2013-2022年十年全国高考数学真题分类汇编（解析版）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题01集合一、选择题1．(2022年全国甲卷理科·第3题)设全集，集合，则()A． B． C． D．【答案】D解析：由题意，，所以,所以．故选：D．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2022年全国甲卷理科·第3题2．(2022年全国乙卷理科·第1题)设全集，集合M满足，则()A． B． C． D．【答案】A解析：由题知,对比选项知，正确,错误【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第1题3．(2022新高考全国II卷·第1题)已知集合，则()A． B． C． D．【答案】B解析:，故．故选B．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2022新高考全国II卷·第1题4．(2022新高考全国I卷·第1题)若集合，则()A． B． C． D．【答案】D解析：，故，故选：D【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2022新高考全国I卷·第1题5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题)设集合，则()A． B． C． D．【答案】B解析:由题设可得，故，故选B．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合，，则()A． B． C． D．【答案】B解析:由题设有，故选B．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C解析：故选：C【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第1题8．(2020新高考II卷(海南卷)·第1题)设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=()A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}【答案】C解析：因为，所以，故选：C【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第1题9．(2021年高考全国乙卷理科·第2题)已知集合，，则()A． B． C． D．【答案】C解析：任取，则，其中，所以，，故，因此，．故选：C．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第2题10．(2021年高考全国甲卷理科·第1题)设集合，则()A． B． C． D．【答案】B解析：因为，所以,故选：B．【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．故选：B．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题)已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}【答案】A解析：由题意可得：，则．故选：A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合，，则中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C解析：由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4．故选：C．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合，，则()A． B． C． D．【答案】【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．【点评】本题考查了集合交集的求法，是基础题．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题)设集合，，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】或，，故，故选A．【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第1题)已知集合，，则()A．B．C．D．【答案】答案：C解析：．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第1题17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第1题)已知集合，，则()A． B． C． D．【答案】C解析：，，故，故选C．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第1题18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第2题)已知集合，则中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A解析：，故选A．【题目栏目】集合\集合的基本概念【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第2题19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第2题)己知集合,则()A． B．C． D．【答案】B解析：集合，可得，则，故选：B．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第2题20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第1题)已知集合,,则()A． B． C． D．【答案】A

【解析】由得,所以,故,故选A．

【考点】集合的运算,指数运算性质．

【点评】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第1题21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合A=,B=,则AB中元素的个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B

【解析】法1:集合中的元素为点集,由题意,结合表示以为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合表示直线上所有点组成的集合,联立圆与直线的方程,可得圆与直线相交于两点,,所以中有两个元素．

法2:结合图形,易知交点个数为2,即的元素个数为2．

故选B

【考点】交集运算;集合中的表示方法．

【点评】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件．集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第2题)设集合，．若，则()A． B． C． D．【答案】C【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的．【解析】解法一：常规解法∵∴1是方程的一个根，即，∴故解法二：韦达定理法∵∴1是方程的一个根，∴利用伟大定理可知：，解得：，故解法三：排除法∵集合中的元素必是方程方程的根，∴，从四个选项A﹑B﹑C﹑D看只有C选项满足题意．【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合，集合考点有二：1．集合间的基本关系；2．集合的基本运算．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第2题23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)设集合,,则()A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得或,所以,所以,故选D.【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第2题)已知集合，，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，所以，故选C．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第2题25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第1题)设集合，，则()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】，．故．故选D．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第1题26．(2015高考数学新课标2理科·第1题)已知集合，,则()A． B． C． D．【答案】A解析：由已知得，故，故选A．考点：集合的运算．【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第1题27．(2014高考数学课标2理科·第1题)设集合，，则()A． B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝【答案】D解析：因为，所以，故选D．考点：(1)集合的基本运算；(2)一元二次不等式的解法，难度：B备注：常考题【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第1题28．(2014高考数学课标1理科·第1题)已知集合A={|},B=,则=()

