高一数学公式大全

高一数学公式大全高一数学公式大全14/14高一数学公式大全元素与会合的关系xAxCUA,xCUAxA.德摩根公式CU(AIB)CUAUCUB;CU(AUB)CUAICUB.包括关系AIBAAUBBABCUBCUAAICUBCUAUBR4.容斥原理card(AUB)cardAcardBcard(AIB)card(AUBUC)cardAcardBcardCcard(AIB)card(AIB)card(BIC)card(CIA)card(AIBIC).5．会合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)极点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解连不等式Nf(x)M常有以下转变形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0|f(x)MN|MNf(x)N022Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必需而不是充分条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0bk1k2,或f(k1)0且k12,或f(k2)0且2ak1k2bk2.22a9.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只幸好xb处及区2a间的两头点处获得，详细以下：(1)b当a>0时，若xb2axp,q，f(x)max2a(2)当a<0时，若x

pq，则f(x)minf(bmaxf(p),f(q)；2amaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).bp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若2axbmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).p,q，则f(x)max2a一元二次方程的实根散布依照：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内最罕有一个实根.设f(x)x2pxq，则（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p24q0pm；2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpnf(m)0f(n)02或或af(m)；af(n)00（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p24q0pm.2定区间上含参数的二次不等式恒建立的条件依照(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不一样样）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒建立的充要条件是f(x,t)min0(xL).(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒建立的充要条件是f(x,t)man0(xL).a00(3)f(x)ax4bx2c0恒建立的充要条件是ba.0或4accb200真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常有结论的否认形式原结论反设词原结论反设词是不是最罕有一个一个也没有都是不都是至多有一个最罕有两个大于不大于最罕有n个至多有（n1）个小于不小于至多有n个最罕有（n1）个对全部x，存在某x，p或qp且q建立不建立对任何x，存在某x，p且qp或q不建立建立四种命题的互相关系原命题若ｐ则ｑ

互逆

抗命题若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件1）充分条件：若2）必需条件：若3）充要条件：若

q，则p是q充分条件.p，则p是q必需条件.pq，且qp，则p是q充要条件.注：假如甲是乙的充分条件，则乙是甲的必需条件；反之亦然.函数的单一性(1)设x1x2a,b,x1x2那么(xx)f(x)f(x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；1212x1x2(xx)f(x)f(x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.1212x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，假如f(x)0，则f(x)为增函数；假如f(x)0，则f(x)为减函数.17.假如函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;假如函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.18．奇偶函数的图象特点奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y轴对称;反过来，假如一个函数的图象对于原点对称，那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象对于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒建立,则函数f(x)的对称轴是函数xabf(xa)与yf(bx)的图象对于直线xab2;两个函数y对称.221.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象对于点(a,0)2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.22．多项式函数P(x)anxnan1xn1La0的奇偶性

对称;若多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象对于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函数yf(x)的图象对于直线xabf(amx)f(bmx)对称2f(abmx)f(mx).两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象对于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象对于直线xab2m对称.f1(x)的图象对于直线(3)函数yf(x)和yy=x对称.25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，获得函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，获得曲线f(xa,yb)0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系f(a)bf1(b)a.27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1[f1()],其实不是kxb1[y[f1(kxb),而函数y[f1(kx)是f(x)]k几个常有的函数方程正比率函数f(x)指数函数f(x)对数函数f(x)幂函数f(x)x余弦函数f(x)

cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).,f(xy)f(x)f(y),f'(1).cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，f(0)1,limg(x)1.x0x29.几个函数方程的周期(商定a>0)1）f(x)2）f(x)f(xa)f(xa)

f(xa)，则f(x)的周期T=a；f(xa)0，1(f(x)0)，f(x)1(f(x)0),f(x)或1f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)(4)f(x1x2)f(x1)f(x2)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则1且f(a)f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.分数指数幂m1(1)an0,m,nN，且n1）.（anamm1(2)an0,m,nN，且n1）.m（aan31．根式的性质（1）(na)na.（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a,a0a,a.032．有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确立的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都合用.指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).对数的换底公式logaNlogmN0,且a1,m0,且m1,N0).(alogma推论logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).m35．对数的四则运算法例若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).36.设函数f(x)logm(ax2bx)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为cR,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情况,需要独自查验.对数换底不等式及其推行若a0,b0,x0,x1,则函数ylogax(bx)a(1)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为增函数.aa，(2)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为减函数.aa推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.2均匀增加率的问题假如本来产值的基础数为

