时域分析-时域分析课件

第三章时域分析法控制系统的数学模型，是分析、研究、设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率法。后两种方法都是以时域分析法为基础，并且应用了时域分析法中的许多结论。第三章时域分析法控制系统的数学模型，是分析、时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

时域分析法是一种直接分析法，还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，3.1典型输入信号及性能指标

一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态外作用：3.1典型输入信号及性能指标一个系统的时间响应，不仅一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有

单位阶跃函数的拉氏变换为

一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为当a=1时，称为2．速度函数（斜坡函数）

其表达式为

当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为

2．速度函数（斜坡函数）其表达式为当a=1时，r(t)=3．加速度函数（抛物线函数）

其表达式为

当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为

3．加速度函数（抛物线函数）其表达式为当a=1/2时，称4．脉冲函数

其表达式为

单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为单位脉冲函数的拉氏变换为

4．脉冲函数其表达式为单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为5．正弦函数

其表达式为

其拉氏变换为

5．正弦函数其表达式为其拉氏变换为二、阶跃响应的性能指标

分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。

控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分为过渡过程和稳态过程。过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。二、阶跃响应的性能指标分析时假定控制系统是单位反馈的、初始时域分析-时域分析课件0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值时间tptp④超调量%%⑤调节时间ts误差带ts⑥振荡次数N⑦稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超调量

振荡次数稳态误差平稳性最终(稳态)精度延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超调量振荡次数稳3.2一阶系统分析

由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。

一、一阶系统的数学模型

一阶系统的微分方程为

其闭环传递函数为

惯性环节

惯性环节

惯性环节

惯性环节

惯性环节

3.2一阶系统分析由一阶微分方程描述的系统，称为一阶二、一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃输入的拉氏变换为

取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应

二、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入的拉氏变换为取C(则

或写成

一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

css=1代表稳态分量

代表动态分量

则或写成一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间

ts=3T(5%)

ts=4T(2%)③没有稳态误差，即初一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间③没有稳例

一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数应调整为何值？解：(1)由结构图写出闭环传递函数例一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间(2)计算ts＝0.1s的反馈系数值设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数故从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间要求ts=0.1s，代入上式得所以调节时间要求ts=0.1s，代入上式得所以调节时间练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：

td=?

tr=?练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：3.3二阶系统分析

由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。

一、二阶系统的数学模型

位置随动系统原理图

3.3二阶系统分析由二阶微分方程描述的系统，称为二前向通道的传递函数

折算转动惯量和粘性摩擦系数前向通道的传递函数折算转动惯量和粘性摩擦系数则

闭环传递函数为

La很小，La≈0，同时令与则闭环传递函数为La很小，La≈0，同时令与系统的特征方程

F称为实际阻尼系数。

当

时，特征方程有一对相等的负实根，系统处于临界阻尼状态。

令Fc为临界阻尼系数，则

系统的特征方程F称为实际阻尼系数。当时，特征方程有一闭环传递函数的分子、分母同除以J

引入两个新的参量

n称为无阻尼自然频率或固有频率称为阻尼比闭环传递函数的分子、分母同除以J引入两个新的参量n称为闭环传递函数写成如下一般形式

其闭环特征方程为

方程的特征根为

闭环传递函数写成如下一般形式其闭环特征方程为方程的特征根阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上的分布：欠阻尼状态临界阻尼状态阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上过阻尼状态零阻尼状态负阻尼状态过阻尼状态零阻尼状二、二阶系统的单位阶跃响应

1.过阻尼>1的情况

系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。

式中

二、二阶系统的单位阶跃响应1.过阻尼>1的情况系统闭环于是闭环传递函数为

因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。

于是闭环传递函数为因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数当输入为单位阶跃信号时

系统的输出

取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应

稳态分量为1，动态分量为两项指数项。当输入为单位阶跃信号时系统的输出取C(s)的拉氏反变换，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系统调节时间特性取相对变量ts/T1及T1/T2经计算机解算后制成曲线。当T1=T2(=1的临界阻尼情况):调节时间ts=4.75T1；当T1=4T2(=1.25)时:ts≈3.3T1；当T1>4T2(>1.25)时:

ts≈3T1。过阻尼二阶系统调节时间特性取相对变量ts/T1及T1/T22.临界阻尼=1的情况

系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应

2.临界阻尼=1的情况系统具有两个相等的负实根s1,2=3.欠阻尼0<<1的情况

欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。

系统闭环传递函数的一般形式为

特征根为一对共轭复根衰减系数d阻尼振荡频率3.欠阻尼0<<1的情况欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的当输入信号为单位阶跃作用时

