2019秋人教版九年级数学下册同步练习题微专题十八锐角三角函数值求法

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微专题十八__锐角三角函数值的求法__[学生用书A82]

(教材P65例2)

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

图1

解：由勾股定理，得

AC＝AB2－BC2＝102－62＝8，

BC63因此sinA＝AB＝10＝5，

AC84cosA＝AB＝10＝5，

BC63tanA＝AC＝8＝4.

[2017滨·州]如图2，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(A)

图2

A．2＋3B．23C．3＋3D．33

【剖析】设AC＝a，则AB＝a÷sin30°＝2a，

BC＝a÷tan30°＝3a，∴BD＝AB＝2a.

1/72019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十八__锐角三角函数值的求法

2＋3）a∴tan∠DAC＝＝＋3.a2如图3，△ABC的极点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B)152B.5

25C.10D.5

图3变形2答图【剖析】如答图，连接DC，由网格可得出∠CDA＝90°，则DC＝2，AC＝10，∴sinA＝DC＝2＝5AC105.

[2018·荆州]如图4，平面直角坐标系中，⊙P经过三点，A(8，0)，O(0，

0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD

的值是(B)A．2B．3C．4D．5

图4变形3答图

【剖析】如答图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB.连接AB，由题

意可知AB为⊙P的直径，

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A(8，0)，B(0，6)，∴OA＝8，OB＝6，

1OE＝BE＝2OB＝3，

在Rt△AOB中，AB＝OA2＋OB2＝10，

1BP＝2AB＝2×10＝5，

在Rt△PEB中，PE＝BP2－BE2＝4，

DE＝EP＋DP＝4＋5＝9，

DE9tan∠DOB＝OE＝3＝3，应选B.

[2018·湖州]如图5，已知菱形ABCD，对角线AC，BD订交于点O，

1若tan∠BAC＝3，AC＝6，则BD的长是__2__．

图5

【剖析】∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AO＝OC，BO＝OD，∴∠AOB＝90°，

1BO1AO＝2AC＝3，∵在Rt△AOB中，tan∠BAC＝AO＝3，∴BO＝1，∴BD＝2BO＝2.

[2018·枣庄改编]如图6，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，

2AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为__4__．

图6

【剖析】设EF＝a，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，

EFBFBE∴AF＝DF＝AD，3/72019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十八__锐角三角函数值的求法

又∵点E是边BC的中点，

EFBFBE1AF＝DF＝AD＝2，∴AF＝2EF＝2a，

EFBF又∵AE⊥BD，∴△BEF∽△ABF，∴BF＝AF，

BF即BF＝2a，∴BF＝2a，∴DF＝22a，

∴tan∠BDE＝EF＝a＝2DF22a4.[2018·宁波改编]如图7，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC

3－1于点E，M是AB的中点，连接MD，ME，若∠EMD＝90°，则cosB的值为__2

__．

图7变形6答图

【剖析】如答图，延长EM，DA交于点F，连接DE.

M是AB的中点，AE⊥BC，

∴AM＝BM＝ME＝1，

菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠B＝∠MAF，

又∵∠BME＝∠AMF，∴△BME≌△AMF，

MF＝ME，AF＝BE，∵DM⊥EF，∴DE＝DF＝AD＋AF＝2＋BE.设BE＝x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2－BE2＝4－x2，

在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝DE2，即4－x2＋4＝(2＋x)2，解得x＝3－1(负值舍去)，则BE＝3－1，

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BE3－1

∴在Rt△ABE中，cosB＝AB＝2.

12如图8，AD是△ABC的中线，tanB＝3，cosC＝2，AC＝2，求：

(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值．

图8变形7答图

解：(1)如答图，过点A作AE⊥BC于点E.

2cosC＝2，∴∠C＝45°，

在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，

AE＝CE＝1.

AE1在Rt△ABE中，tanB＝3，∴BE＝3，

BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4；

1(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝2BC＝2，

DE＝CD－CE＝2－1＝1.

AE⊥BC，DE＝CE，∴AD＝AC，

2∴∠ADC＝∠C＝45°，∴sin∠ADC＝2.

如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的均分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，F恰好是AB的一个三均分点(AF＞BF)．

(1)求证：△ACE≌△AFE；

(2)求tan∠CAE的值．

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图9

解：(1)证明：∵AE是∠BAC的均分线，

∴∠CAE＝∠FAE.又∵∠C＝90°，EF⊥AB，

EC＝EF，∠EFA＝90°，∴∠C＝∠EFA，

∴△ACE≌△AFE(AAS)；

(2)∵F是AB的三均分点(AF＞BF)，

∴设BF＝1，则AF＝2，

由(1)得AC＝2.再设CE＝2x，则EF＝2x.

ACEF2∵sinB＝AB＝EB＝3，

EB＝3x，∴BC＝CE＋EB＝5x.

又∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋(5x)2＝32，

∴x1525不合题意，舍去，＝5，x＝－5()CE5∴tan∠CAE＝AC＝5.

[2017·广安]如图10，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB订交

于点F.点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D.

(1)求证：直线AE是⊙O的切线；

310(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝4，CF＝3，求BF的长．

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图10变形9答图

解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，

∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，

∴∠EAC＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，

∴BA⊥AE，∵BA过点O，∴直线AE是⊙O的切线；

(2)如答图，作FH⊥BC于点H，

3∵∠BAD＝∠BC