习题《基本初等函数的导数公式及导数运算法则1》同步练习及答案

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，则f′(1)等于()A．－eq\f(1,6) \f(5,6)C．－eq\f(7,6) \f(7,6)[答案]B3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案]A[解析]∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于()\f(19,3) \f(16,3)\f(10,3) \f(13,3)[答案]B[解析]∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝eq\f(16,3).∴选B.5．已知物体的运动方程是s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒[答案]D[解析]显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.6．y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x－1C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2[答案]A[解析]本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()\f(π,2) B．0C．钝角 D．锐角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝eq\r(2)e4sin(4＋eq\f(π,4))<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y＝xsinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为()\f(π2,2) B．π2C．2π2 \f(1,2)(2＋π)2[答案]A[解析]曲线y＝xsinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为eq\f(π2,2).9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2022(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期，∴f2022(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)为常数C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)为常数[答案]B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．二、填空题11．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，则a＝________，b＝________.[答案]0－1[解析]f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－bcos0＝1,\f(2π,3)a－bcos\f(π,3)＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,a＝0)).12．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________．[答案](－1,3)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.13．曲线y＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线的斜率为______．[答案]－eq\f(\r(3),2)[解析]∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切线斜率k＝y′|x＝eq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).14．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．[答案]f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1[解析]由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－eq\f(5,2)，b＝－eq\f(1,2)e，故f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))；(2)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).[解析](1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3)；(3)∵y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(x,4)＋cos2\f(x,4)))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝1－eq\f(1,2)·eq\f(1－cosx,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx；(4)∵y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq\f((1＋\r(x))2,1－x)＋eq\f((1－\r(x))2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－4(1－x)′,(1－x)2)＝eq\f(4,(1－x)2).16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．[解析]设l与C1相切于点P(x1，xeq\o\al(2,1))，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1).①对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋xeq\o\al(2,2)－4. ②∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.18．求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x[解析](1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(1)＝3a＋2b＝－3,f′(2)＝12a＋4b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)