取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃作用时取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二或者写成

式中

或

系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成，稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。

或者写成式中或系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的函数。阻尼正弦振荡的滞后角为

采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的=0.707时的单位阶跃响应曲线

=0.707时的单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应的通用曲线

二阶系统单位阶跃响应的通用曲线平稳性：阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。

当=0时，零阻尼响应为

响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。

平稳性：阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性由于

所以,在一定的阻尼比下，n越大，振荡频率d也越高，系统响应的平稳性越差。

结论：要使系统单位阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比大，自然频率n小。

阻尼比和超调量σ%的关系曲线

由于所以,在一定的阻尼比下，n越大，振荡频率d也越快速性：过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts也长，快速性差。对于一定的阻尼比，所对应的无因次时间的响应是一定的。因此，当一定时，n越大，调节时间ts也就越短，即快速性越好。快速性：过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。因此，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标

1.上升时间tr：单位阶跃响应曲线第一次到达稳态值的时间就是上升时间。

因为三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升时间tr：单所以所以即所以所以即2.峰值时间tp：响应曲线达到第一峰值所需的时间。

对时间t求导并令其为零，可得到峰值时间。则2.峰值时间tp：响应曲线达到第一峰值所需的时间。对时间到达第一个峰值时应满足

所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。

到达第一个峰值时应满足所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。3.超调量σ%超调量的定义

将峰值时间表达式代入单位阶跃响应表达式，得到输出量的最大值3.超调量σ%超调量的定义将峰值时间表达式代入单位阶跃响所以

超调量只是阻尼比的函数。

所以超调量只是阻尼比的函数。阻尼比和超调量σ%的关系曲线

阻尼比和超调量σ%的关系曲线4.调节时间ts

无因次调节时间nts与阻尼比之间的关系曲线:如n一定，则ts先随的增大而减小,达到最小值之后，随的增大而又增大。无因次调节时间nts与阻尼比的关系曲线

4.调节时间ts无因次调节时间nts与阻尼比之间的关系曲线的不连续性解释：n一定，不同曲线的不连续性解释：n一定，不同时域分析-时域分析课件时域分析-时域分析课件=0.707时的单位阶跃响应曲线

由图看出：实际响应的收敛速度总是比包络线要快。

=0.707时的单位阶跃响应曲线由图看出：根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式即而h(t)的稳态值h()=1因此而根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式即而h(t)的稳态将条件改为解得若取=5%得若取=2%得将条件改为解得若取=5%得若取=2%得当阻尼比<0.8时，近似取为设计二阶系统时，一般取＝0.707作为最佳阻尼比。

当阻尼比<0.8时，近似取为设计二阶系统时，一般取＝05.振荡次数N

振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的单位阶跃曲线h(t)穿越其稳态值直线h()的次数之半,即

若取2％误差带,,则5.振荡次数N振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的若取5％误差带,,则若已知％，因为

即则振荡次数

若取5％误差带,,则若已知％，振荡次数N与的关系

振荡次数N与的关系例设位置随动系统的开环传递函数

当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益KA=200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量％。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？

例设位置随动系统的开环传递函数解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数将KA=200代入上式

对照标准形式

得到解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数将KA=200代入故峰值时间

调节时间

超调量如果KA增大到KA=1500，同样可计算出

则

故峰值时间 调节时间超调量如果KA增大到KA=1500当KA减小到13.5时，可以算出

系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为当KA减小到13.5时，可以算出系统成为过阻尼二阶系统，峰不同KA时的阶跃响应曲线

不同KA时的阶跃响应曲线四、二阶系统响应性能的改善措施

1．比例－微分控制

系统的开环传递函数为四、二阶系统响应性能的改善措施1．比例－微分控制系统的开闭环传递函数为

式中

称为等效阻尼比。Tds的设置等效于加大了阻尼比，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。

闭环传递函数为式中称为等效阻尼比。Tds的设置等效于加大2．测速反馈控制

系统的开环传递函数为

2．测速反馈控制系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为

式中称为等效阻尼比。

系统的闭环传递函数为式中称为等效阻尼3.4高阶系统分析

用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。一、二阶系统极点分布3.4高阶系统分析用高阶微分方程描述的系统称为高阶3.5稳定性及代数判据