A．[-2,-1] B．[-1,2) C．[-1,1] D．[1,2)【答案】A

解析:∵A={|}=,B=,

∴=,选A．

考点:(1)集合间的基本运算;(2)一元二次不等式的解法;(3)数形结合思想

难度:A

备注:高频考点【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第1题29．(2013高考数学新课标2理科·第1题)已知集合，则()A． B． C． D．【答案】A解析：化简集合得，则．考点：(1)7．2．1一元二次不等式的解法；(2)1．1．3集合的基本运算．难度：A备注：高频考点【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第1题30．(2013高考数学新课标1理科·第1题)已知集合A=，B=，则()A． B． C． D．【答案】D解析:,故选B．考点:(1)1．1．3集合的基本运算；(2)7．2．1一元二次不等式的解法．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】集合\集合的基本运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第1题全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题02函数一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则 ()A． B． C． D．【答案】D解析：因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，．因为，所以，即，所以．因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以．所以．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性【题目来源】2022年全国乙卷理科·第12题2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则 ()A． B． C．0 D．1【答案】A解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用【题目来源】2022新高考全国II卷·第8题3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ()A． B． C． D．【答案】B解析:因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知,故选B．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知，，，则下列判断正确的是 ()A． B． C． D．【答案】C解析:，即,故选C．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题5．(2020年新高考I卷(山东卷)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 ()A． B．C． D．【答案】D解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第8题6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69) ()A．1．2天 B．1．8天C．2．5天 D．3．5天【答案】B解析：因，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天．故选：B．【题目栏目】函数\函数模型及应用\对数函数模型【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第6题7．(2020新高考II卷(海南卷)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 ()A． B．C． D．【答案】D解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第8题8．(2020新高考II卷(海南卷)·第7题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】D解析：由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以，故选：D【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的单调性\函数单调性的应用【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第7题9．(2021年高考全国乙卷理科·第12题)设，，．则 ()A． B． C． D．【答案】B解析：,所以;下面比较与的大小关系．记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B．【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第12题10．(2021年高考全国乙卷理科·第4题)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．【答案】B解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第4题11．(2021年高考全国甲卷理科·第12题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ()A． B． C． D．【答案】D解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．【题目栏目】函数\函数的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第12题12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6【答案】C解析：由，当时，，则．故选：C．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第4题13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若，则 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以．，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误．故选：B．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 ()AB．C．D．【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．【题目栏目】函数\函数模型及应用\对数函数模型【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题15．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若，则 ()A． B． C． D．【答案】A解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选：A．【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)设函数，则f(x) ()A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题17．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 ()A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，，,故需要志愿者名．故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．【题目栏目】函数\函数模型及应用\函数的应用问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题18．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 ()Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A解析：由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得．综上所述，．故选：A．【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题19．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ()(ln19≈3)A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C解析：，所以，则，所以，，解得．故选：C．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题20．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 ()A． B．C． D．【答案】C【解析】是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题21．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第7题)函数在的图像大致为 ()A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第7题22．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第12题)设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．如图所示：当时，，令，整理得：，∴(舍)，∴，，∴时，成立，即，∴，故选B．(说明：以上图形是来自@)【点评】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．【题目栏目】函数\函数的图像\函数图像的变换【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第12题23．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第4题)年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】由得．将其代入到中，可得，所以，故．【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．【题目栏目】函数\基本初等函数\指数与指数函数\指数式与根式的计算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第4题24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数在的图象大致为 ()【答案】D解析：显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，，排除C，又，故选D．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数的图象大致为 ()【答案】D解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ()A． B．0 C．2 D．50【答案】C解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，，因此是周期函数且．又，且，所以，所以，故选C．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的周期性【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数的图象大致为 ()【答案】B解析：因为，，所以为奇函数，排除A；，排除D；因为，当时，，函数单调递增，排除C．故选B．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题28．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9题)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】C解析：由得，作出函数和的图象如图当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C．【题目栏目】函数\函数与方程\函数零点或方程根的个数问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9题29．