB相比于NICCB更加接近理想Capon。4.样本数量对波束形成算法的影响

Capon波图4.1-11样本数量变化时的输出SNR图4.1-11样本数量变化时的输出SNRCapon波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化如图4.1-12所示。从图中的曲线可以看出，随着样本数量的变化，NICCB和NECCB具有较低的加权矢量模值，而SCB具有较高的加权矢量模值；相对于没有约束的Capon波束形成算法，具有模约束的Capon具有较低的加权矢量模值起伏。Capon波束形成算法的加权矢量模值相对于样本数量的变化图4.1-12样本数量变化时的加权矢量模值图4.1-12样本数量变化时的加权矢量模值4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法

4.2.1LCMP波束形成算法

LCMP最优化问题可以描述如下：

(4.2-1)其中Rx=E｛x(k)xH(k)｝为数据协方差矩阵。4.2基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法

4.2最小化函数（Lagrange函数，f(w,μ)）为

(4.2-2)

其中μ为Lagrange乘数矢量。为了求解f(w,μ)，求其关于w的复梯度，并令结果等于零，可得

(4.2-3)

或者

w=R－1xCμ(4.2-4)最小化函数（Lagrange函数，f(w,μ)）为为了求解μ，将上式所示的最优解代入LCMP最优化问题的约束条件，可得求解该方程可得注意到Rx为Hermitian矩阵，有［R－1x］H=R－1x。为了求解μ，将上式所示的最优解代入LCMP最优化问题的将解出的Lagrange乘数矢量代入上面所求的最优加权矢

量中，即得LCMP波束形成算法的最终加权矢量表达式：

w=R－1xC(CHR－1xC)－1f(4.2-7)

在阵列信号处理中，典型的线性约束包括主波束约束和零点约束。其中主波束约束主要用于将主波束展宽或使主瓣更加平坦，以提供对阵列响应失配的稳健性，而零点约束主要用于在某些方向进行置零处理，以提高波束形成器的干扰抑制能力。将解出的Lagrange乘数矢量代入上面所求的最优加权4.2.2二次不等式约束LCMP波束形成算法

二次不等式约束（QIC）条件下的LCMP波束形成算法是通过对加权矢量w的模强加一个不等式约束，用来改善对于指向误差和传感器参数随机扰动的稳健性，即对权矢量w的二次不等式约束具有如下所示的形式：

‖w‖2≤ε(4.2-8)4.2.2二次不等式约束LCMP波束形成算法

因此，QICLCMP波束形成算法可以描述如下：(4.2-9)由于该波束形成算法一直未能得到有效的求解，因而制约着该算法的应用。因此，QICLCMP波束形成算法可以描述如下：(4.2-91.QICLCMP波束形成算法的求解

令S表示，式(4.2-9)所示的最优化问题的约束条件集合，即

定义函数：

(4.2-11)

其中λ为实值Lagrange乘数，且λ≥0,满足Rx+λI>0，因此f1(w,λ,μ)可以相对于参数w最小化，而μ为任意的Lagrange乘数矢量。1.QICLCMP波束形成算法的求解

令S因此有

f1(w,λ,μ)≤wHRxw,w∈S(4.2-12)

其中该式的等号在S的边界上取得。

考虑条件：(4.2-13)当上面的条件成立时，LCMP的解(4.2-14)因此有

f1(w,满足QICLCMP波束形成算法的模约束条件，因此也是QICLCMP波束形成算法的解。但是对于这种情况λ=0，并且QICLCMP波束形成算法的模约束不起作用。

另外，考虑条件：(4.2-15)该条件约束着参数ε的上限，故QICLCMP波束形成算法不同于LCMP波束形成算法。满足QICLCMP波束形成算法的模约束条件，因此也是Q为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重写如下：(4.2-16)因此，对于给定的λ和μ，f1(w,λ,μ)的无约束最小化解由下式给出：(4.2-17)为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重写如下显然有

(4.2-18)因此，f2(λ,μ)相对于μ的最大化由下式给出：令上式等于零即可解出μ，即(4.2-19)(4.2-20)显然有

(4.2-18)因此，f2(λ,μ)相对于μ的最(4.2-21)对于参数λ的任意矩阵函数F，有如下结论：(4.2-2２)(4.2-21)对于参数λ的任意矩阵函数F，有如下结论：因此，求f3(λ)关于参数λ的最大化，可得(4.2-23)(4.2-24)因此，求f3(λ)关于参数λ的最大化，可得(4.2-23该最优权矢量将满足QICLCMP波束形成算法的约束条件，即满足以及(4.2-25)(4.2-26)该最优权矢量将满足QICLCMP波束形成算法的约束条件，为了获得Lagrange乘数λ，必须利用Newton等方法求解下面的方程：(4.2-27)因此，QICLCMP波束形成算法的关键问题是利用方程(4.2-27)求解最优Lagrange乘数。为了获得Lagrange乘数λ，必须利用Newton等2.最优Lagrange乘数的求解

为了求解该方程，对样本协方差矩阵进行如下的特征分解（EVD）：

(4.2-28)

其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)为对角矩阵，U=(u1,u2,…,uN)为Hermitian矩阵，λi(i=1,2，…，N)和ui(i=1,2，…，N)分别为Rx的特征值和特征矢量，N为接收数据的自由度。2.最优Lagrange乘数的求解

为了求解该为了分析的方便，假设Rx的特征值（或特征矢量）按照如下所述的降序排列:

λ1≥λ2≥…≥λN(4.2-29)

因此，可得(4.2-30)为了分析的方便，假设Rx的特征值（或特征矢量）按照如下所以有：

并且令(4.2-33)所以有：

并且令(4.2-33)因此，f(λ)可以被重新表示为(4.2-34)因此，f(λ)可以被重新表示为(4.2-34)可得以下结论：

可得以下结论：

对上述结果进行简化，可得如下的简单不等式关系：(4.2-38)(4.2-39)(4.2-40)对上述结果进行简化，可得如下的简单不等式关系：(4.2-（1）如果a>1，则有：(4.2-41)(4.2-42)由于λ≥0，而λM－aλ1<0，因此，在a>1的条件下，Lagrange乘数λ的取值范围由下式给出：(4.2-43)（1）如果a>1，则有：(4.2-41)(4.2-4因此，可得：(4.2-44)利用条件a<λ1/λM可得，当1<a<λ1/λM时，至少存在一个解λ∈［λ