N，均匀增加率为

p

，则对于时间

x

的总产值

y

，有yN(1

p)x

.数列的同项公式与前n项的和的关系ans1,n1sn(数列{an}的前n项的和为sna1a2Lan).sn1,n2等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；其前n项和公式为n(a1an)n(n1)snna12d2dn2(a11d)n.22等比数列的通项公式ana1qn1a1qn(nN*)；q其前n项的和公式为a1(1qn)sn1,q1qna1,q1a1anq,q1或sn1q.na1,q142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；q1,q1其前n项和公式为nbn(n1)d,(q1)snn.(bd)1qdn,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)每次还款xab(1b)n元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).(1b)n144．常有三角不等式（1）若x(0,)，则sinxxtanx.2(2)若x(0,)，则1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=sin，tancot1.cos正弦、余弦的引诱公式nsin(n)(1)2sin,(n为偶数)n12(1)2cos,(n为奇数)n(n为偶数)cos(n(1)2cos,)n1(n为奇数)2(1)2sin,和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan.1mtantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.asinbcos=a2b2sin()(协助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb).a二倍角公式sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan22tan.1tan249.三倍角公式sin33sin4sin34sinsin()sin().33cos34cos33cos4coscos()cos().33tan33tantan3tantan()tan().13tan233三角函数的周期公式函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，2；函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为常数，且Aω＞0)的周期T2≠0，ω＞0)的周期T.51.正弦定理abcsinAsinB2R.sinC余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.面积定理（1）S1aha1bhb1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.222（2）S1absinC1bcsinA1casinB.222(3)SOAB1uuuruuur2uuuruuur2.2(|OA||OB|)(OAOB)三角形内角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)CAB222C22(AB).2简单的三角方程的通解sinxaxkcosxax2ktanxaxk特别地,有

(1)karcsina(kZ,|a|1).arccosa(kZ,|a|1).arctana(kZ,aR).sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).最简单的三角不等式及其解集sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.2tanxa(aR)x(k,karctana),kZ.2实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么联合律：λ(μa)=(λμ)a;第一分派律：(λ+μ)a=λa+μa;第二分派律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数目积的运算律：a·b=b·a（互换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.平面向量基本定理假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任素来量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则aPb(b0)x1y2x2y10.a与b的数目积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．a·b的几何意义数目积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．平面向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).uuuruuuruuur(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x,y2y).11(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).两向量的夹角公式cosx1x2y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).y12x22x12y22平面两点间的距离公式d

A,B

uuur=|AB|

uuurAB

uuurAB(x2

x1)2

(y2

y1)2

(A

(x1,y1)，B(x2

,y2)).向量的平行与垂直a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.线段的定比分公式uuuruuur设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，且PP1PP2，则x1x2uuuruuurxuuur1OP1OP2OPy1y21y1uuuruuuruuur1）.OPtOP(1t)OP（t121三角形的重心坐标公式△ABC三个极点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3,y1y2y3).33点的平移公式x'xhxx'huuuruuuruuurOP'OPPP'.y'ykyy'kuuur注:图形F上的随意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x',y')，且PP'的坐标为(h,k).“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后获得点P'(xh,yk).(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后获得图象C',则C'的函数解析式为yf(xh)k.(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后获得图象C,若C的解析式yf(x),则C'的函数解析式为yf(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后获得图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后获得的向量仍旧为m=(x,y).三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则（1）O为ABC的外心uuur2uuur2uuur2.OAOBOC（2）O为ABC的重心uuuruuuruuurrOAOBOC0.（3）O为ABC的垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuurOAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的心里uuuruuuruuurraOAbOBcOC0.（5）O为ABC的A的旁心uuuruuuruuuraOAbOBcOC.常用不等式：（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）a,bRabab(当且仅当a＝b时取“=”号)．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值1s2.y)2(xy)24推行已知x,yR，则有(x2xy（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，假如a与ax2bxc同号，则其解集在两根以外；假如a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根以外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).含有绝对值的不等式当a>0时，有xax22axa.axax2a2xa或xa.无理不等式1）2）3）

f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)g(x)f(x)0或f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)[g(x)]2指数不等式与对数不等式当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.0a1f(x)g(x)(2)当时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)77.斜率公式ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x178.直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x1(4)截距式xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)b5）一般式AxByC0(此中A、B不一样样时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.0,l2:A2xB2yC20,且A(2)若l1:A1xB1yC1、A、B、B都不为零,1212①l1||l2A1B1C1；A2B2C2②l1l2A1A2B1B20；80.夹角公式(1)tan|k2k1|.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1|.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.2l1到l2的角公式(1)tank2k1.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1到l2的角是.82．四种常用直线系方程2(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),此中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,此中A,B是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，此中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k必但是b改动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量．83.点到直线的距离|Ax0By0C|dA2B2(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).0所表示的平面地区84.AxByC0或设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面地区是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的地区；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的地区.简言之,同号在上,异号在下.若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的地区；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的地区.简言之,同号在右,异号在左.85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面地区设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面地区是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC