重积分华南理工大学高数模版(共35张PPT)

三重积分的概念三重积分的计算3三重积分的概念与计算是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个1.三重积分的定义将闭区域Ω恣意分成n个小闭区域其中并作和作乘积①②③④有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点一、三重积分的概念记为函数趋于零时这和的极限总存在,那么称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.即体积元素二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为三重积分投影法如图,闭区域面上的投影为闭区域D,过点作直线,解化三重积分为三次积分,例所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面得交线投影区域解例计算三重积分其中V是长方体例求解的原函数不是初等函数,应先x对积分一定要交换积分次序.三重积分截面法(红色部分)截面法的普通步骤(1)投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算单积分截面法(先二后一法)解计算三重积分例原式=规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为那么这样的三个数2、在柱面坐标系下计算三重积分柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为柱面坐标系中的体积元素为在柱面坐标系中,如图,得小柱体即(红色部分).假设以三坐标面分割空间区域注通常是先积再积后积解例所围成.积分域用柱坐标表示为原式其中Ω由柱面解例所围成.积分域用柱坐标表示为原式其中Ω由半圆柱面补充三重积分对称性质那么称f关于变量z的奇函数.(1)关于坐标面的上半部区域.(偶)三重积分(property)那么称f关于变量z的奇函数.趋于零时这和的极限总存在,球面坐标与直角坐标的关系为记投影向量与x轴正方向的直角坐标系下的体积元素为是空间有界闭区域Ω上的面上的投影P的极坐标为2、在柱面坐标系下计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为在直角坐标系下计算三重积分假设以三坐标面分割空间区域趋于零时这和的极限总存在,直角坐标系下的体积元素为设M(x,y,z)为空间内一点,设M(x,y,z)为空间内一点,或而得结果为零.例0那么三重积分C那么()成立.三重积分记投影向量与x轴正方向的规定正方向间的夹角为偏转角为球面坐标.称为点M的设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,3、在球面坐标系下计算三重积分球面坐标系中的三坐标面分别为原点为心的球面；过z轴的半平面．球面坐标与直角坐标的关系为原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；球面坐标系中的体积元素为如积分域Ω为球域(如图).那么解采用例由锥面和球面围成,所围成的立体体积.球面坐标求曲面与设被积函数在区域D上延续,假设变换满足如下条件:例解所围成的闭区域.其中Ω为椭圆面作广义球坐标变换解法一采用例所围的立体.球面坐标球面坐标系中的三坐标面分别为求曲面与柱面坐标系中的体积元素为如当各小闭区域直径中的最大值设M(x,y,z)为空间内一点,原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；求曲面与趋于零时这和的极限总存在,设M(x,y,z)为空间内一点,球面坐标与直角坐标的关系为直角坐标系下的体积元素为