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11题)设为正数,且,则 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】令,则,,∴,则,则,故选D．【考点】指、对数运算性质【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11题30．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5题)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．【考点】函数的奇偶性、单调性【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的单调性\函数单调性的应用【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5题31．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知函数有唯一零点，则 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：，设，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C．法二：由条件，，得：所以，即为的对称轴由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即解得．【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想【点评】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题32．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．根据该折线图,下列结论错误的是 ()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A说法错误;折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确;每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故选项C说法正确;每年1月至6月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7月至12月的折线图不平稳,波动性较大,故选项D说法正确．故选A．【考点】折线图【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距,即折线图是频率分布直方图的近似,他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题33．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知,,,则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,,故选A.【题目栏目】函数\基本初等函数\幂函数【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题34．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为C．B点表示四月的平均最低气温约为C．下面叙述不正确的是 ()A．各月的平均最低气温都在C以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于C的月份有5个【答案】D【解析】由图可知C均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在C以上,A正确;由图可知在七月的平均温差大于C,而一月的平均温差小于C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在C,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于C的月份有3个或2个,所以D不正确.故选D.【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题35．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为：所以，故选Ｂ【点评】零点代数和问题系属研究对称性，确定交点的个数即可获解．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题36．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题)若，则 ()(A)(B)(C)(D)【答案】C 【解析】对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B： 由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，∴，C正确对D： 要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，∴，D错误故选C．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题37．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题)函数在[–2,2]的图像大致为 ()yyxy2O-21Cx2O-21Byx2O-21Ax2O-21Dy【答案】D【解析1】函数在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D．【解析2】，排除A，排除B时，，当时，因此在单调递减，排除C故选D．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题38．(2015高考数学新课标2理科·第10题)如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为 ()DPCDPCBOAx【答案】B解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．考点：函数的图象和性质．【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第10题39．(2015高考数学新课标2理科·第5题)设函数, ()A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C解析：由已知得，又，所以，故，故选C．考点：分段函数．【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第5题40．(2014高考数学课标1理科·第6题)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为 ()AB ()CD【答案】B解析:如图:过M作MD⊥OP于D,则PM=,OM=,在中,MD=,∴,选B．．考点:(1)函数图像的应用(2)倍角公式的应用(3)数形结合思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2014高考数学课标1理科·第6题41．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 ()A．是偶函数 B．||是奇函数C．||是奇函数 D．||是奇函数【答案】C解析:设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C．考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想难度:A备注:概念题【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断【题目来源】2014高考数学课标1理科·第3题42．(2013高考数学新课标2理科·第8题)设则 ()A． B． C． D．【答案】D解析：,显然考点：(1)2．5．1对数式的化简与求值；(2)2．5．2对数函数的图象与性质难度：B备注：高频考点【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第8题二、多选题43．(2020新高考II卷(海南卷)·第9题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 ()A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第9题三、填空题44．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】(答案不唯一，均满足)解析:取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③．故答案为(答案不唯一，均满足)【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题45．(2021年新高考Ⅰ卷·第15题)函数的最小值为______．【答案】1解析:由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴,故答案为1．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的最值【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第15题46．(2021年新高考Ⅰ卷·第13题)已知函数是偶函数，则______．【答案】1解析:因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第13题47．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第14题)已知是奇函数，且当时，．若，则．【答案】.【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第14题48．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)设函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】法一：因为当时，；当时，；当时，由，可解得综上可知满足的的取值范围是．法二：，，即由图象变换可画出与的图象如下：由图可知，满足的解为．法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．【考点】分段函数；分类讨论的思想【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【题目栏目】函数\函数及其表示\分段函数【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题49．(2015高考数学新课标1理科·第13题)若函数为偶函数，则【答案】1解析：由题知是奇函数，所以=，解得=1．考点：函数的奇偶性【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第13题50．(2014高考数学课标2理科·第15题)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．【答案】解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得考点：(1)函数单调性的应用；(2)函数奇偶性的应用；(3)绝对值不等式的解法难度：C备注：典型题【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断【题目来源】2014高考数学课标2理科·第15题51．(2013高考数学新课标1理科·第16题)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．【答案】16解析：由图像关于直线=－2对称，则0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===当∈(－∞,)∪(－2,)时，＞0，当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在(－∞，)单调递增，在(，－2)单调递减，在(－2，)单调递增，在(，+∞)单调递减，故当=和=时取极大值，==16．考点:(1)2．3．4函数的对称性；(2)3．2．4导数与函数最值．难度：Ｃ备注：高频考点【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第16题

