习题：向量减法运算及其几何意义

向量减法运算及其几何意义双基达标限时20分钟1．在四边形ABCD中，设Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up12(→))＝()．A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c解析eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝a－b＋c.答案A2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于()．A．1\r(2)\r(5)\r(6)解析设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，以OA、OB为邻边作▱OACB，则a－b＝eq\o(BA,\s\up12(→)).∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴▱OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝eq\r(6).答案D3．当a，b满足下列何种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立()．A．a与b同向B．a与b反向C．a与b同向且|a|≤|b|D．a与b反向且|a|≥|b|解析当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|.答案D4．化简下列各式：①eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))；②eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))；③eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))；④eq\o(NQ,\s\up12(→))－eq\o(PQ,\s\up12(→))＋eq\o(MN,\s\up12(→))－eq\o(MP,\s\up12(→)).结果为零向量的个数是________．解析①eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＝0；③eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＝eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up12(→))－eq\o(PQ,\s\up12(→))＋eq\o(MN,\s\up12(→))－eq\o(MP,\s\up12(→))＝eq\o(NQ,\s\up12(→))＋eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(PM,\s\up12(→))＋eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(NM,\s\up12(→))＋eq\o(MN,\s\up12(→))＝0.答案45．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝________.解析eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝(eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→)))－(eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→)))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→)).答案eq\o(CA,\s\up12(→))6．如图，已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OE,\s\up12(→))＝e，eq\o(OF,\s\up12(→))＝eq\o(f,\s\up12(→))，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)eq\o(AC,\s\up12(→))；(2)eq\o(AD,\s\up12(→))；(3)eq\o(DF,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(ED,\s\up12(→)).解(1)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝c－a.(2)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝－a＋d.(3)eq\o(DF,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\o(DO,\s\up12(→))＋eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(FO,\s\up12(→))＋eq\o(OE,\s\up12(→))＋eq\o(EO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝0.综合提高限时25分钟7．下列四式中不能化简为eq\o(PQ,\s\up12(→))的是()．\o(AB,\s\up12(→))＋(eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(BQ,\s\up12(→)))B．(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＋(eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(QC,\s\up12(→)))\o(QC,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(BQ,\s\up12(→))解析A中，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BQ,\s\up12(→))＋eq\o(PA,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))；B中，(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→)))＋(eq\o(PC,\s\up12(→))－eq\o(QC,\s\up12(→)))＝0＋eq\o(PC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))；C中，eq\o(QC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＝0＋eq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))；D中，eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(BQ,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(BQ,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(QB,\s\up12(→))≠eq\o(PQ,\s\up12(→)).答案D8．在边长为1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))|的值为()．A．1B．2\f(\r(3),2)\r(3)解析作菱形ABCD，则|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(DB,\s\up12(→))|＝eq\r(3).答案D9．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|，则点O是三角形ABC的________心．解析由|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|可得，O点到三角形各顶点的距离相等．可见满足|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|的点O是三角形ABC的外心．答案外心10．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，则eq\o(OD,\s\up12(→))＝________.解析因为eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，所以eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)).所以eq\o(OD,\s\up12(→))＝a－b＋c.答案a－b＋c11．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解(1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，又eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，∴延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up12(→))，且|eq\o(AE,\s\up12(→))|＝2eq\r(2).∴|a＋b＋c|＝2eq\r(2).(2)作eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，连接CF，则eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))，而eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝a－eq\o(BC,\s\up12(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))且|eq\o(DF,\s\up12(→))|＝2.∴|a－b＋c|＝2.12．(创新拓展)已知|a|＝8，|b|＝15.(1)求|