一、稳定性的概念

摆的平衡

小球的稳定域3.5稳定性及代数判据一、稳定性的概念摆的平衡小二、稳定性的定义和数学条件

如果控制系统在初始条件影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称这样的系统具有渐进稳定性，简称为具有稳定性。在初始条件影响下，若控制系统的响应过程随时间推移而发散，则称这样的系统具有不稳定性。

稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外作用无关。二、稳定性的定义和数学条件如果控制系统在初始条件影响下，其设系统的线性化增量微分方程为

对上式进行拉氏变换得

或简写成

设系统的线性化增量微分方程为对上式进行拉氏变换得或简写成式中

是系统的闭环特征式，也称输出端算子式。

称为输入端算子式。

R(s)为输入信号；C(s)为输出信号。

M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式。式中是系统的闭环特征式，也称输出端算子式。称为输入端算子输出C(s)可写成

假定特征方程D(s)=0具有n个互异特征根si(i=1,2,···,n),则假定R(s)具有l个互异极点srj(j=1,2,···,l)，则

输出C(s)可写成假定特征方程D(s)=0具有n个互异特征输出可以展成如下部分分式

式中Ai0、Bj、Ci均为待定系数。

进行拉氏反变换，得

式中第二项为稳态分量；第一、三项为动态分量。

输出可以展成如下部分分式式中Ai0、Bj、Ci均为待定系数因此系统要稳定，只需式中的动态分量随时间的推移渐近为零即可。故稳定性定义为

或写成

式中Ai=Ai0+Ci为任意常值。

因此系统要稳定，只需式中的动态分量随时间的推移渐近为零即可。所以应有

故系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。

所以应有故系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。系统稳定的三、代数判据

1.赫尔维茨(Hurwitz)稳定性判据

系统特征方程的一般形式为

式中首项系数a0>0。

系统稳定的充要必要条件：特征方程的赫尔维茨行列式Dk(k=1，2，3，…，n)全部为正。

三、代数判据1.赫尔维茨(Hurwitz)稳定性判据系各阶赫尔维茨行列式为

······式中脚注大于n的系数或负脚注系数，均以零代之。

各阶赫尔维茨行列式为······式中脚注大于n的系数或负例系统的特征方程为试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。

解：

由特征方程知各项系数为

稳定的充分必要条件

由于D2<0，因此不满足赫尔维茨行列式全部为正的条件，系统属不稳定。例系统的特征方程为试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。2．林纳得-奇帕特(Lienard-Chipard)判据

此判据实质上是赫尔维茨稳定判据的推广，它可以减少计算行列式的工作量。

系统稳定的充分必要条件为

(2)奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零，即D奇>0或D偶>0。(1)系统特征方程的各项系数大于零，即ai>0(i=0，1，2，3，…，n)。说明：(1)是系统稳定的必要条件；如果满足ai>0，则根据(2)继续计算。2．林纳得-奇帕特(Lienard-Chipard)判据此例系统特征方程为利用林纳得-奇帕特判据，判别系统稳定性。

