高考全国3卷理科数学试题

2019年高中高考全国3卷理科数学试卷试题及答案2019年高中高考全国3卷理科数学试卷试题及答案13/132019年高中高考全国3卷理科数学试卷试题及答案2019高考全国3卷理科数学试题及答案2019年一般高等学校招生全国一致考试（全国）理科数学（试题及答案剖析）一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分）1．已知会集A(x,y)x2y21，B(x,y)yx，则AIB中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B221上全部点的会集，B表示直线yx上全部点会集，【剖析】A表示圆xy故AIB表示两直线与圆的交点，由图可知交点个数为22，即AIB元素的个数为，应选B.2．设复数z满足(1i)z2i，则z（）1B．2C．2D．2A．22【答案】C【剖析】由题，2i2i1i2i2，则z12122，应选C.z1i1ii11i23．某城市为认识游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月时期月款待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．依照该折线图，以下结论错误的选项是A．月款待游客量逐月增加B．年款待游客量逐年增加C．各年的月款待游客量巅峰期大体在7,8月份12019高考全国3卷理科数学试题及答案D．各年1月至6月的月款待游客量相对7月至12月，颠簸性更小，变化比较平稳【答案】A【剖析】由题图可知，2014年8月到9月的月款待游客量在减少，则A选项错误，应选A.4．(xy)(2xy)5的张开式中x3y3的系数为（）A．B．C．40D．80【答案】C【剖析】由二项式定理可得，原式张开中含x3y3的项为x22x23y33240x3333C5yC52xyy，则xy的系数为40，应选C.225x，且与椭圆5．已知双曲线C：x2y21（a0，b0）的一条渐近线方程为yx2y2ab21有公共焦点．则C的方程为（）123A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y21810455443【答案】B【剖析】∵双曲线的一条渐近线方程为y5x，则b5①又∵椭圆x2y22a21与双曲线有公共焦点，易知c3，则a2b2c29②123x2y2由①②解得a2,b5，则双曲线C的方程为1，应选B.456．设函数f(x)πcos(x)，则以下结论错误是（）38πA．f(x)的一个周期为2πB．yf(x)图像关于直线x对称3C．f(xππ)的一个零点为xD．f(x)在(,π)单调递减【答案】D62【剖析】函数fxcosxπ的图象可由ycosx向左平移π个单位获取，33如图可知，fx在π,π上先递减后递加，D选项错误，应选D.2ygx-O67．执行右图程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．222019高考全国3卷理科数学试题及答案【答案】D【剖析】程序运行过程以下表所示：SMt初始状态01001第1次循环结束100102第2次循环结束9013此时S9091首次满足条件，程序需在t3时跳出循环，即N2为满足条件的最小值，应选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3πππ4C．D．【答案】B２412【剖析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23，r122则圆柱体体积Vπr2h3π，应选B.49．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8【答案】A【剖析】∵an为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则a32a2a6，即a12d2a1da15d又∵a11，代入上式可得22d0d又∵d0，则d2∴S66a165d1665224，应选A.2222xyab0A1A2A1A210．已知椭圆C:a2b21（）的左、右极点分别为，，且以线段为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（）A．6B．3C．2133D．３3【答案】A【剖析】∵以A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，∴d2aba2b2a32019高考全国3卷理科数学试题及答案又∵a0,b0，则上式可化简为a23b2∵b2a2c2，可得a23a2c2，即c22a23∴ec6，应选Aa311．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a（）111A．２B．3C．2D．1【答案】C【剖析】由条件，f(x)x22xa(ex1ex1)，得：f(2x)(2x)22(2x)a(e2x1e(2x)1)x24x442xa(e1xex1)22xx1ex1)xa(e∴f(2x)f(x)，即x1为f(x)的对称轴，由题意，f(x)有唯一零点，∴f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a1．212．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点uuuruuuruuurAPABAD，则的最大值为（）A．3B．22C．5D．2

P在以点C为圆心且与BD相切圆上．若yPg【答案】A【剖析】由题意，画出右图．

B

C设BD与eC切于点E，连接CE．以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．∵|CD|1，|BC|2．22．∴BD125BD切eC于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．

