习题 正余弦定理综合课时训练

正、余弦定理综合►基础达标1．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则角B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)及正弦定理得：eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴eq\f(cosB,sinB)＝1，tanB＝1.又∵0°<B<180°，∴B＝45°，故选B.答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，eq\r(a2＋b2＋ab)，则此三角形中最大的角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：∵eq\r(a2＋b2＋ab)>a，eq\r(a2＋b2＋ab)>b，∴最大边是eq\r(a2＋b2＋ab)，设其所对的角为θ，则cosθ＝eq\f(a2＋b2－\r(a2＋b2＋ab)2,2ab)＝－eq\f(1,2)，θ＝120°.答案：C3．在△ABC中，下列关系式()①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C4.△ABC中，cosA＝eq\r(3)－eq\r(3)sinA，则A的值为() \f(π,6)\f(π,2)\f(2π,3)\f(π,6)或eq\f(π,2)解析：解法一：代入检验，故选D.解法二：由cosA＝eq\r(3)－eq\r(3)sinA⇒cosA＋eq\r(3)sinA＝eq\r(3)⇒eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＝eq\f(\r(3),2)，∴sin(A＋30°)＝eq\f(\r(3),2)，∵30°<A＋30°<210°∴A＋30°＝60°或120°，故A＝30°或90°，选D.答案：D5．(2022·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()\f(\r(10),10)\f(\r(10),5)\f(3\r(10),10)\f(\r(5),5)答案：C►巩固提高6．锐角三角形ABC中，sinA和cosB的大小关系是()A．sinA＝cosBB．sinA＜cosBC．sinA＞cosBD．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°，∴A＞90°－B，∴sinA＞sin(90°－B)＝cosB．故选C.答案：C7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：因为B＝60°，b2＝ac，由余弦定理b2＝a2＋c2－2acosB，得ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.所以△ABC是等边三角形．答案：D8．在△ABC中，已知eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC由已知得：eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，所以eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，所以tanA＝tanB＝tanC，可得A＝B＝C，即三角形为等边三角形．答案：C9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝eq\r(3)asinC－ccosA.(1)求A;解析：由c＝eq\r(3)asinC－ccosA及正弦定理得eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.解析：△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.10．在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解析：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2).∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB).∴AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主