解：

稳定的充分必要条件为

(1)ai>0即a0>0，a1>0，a2>0，a3>0；

(2)事实上例系统特征方程为解：稳定的充分必要条件为(1)ai>例单位负反馈系统的开环传递函数

试求增益K的稳定域。

系统的闭环特征方程

解：

特征方程各项系数为

例单位负反馈系统的开环传递函数试求增益K的稳定域。系统稳定的充分必要条件

(1)ai>0，则要求K>0；

(2)D2>0即

得

K<14所以保证系统稳定，增益的稳定域为

0<K<14稳定的充分必要条件(1)ai>0，则要求K>0；(2)3．劳思(Routh)判据

若系统的特征方程为

系统稳定的充分必要条件是：劳思表中第一列所有元素的计算值均大于零，如果第一列出现小于零的元素，则系统不稳定。并且第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。3．劳思(Routh)判据若系统的特征方程为系统稳定的充时域分析-时域分析课件由劳思表可以看出，劳思判据和赫尔维茨判据实质上是相同的，劳思表中第一列各数值和赫尔维茨行列式之间，存在如下关系：由劳思表可以看出，劳思判据和赫尔维茨判据实质上是相同的，劳思例已知系统的特征方程为试用劳思判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目。解：根据特征方程的系数列出劳思表：①第一列元素不同号，所以系统不稳定。②第一列中数值符号改变两次，所以有两个正实部的根。例已知系统的特征方程为试用劳思判据判别系统的稳定性，并4．劳思稳定判据的特殊情况

(1)劳思表中某行的第一列项为零，而其他各项不为零，或不全为零。

计算劳思表下一行的第一元素时，将出现无穷大，使劳思判据失效。

解决办法：用很小的正数代替零元素，计算劳思表的其他元素，然后通过令0来研究劳思表的第一列元素符号。

4．劳思稳定判据的特殊情况(1)劳思表中某行的第一列项为例如特征方程为列写劳思表：

①用正数代替第三行第一列的0元素，继续计算劳思表。②令0研究劳思表的第一列元素符号。③第一列元素符号:＋－＋改变两次，系统不稳定

。例如特征方程为列写劳思表：①用正数代替第三行第一列的0元(2)劳思表中某行全为零

这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。

解决办法：用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并对其求导，用所得方程的系数代替全零行的元素，按劳思稳定判据的要求继续计算，直到得出全部劳思表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有这些数值相同、符号相反的根，均可由辅助方程求出。(2)劳思表中某行全为零这种情况表明特征方程中存在一些绝对已知一系统的特征方程为

列写劳思表：

①s1行全为零。由s2行系数构造辅助方程F(s)=21s2+63=0求导得用方程代替原来表中的零行，再继续计算。

②劳思表第一列有两次符号变化，因此有两个实部为正的根，系统不稳定。

已知一系统的特征方程为列写劳思表：①s1行全为零。由s2劳思判据和赫尔维茲主要用于判断系统是否稳定，以及确定系统参数的允许范围，但不能给出系统稳定的程度，即不能表明特征根距虚轴的远近。为了保证系统有一定的稳定裕度，且具有良好的动态性能，希望特征根在s左半平面且与虚轴有一定的距离，通常称之为稳定度。用新的变量s1=s+a代入原系统的特征方程，即将s平面的虚轴左移一个常值a，此a值就是要求的特征根与虚轴的距离(即稳定度)。劳思判据和赫尔维茲主要用于判断系统是否稳定，以及确定系统参数例单位负反馈系统的开环传递函数

要求系统的特征根全部位于垂线s=-1的左侧，即稳定度a=1，试问增益K的允许范围？

解：取s1=s+1代入原特征方程得整理上式，得例单位负反馈系统的开环传递函数要求系统的特征根全部位于垂由稳定的充分必要条件①ai>0，则40K-27>0，得

K>0.675②

D2=a1a2-a0a3，则1115-(40K-27)>0,得

K<4.8所以满足要求的K值范围为0.675<K<4.8显然，比系统原来的稳定域0<K<14要小。由稳定的充分必要条件①ai>0，则40K-27>0，得②D四、结构不稳定及其改进措施

仅仅调整参数无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。

液位控制系统结构图

四、结构不稳定及其改进措施仅仅调整参数无法稳定的系统，称为由结构图可写出系统的闭环特征方程

令

则

展开后

要使系统稳定，必须改变原系统的结构。由结构图可写出系统的闭环特征方程令则展开后要使系统稳消除结构不稳定的措施有两种：一是改变积分性质，另一是引入比例-微分控制，补上特征方程中的缺项。(1)改变积分性质

用反馈KH包围积分环节，破坏其积分性质。

积分环节被KH包围后的传递函数

消除结构不稳定的措施有两种：一是改变积分性质，另一是引入比例用反馈KH包围电动机的传递函数

电动机被包围后的传递函数用反馈KH包围电动机的传递函数电动机被包围后的传递函数(2)引入比例-微分控制

其闭环传递函数是

(2)引入比例-微分控制其闭环传递函数是闭环特征方程

其各项系数为

稳定的充分必要条件：

(1)(2)得

闭环特征方程其各项系数为稳定的充分必要条件：(1)(2第三章时域分析法控制系统的数学模型，是分析、研究、设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率法。后两种方法都是以时域分析法为基础，并且应用了时域分析法中的许多结论。第三章时域分析法控制系统的数学模型，是分析、时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