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题03导数选填题一、选择题1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当时，函数取得最大值，则()AB．C．D．1【答案】B解析：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\含参函数的最值问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第6题2．(2022新高考全国I卷·第7题)设，则()A． B． C． D．【答案】C解析:设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题【题目来源】2022新高考全国I卷·第7题3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线，则()A． B．C． D．【答案】D解析:在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点,故选D．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第7题4．(2021年高考全国乙卷理科·第10题)设，若为函数的极大值点，则()AB．C．D．【答案】D解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故．当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故．综上所述，成立．故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第10题5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题)函数的图像在点处的切线方程为()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即．故选：B．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为()A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D解析：设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，(舍)，则直线的方程为，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知曲线在点处的切线方程为，则()A． B． C． D．【答案】【答案】D【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题8．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A． B． C． D．【答案】D解析：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若是函数的极值点，则的极小值为()A． B． C． D．1【答案】A【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力．【解析】解法一：常规解法∵∴导函数∵∴∴导函数令，∴，当变化时，，随变化情况如下表：+0-0+极大值极小值从上表可知：极小值为．【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低．【考点】函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题10．(2015高考数学新课标2理科·第12题)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是()A． B．C． D．【答案】A解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．考点：导数的应用、函数的图象与性质．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的单调性\函数单调性的应用2【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第12题11．(2015高考数学新课标1理科·第12题)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过(1,0)斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【题目栏目】导数\导数的应用\导数与整数解问题【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第12题12．(2014高考数学课标2理科·第8题)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D解析：因为，所以切线的斜率为，解得，选D考点：(1)导数的基本运算；(2)导数的几何意义。难度：B备注：常考题【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2014高考数学课标2理科·第8题13．(2014高考数学课标1理科·第11题)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为()A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)【答案】B解析1:由已知,,令,得或,当时,;且,有小于零的零点,不符合题意．当时,要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,,要使有唯一的正零根,只需,选B考点:(1)利用导数的定义求函数的导数(2)导数与函数零点、方程的根(3)分类讨论思想难度:C备注:一题多解【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数零点、方程的根的问题【题目来源】2014高考数学课标1理科·第11题14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数，下列结论中错误的是()A．B．函数的图象是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．若是的极值点，则【答案】C解析：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．考点：(1)3．2．3导数与函数极值；(2)3．2．2导数与函数单调性难度：B备注：高频考点【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第10题15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数=，若||≥，则的取值范围是()A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]【答案】Ｄ解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．考点:(1)3．3．1利用导数研究“恒能恰”成立及参数求解问题；(2)7．2．2一元二次不等式恒能恰成立问题．难度：Ｃ备注：高频考点、易错题【题目栏目】导数\导数中的几种经典问题\切割线法的应用问题【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第11题二、多选题16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则()A． B． C． D．【答案】BC解析:因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选：BC．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的概念【题目来源】2022新高考全国I卷·第12题17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则()A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC解析:由题，，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误故选：AC．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\具体函数的极值问题【题目来源】2022新高考全国I卷·第10题三、填空题18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】解析：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\极值(点)的概念与判定【题目来源】2022年全国乙卷理科·第16题19．(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】①．②．解析：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2022新高考全国II卷·第14题20．(2022新高考全国I卷·第15题)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】解析：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2022新高考全国I卷·第15题21．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】解析:由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以．故答案为．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线在点处的切线方程为__________．【答案】解析：由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第13题23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线在点处的切线方程为．【答案】答案：解析：，所以曲线在点处的切线方程为．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线在点处的切线的斜率为，则．【答案】解析：记，则依题意有，即，解得．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题25．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13题)曲线在点处的切线方程为__________．【答案】解析：因为，所以，切线方程为，即．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13题26．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16题)已知函数,则的最小值是．【答案】解法一：先求的最大值，设，即，故根据奇函数知，解法二：导数法+周期函数当；；解法三：均值不等式法当且仅当时，此时，【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16题27．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16题)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．【答案】【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．,三棱锥的体积．令,则,令,,,．【考点】简单几何体的体积【点评】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积．当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.【答案】【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题29．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为则，所以所以，所以，所以．【点评】此题考查了导数的几何意义，以及公切线的基本求法，本解法主要体现了通性通法，即设切点，表示切线方程，利用导数的几何意义，切点与曲线、切线位置关系构建方程组，利用消元，解方程的办法获解．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\两曲线的公切线问题【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题04导数解答题1．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【答案】(1)的减区间为，增区间为．(2)(3)见解析解析:(1)当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为．(2)设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾．若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立．由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以．当时，有，所以在上为减函数，所以．综上，．(3)取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立．所以对任意的，有，整理得到：，故【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2022新高考全国II卷·第22题2．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)(2)见解析解析：(1)的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故．的定义域为，而．当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故．当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故．因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为．综上，．(2)由(1)可得和的最小值为．当时，考虑的解的个数、的解的个数．设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2．当，由(1)讨论可得、仅有一个零点，当时，由(1)讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则．设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2022新高考全国I卷·第22题3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．【答案】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题4．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．【答案】解析：(1)函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为．(2)因为，故，即，故，设，由(1)可知不妨设．因为时，，时，，故．先证：，若，必成立．若，要证：，即证，而，故即证，即证：，其中．设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立．设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：．设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立．综上所述，．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第22题5．(2020年新高考I卷(山东卷)·第21题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a取值范围．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;(2)解法一：,，且．设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立．当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞)．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第21题6．(2020新高考II卷(海南卷)·第22题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;(2)解法一：,，且．设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立．当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞)．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第22题7．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．【答案】；证明见详解解析：(1)由，，又是函数的极值点，所以，解得；(2)由(1)得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题．【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第20题8．(2021年高考全国