习题2：三个正数的算术-几何平均不等式

3三个正数的算术--几何平均不等式一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)，∴xyz≤8.∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，则a的值为()A．nn B．2nC．n2 D．2n＋1【解析】，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.【答案】A3．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为()\f(1,8) B．1\f(\r(3,18),3) D．eq\f(4,27)【解析】∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)2＝eq\f(1,2)·2x·(1－x)·(1－x)≤eq\f(1,2)[eq\f(2x＋1－x＋1－x,3)]3＝eq\f(4,27).当且仅当x＝eq\f(1,3)时，等号成立．【答案】D4．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，则()A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x【解析】由a，b，c大于0，易知eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，即x≥y，又z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，x2＝eq\f(a＋b＋c2,9)，且x2＝eq\f(a2＋b2＋c2＋2ab＋bc＋ca,9)≤eq\f(3a2＋b2＋c2,9)＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，∴x2≤z2，则x≤z，因此z≥x≥y.【答案】B二、填空题5．(2022·郑州模拟)若x＋y＋z＝1，且x，y，z∈R，则x2＋y2＋z2与eq\f(1,3)的大小关系为________．【解析】∵(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝1，又2(xy＋yz＋zx)≤2(x2＋y2＋z2)，∴3(x2＋y2＋z2)≥1，则x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3).【答案】x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3)6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤eq\f(1,27)；②eq\f(1,abc)≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).其中正确的不等式序号是________．【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，0<abc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，eq\f(1,abc)≥27，从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)，③正确．【答案】①②③三、解答题7．(1)求函数y＝x2＋eq\f(3,x)(x＞0)的最小值；(2)求函数y＝x2(a－x)(x＞0，a为大于x的常数)的最大值．【解】(1)∵x＞0，eq\f(3,x)＝eq\f(3,2x)＋eq\f(3,2x)＞0，且x2·eq\f(3,2x)·eq\f(3,2x)＝eq\f(9,4)(定值)，∴y＝x2＋eq\f(3,x)＝x2＋eq\f(3,2x)＋eq\f(3,2x)≥3eq\r(3,x2·\f(3,2x)·\f(3,2x))＝3eq\r(3,\f(9,4))＝eq\f(3,2)eq\r(3,18).当且仅当x2＝eq\f(3,2x)，即x＝eq\r(3,\f(3,2))时，等号成立，∴y最小值＝eq\f(3,2)eq\r(3,18).(2)∵x＞0，a＞x且eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋(a－x)＝a(常数)，∴y＝x2(a－x)＝4·[eq\f(x,2)·eq\f(x,2)·(a－x)]≤4·[eq\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋a－x,3)]3＝4×eq\f(a3,27)＝eq\f(4,27)a3，当且仅当eq\f(x,2)＝a－x，即x＝eq\f(2,3)a时等号成立，∴y最大值＝eq\f(4,27)a3.8．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥6eq\r(3)，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】因为a，b，c均为正数，由算术－几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\f(2,3)， ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3).所以(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥9(abc)－eq\f(2,3). ②故a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)， ③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)eq\f(2,3)＝9(abc)－eq\f(2,3)时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝eq\r(4,3)时，原式等号成立．9．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，求点P到这个三角形三边距离乘积的最大值．【解】设P到三角形三边距离分别为h1、h2、h3，又∵三角形为直角三角形，S＝eq\f(1,2)·3·4＝6.∴eq\f(1,2)h1·3＋eq\f(1,2)h2·4＋eq\f(1,2)h3·5＝6.∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3eq\r(3,60h1h2h3).∴h1h2h3≤eq\f(64,60)＝eq\f(16,15).因此点P到这个三角形三边距离乘积的最大值为eq\f(16,15).教师备选10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．【解】设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)·(1－x)