时域分析法是一种直接分析法，还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，3.1典型输入信号及性能指标

一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态外作用：3.1典型输入信号及性能指标一个系统的时间响应，不仅一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有

单位阶跃函数的拉氏变换为

一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为当a=1时，称为2．速度函数（斜坡函数）

其表达式为

当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为

2．速度函数（斜坡函数）其表达式为当a=1时，r(t)=3．加速度函数（抛物线函数）

其表达式为

当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为

3．加速度函数（抛物线函数）其表达式为当a=1/2时，称4．脉冲函数

其表达式为

单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为单位脉冲函数的拉氏变换为

4．脉冲函数其表达式为单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为5．正弦函数

其表达式为

其拉氏变换为

5．正弦函数其表达式为其拉氏变换为二、阶跃响应的性能指标

分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。

控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分为过渡过程和稳态过程。过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。二、阶跃响应的性能指标分析时假定控制系统是单位反馈的、初始时域分析-时域分析课件0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值时间tptp④超调量%%⑤调节时间ts误差带ts⑥振荡次数N⑦稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超调量

振荡次数稳态误差平稳性最终(稳态)精度延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超调量振荡次数稳3.2一阶系统分析

由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。

一、一阶系统的数学模型

一阶系统的微分方程为

其闭环传递函数为

惯性环节

惯性环节

惯性环节

惯性环节

惯性环节

3.2一阶系统分析由一阶微分方程描述的系统，称为一阶二、一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃输入的拉氏变换为

取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应

二、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入的拉氏变换为取C(则

或写成

一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

css=1代表稳态分量

代表动态分量

则或写成一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间

ts=3T(5%)

ts=4T(2%)③没有稳态误差，即初一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间③没有稳例

一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数应调整为何值？解：(1)由结构图写出闭环传递函数例一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间(2)计算ts＝0.1s的反馈系数值设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数故从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间要求ts=0.1s，代入上式得所以调节时间要求ts=0.1s，代入上式得所以调节时间练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：

td=?

tr=?练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：3.3二阶系统分析

由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。

一、二阶系统的数学模型

位置随动系统原理图

3.3二阶系统分析由二阶微分方程描述的系统，称为二前向通道的传递函数

折算转动惯量和粘性摩擦系数前向通道的传递函数折算转动惯量和粘性摩擦系数则

闭环传递函数为

La很小，La≈0，同时令与则闭环传递函数为La很小，La≈0，同时令与系统的特征方程

F称为实际阻尼系数。

当

时，特征方程有一对相等的负实根，系统处于临界阻尼状态。

令Fc为临界阻尼系数，则

系统的特征方程F称为实际阻尼系数。当时，特征方程有一闭环传递函数的分子、分母同除以J

引入两个新的参量

n称为无阻尼自然频率或固有频率称为阻尼比闭环传递函数的分子、分母同除以J引入两个新的参量n称为闭环传递函数写成如下一般形式

其闭环特征方程为

方程的特征根为

闭环传递函数写成如下一般形式其闭环特征方程为方程的特征根阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上的分布：欠阻尼状态临界阻尼状态阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上过阻尼状态零阻尼状态负阻尼状态过阻尼状态零阻尼状二、二阶系统的单位阶跃响应

1.过阻尼>1的情况

系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。

式中

二、二阶系统的单位阶跃响应1.过阻尼>1的情况系统闭环于是闭环传递函数为

因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。

于是闭环传递函数为因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数当输入为单位阶跃信号时

系统的输出

取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应

稳态分量为1，动态分量为两项指数项。当输入为单位阶跃信号时系统的输出取C(s)的拉氏反变换，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系统调节时间特性取相对变量ts/T1及T1/T2经计算机解算后制成曲线。当T1=T2(=1的临界阻尼情况):调节时间ts=4.75T1；当T1=4T2(=1.25)时:ts≈3.3T1；当T1>4T2(>1.25)时:

ts≈3T1。过阻尼二阶系统调节时间特性取相对变量ts/T1及T1/T22.临界阻尼=1的情况

系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应

2.临界阻尼=1的情况系统具有两个相等的负实根s1,2=3.欠阻尼0<<1的情况

欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。

系统闭环传递函数的一般形式为

特征根为一对共轭复根衰减系数d阻尼振荡频率3.欠阻尼0<<1的情况欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的当输入信号为单位阶跃作用时