EA(O)Dx1|BC||CD|2S△BCD2222|EC||BD|55|BD|5即eC的半径为25．5∵P在eC上．∴P点的轨迹方程为(x2)2(y1)245．设P点坐标(x0,y0)，可以设出P点坐标满足参数方程以下：42019高考全国3卷理科数学试题及答案2x025cos2y015sinuuuruuuruuur而AP(x0,y0)，AB(0,1)，AD(2,0)．uuuruuuruuur(0,1)(2,0)(2,)∵APABAD∴115，y012．x05cos5sin25两式相加得：125sin15cos552(25)2(5)2sin()552sin()≤3(其中sin5，cos25)55当且仅当π2kπ，kZ时，获取最大值3．2二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）xy≥0,13．若x，y满足拘束条件xy2≤0,则z3x4y的最小值为________．y≥0,【答案】1【剖析】由题，画出可行域如图：目标函数为z3x4y，则直线3zz值越小．yx纵截距越大，由图可知：z在A1,144处取最小值，故zmin31411．xy20yA(1,1)Bx(2,0)xy014．设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4________．【答案】8【剖析】Qan为等比数列，设公比为q．a1a21a1a1q1①a1a33，即a1a1q23②，显然q1，a10，②得1q3，即q2，代入①式可得a11，①52019高考全国3卷理科数学试题及答案a4a1q3138．2f(x)x1,x≤0,f(x1115．设函数2x,x0,则满足f(x))的x的取值范围是________．2【答案】1,4【剖析】Qfxx1,x≤0，fxfx1111fx2x,x02，即fx2由图象变换可画出yfx1与y1fx的图象以下：2yyf(x1)2(1,1)gg44gx1122y1f(x)由图可知，满足fx111fx的解为,.2416．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线①当直线AB与a成60角时，②当直线AB与a成60角时，

AC为旋转轴旋转，有以下结论：AB与b成30角；AB与b成60角；③直线AB与a所成角的最小值为45；④直线AB与a所成角的最大值为60．其中正确的选项是________（填写全部正确结论的编号）【答案】②③【剖析】由题意知，a、b、AC三条直线两两互相垂直，画出图形如图．不如设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，AB2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以uuuruuurCD为x轴正方向，CB为y轴正方向，uuurCA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(0,0,1)，rr1．直线a的方向单位向量a(0,1,0)，|a|B点初步坐标为(0,1,0)，r直线b的方向单位向量rb(1,0,0)，|b|1．设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0)，其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．uuur那么AB'在运动过程中的向量uuurAB(cos,sin,1)，|AB|2．uuurr[0,π设AB与a所成夹角为]，262019高考全国3卷理科数学试题及答案则cos(cos,sin,1)(0,1,0)2|sin|[0,2]．ruuuraAB22故[ππ,2]，所以③正确，④错误．4uuurr[0,π设AB与b所成夹角为]，uuurr2cosABbruuurbAB(cos,sin,1)(1,0,0).ruuurbAB22|cos|uuurrπ当AB与a夹角为60时，即3，sin2cos2cos212．∵cos2sin23221，∴|cos|2．2∴cos2|cos|1．22∵π[0,]．2r∴=πuuur，此时AB与b夹角为60．3∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都须作答．第22，23题为选考题，考生据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3cosA0，a27，b2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．【剖析】（1）由sinA3cosAπ0，0得2sinA3即AπkπkZ，又A0,π，32π∴Aπ3π，得A.3由余弦定理222cosA.又∵a21abc2bc7,b2,cosA代入并整理22得c25，故c4.1（2）∵AC2,BC27,AB4，72019高考全国3卷理科数学试题及答案22227.由余弦定理cosCabc2ab7∵ACAD，即△ACD为直角三角形，则ACCDcosC，得CD7.由勾股定理AD22CDAC3.又A2πDAB2πππ，则32，36S△ABD1ADABsinπ3.2618．（12分）某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价办理，以每瓶2元的价格当天全部办理完．依照从前销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如最高气温不低于25，需求量为500瓶；若是最高气温位于区间20，25，需求量为300瓶；如最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，1515，2020，2525，3030，3535，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学希望达到最大值？【剖析】⑴易知需求量x可取200,300,500PX21612003530PX3003623530PX25742500303.5则分布列为：X200300500P122555⑵①当n≤200时：Yn642n，此时Ymax400，当n200时取到.②当200n≤300时：Y42n12n20025200588002n6n800n55此时Ymax520，当n5300时取到.③当300n≤500时，Y12002n200223002n30022n255532002n5此时Y520.④当n≥500时，易知综上所述：当n