取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃作用时取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二或者写成

式中

或

系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成，稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。

或者写成式中或系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的函数。阻尼正弦振荡的滞后角为

采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的=0.707时的单位阶跃响应曲线

=0.707时的单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应的通用曲线

二阶系统单位阶跃响应的通用曲线平稳性：阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。

当=0时，零阻尼响应为

响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。

平稳性：阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性由于

所以,在一定的阻尼比下，n越大，振荡频率d也越高，系统响应的平稳性越差。

结论：要使系统单位阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比大，自然频率n小。

阻尼比和超调量σ%的关系曲线

由于所以,在一定的阻尼比下，n越大，振荡频率d也越快速性：过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts也长，快速性差。对于一定的阻尼比，所对应的无因次时间的响应是一定的。因此，当一定时，n越大，调节时间ts也就越短，即快速性越好。快速性：过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。因此，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标

1.上升时间tr：单位阶跃响应曲线第一次到达稳态值的时间就是上升时间。

因为三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升时间tr：单所以所以即所以所以即2.峰值时间tp：响应曲线达到第一峰值所需的时间。

对时间t求导并令其为零，可得到峰值时间。则2.峰值时间tp：响应曲线达到第一峰值所需的时间。对时间到达第一个峰值时应满足

所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。

到达第一个峰值时应满足所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。3.超调量σ%超调量的定义

将峰值时间表达式代入单位阶跃响应表达式，得到输出量的最大值3.超调量σ%超调量的定义将峰值时间表达式代入单位阶跃响所以

超调量只是阻尼比的函数。

所以超调量只是阻尼比的函数。阻尼比和超调量σ%的关系曲线

阻尼比和超调量σ%的关系曲线4.调节时间ts

无因次调节时间nts与阻尼比之间的关系曲线:如n一定，则ts先随的增大而减小,达到最小值之后，随的增大而又增大。无因次调节时间nts与阻尼比的关系曲线

4.调节时间ts无因次调节时间nts与阻尼比之间的关系曲线的不连续性解释：n一定，不同曲线的不连续性解释：n一定，不同时域分析-时域分析课件时域分析-时域分析课件=0.707时的单位阶跃响应曲线

由图看出：实际响应的收敛速度总是比包络线要快。

=0.707时的单位阶跃响应曲线由图看出：根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式即而h(t)的稳态值h()=1因此而根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式即而h(t)的稳态将条件改为解得若取=5%得若取=2%得将条件改为解得若取=5%得若取=2%得当阻尼比<0.8时，近似取为设计二阶系统时，一般取＝0.707作为最佳阻尼比。

当阻尼比<0.8时，近似取为设计二阶系统时，一般取＝05.振荡次数N

振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的单位阶跃曲线h(t)穿越其稳态值直线h()的次数之半,即

若取2％误差带,,则5.振荡次数N振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的若取5％误差带,,则若已知％，因为

即则振荡次数

若取5％误差带,,则若已知％，振荡次数N与的关系

振荡次数N与的关系例设位置随动系统的开环传递函数

当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益KA=200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量％。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？

例设位置随动系统的开环传递函数解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数将KA=200代入上式

对照标准形式

得到解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数将KA=200代入故峰值时间

调节时间

超调量如果KA增大到KA=1500，同样可计算出

则

故峰值时间 调节时间超调量如果KA增大到KA=1500当KA减小到13.5时，可以算出

系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为当KA减小到13.5时，可以算出系统成为过阻尼二阶系统，峰不同KA时的阶跃响应曲线