Y必然小于③的情况.300时，Y取到最大值为520.8VDACE2019高考全国3卷理科数学试题及答案19．（12分）如图，周围体ABCD中，△ABC形．?ABD?CBD，AB=BD．1）证明：平面ACD^平面ABC；2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把周围体ABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的余弦值．

是正三角形，△ACD是直角三角DECB【剖析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；ADQABC为等边三角形∴BOACE∴ABBCCABBCOBDBDABDCBD.BABDDBC∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADCA为直角又O为底边AC中点DOAC令ABa，则ABACBCBDa易得：OD2，OB3aa22222∴ODOBBD由勾股定理的逆定理可得DOB2即ODOBODACODOBzACIOBOOD平面ABCDAC平面ABCOB平面ABC又∵OD平面ADC平面ADCCE由面面垂直的判判定理可得平面ABC⑵由题意可知VBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点uuur以O为原点，OA为x轴正方向，uuur向，OD为z轴正方向，设AC角坐标系，则O0,0,0，Aa，D0,0,,0,02

uuurOB为y轴正方，建立空间直，B0,3a,022

OByAxaE0,a,44uuura3auuura,0,auuura,0,0易得：AE,a,，AD，OA244222uruur设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，92019高考全国3卷理科数学试题及答案uuuruur0uurAEn13,1,3则uuuruur，解得n1ADn10uuuruur0uurAEn20,1,3uuuruur，解得n2OAn20若二面角DAEC为，易知为锐角，uuruur7则cosn1n2uuruur7n1n220．（12分）已知抛物线2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以C:y线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．【剖析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不吻合题意．设l:xmy2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立：y22x得y22my40，xmy24m216恒大于0，y1y22m，y1y24．uuruuurx1x2y1y2OAOB(my12)(my22)(m21)y1y22m(y1y2)4uuruuur4(m21)2m(2m)40∴OAOB，即O在圆M上．uuuruur0⑵若圆M过点P，则APBP(x14)(x24)(y12)(y22)0(my12)(my22)(y12)(y22)0(m21)y1y2(2m2)(y1y2)80化简得2m2m10解得m1或121①当m时，l:2xy40圆心为Q(x0,y0)，2yy1y21，x1y29，02202049212半径r|OQ|42则圆M:(x9)2(y1)2854216②当m1时，l:xy20圆心为Q(x0,y0)，y0y1y21，x0y023，2半径r|OQ|3212则圆M:(x2(y2103)1)21．（12分）已知函数f(x)x1alnx．102019高考全国3卷理科数学试题及答案（1）若f(x)≥0，求a的；（2）m整数，且于任意正整数n，(1+111m，求m的最)(1+2)鬃?(1n)<222小．【剖析】⑴f(x)x1alnx，x0f(x)1axa，且f(1)0当a≤0xx上增，所以0x1，fx0，fx在0，，fx0，不足意；当a0，当0xa，f(x)0，f(x)在(0,a)上减；当xa，f(x)0，f(x)在(a,)上增．①若a1，f(x)在(a,1)上增∴当x(a,1)f(x)f(1)0矛盾②若a1，f(x)在(1,a)上减∴当x(1,a)f(x)f(1)0矛盾③若a1，f(x)在(0,1)上减，在(1,)上增∴f(x)≥f(1)0足意上所述a1．⑵当a1f(x)x1lnx≥0即lnx≤x1有ln(x1)≤x当且当x0等号建立∴ln(111N*k)k，k22一方面：ln(111...ln(1111...111，)ln(12)n)22n1n112122222即(1)(1222)...(12