不同KA时的阶跃响应曲线四、二阶系统响应性能的改善措施

1．比例－微分控制

系统的开环传递函数为四、二阶系统响应性能的改善措施1．比例－微分控制系统的开闭环传递函数为

式中

称为等效阻尼比。Tds的设置等效于加大了阻尼比，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。

闭环传递函数为式中称为等效阻尼比。Tds的设置等效于加大2．测速反馈控制

系统的开环传递函数为

2．测速反馈控制系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为

式中称为等效阻尼比。

系统的闭环传递函数为式中称为等效阻尼3.4高阶系统分析

用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。一、二阶系统极点分布3.4高阶系统分析用高阶微分方程描述的系统称为高阶3.5稳定性及代数判据

一、稳定性的概念

摆的平衡

小球的稳定域3.5稳定性及代数判据一、稳定性的概念摆的平衡小二、稳定性的定义和数学条件

如果控制系统在初始条件影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称这样的系统具有渐进稳定性，简称为具有稳定性。在初始条件影响下，若控制系统的响应过程随时间推移而发散，则称这样的系统具有不稳定性。

稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外作用无关。二、稳定性的定义和数学条件如果控制系统在初始条件影响下，其设系统的线性化增量微分方程为

对上式进行拉氏变换得

或简写成

设系统的线性化增量微分方程为对上式进行拉氏变换得或简写成式中

是系统的闭环特征式，也称输出端算子式。

称为输入端算子式。

R(s)为输入信号；C(s)为输出信号。

M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式。式中是系统的闭环特征式，也称输出端算子式。称为输入端算子输出C(s)可写成

假定特征方程D(s)=0具有n个互异特征根si(i=1,2,···,n),则假定R(s)具有l个互异极点srj(j=1,2,···,l)，则

输出C(s)可写成假定特征方程D(s)=0具有n个互异特征输出可以展成如下部分分式

式中Ai0、Bj、Ci均为待定系数。

进行拉氏反变换，得

式中第二项为稳态分量；第一、三项为动态分量。

输出可以展成如下部分分式式中Ai0、Bj、Ci均为待定系数因此系统要稳定，只需式中的动态分量随时间的推移渐近为零即可。故稳定性定义为

或写成

式中Ai=Ai0+Ci为任意常值。

因此系统要稳定，只需式中的动态分量随时间的推移渐近为零即可。所以应有

故系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。

所以应有故系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。系统稳定的三、代数判据

1.赫尔维茨(Hurwitz)稳定性判据

系统特征方程的一般形式为

式中首项系数a0>0。

系统稳定的充要必要条件：特征方程的赫尔维茨行列式Dk(k=1，2，3，…，n)全部为正。

三、代数判据1.赫尔维茨(Hurwitz)稳定性判据系各阶赫尔维茨行列式为

······式中脚注大于n的系数或负脚注系数，均以零代之。

各阶赫尔维茨行列式为······式中脚注大于n的系数或负例系统的特征方程为试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。

解：

由特征方程知各项系数为

稳定的充分必要条件

由于D2<0，因此不满足赫尔维茨行列式全部为正的条件，系统属不稳定。例系统的特征方程为试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。2．林纳得-奇帕特(Lienard-Chipard)判据

此判据实质上是赫尔维茨稳定判据的推广，它可以减少计算行列式的工作量。

系统稳定的充分必要条件为

(2)奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零，即D奇>0或D偶>0。(1)系统特征方程的各项系数大于零，即ai>0(i=0，1，2，3，…，n)。说明：(1)是系统稳定的必要条件；如果满足ai>0，则根据(2)继续计算。2．林纳得-奇帕特(Lienard-Chipard)判据此例系统特征方程为利用林纳得-奇帕特判据，判别系统稳定性。

解：

稳定的充分必要条件为

(1)ai>0即a0>0，a1>0，a2>0，a3>0；

(2)事实上例系统特征方程为解：稳定的充分必要条件为(1)ai>例单位负反馈系统的开环传递函数

试求增益K的稳定域。

系统的闭环特征方程

解：

特征方程各项系数为

例单位负反馈系统的开环传递函数试求增益K的稳定域。系统稳定的充分必要条件

(1)ai>0，则要求K>0；

(2)D2>0即

得

K<14所以保证系统稳定，增益的稳定域为

0<K<14稳定的充分必要条件(1)ai>0，则要求K>0；(2)3．劳思(Routh)判据

若系统的特征方程为

系统稳定的充分必要条件是：劳思表中第一列所有元素的计算值均大于零，如果第