江西财经大学微积分试卷及答案

第第页共6页Az.已知方程xz+Iny=Inx确定函数z=f(x,y)，则一=.Ay.已知f(x)=sinx，则Jf(x)dx=.Jaarctanxdx.若lim—0=1,则Ua=.TOC\o"1-5"\h\zx-0x2.J”xe-xdx=.05若e=£上，则级数X出1=.n!n!n=0n=2.交换二次积分次序J1dyJyf(x,y)dx+J2dyJ2-yf(x,y)dx=.0010.A2(x2-3x+1)=.三、求下列积分(请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共18分.)J—.•dx2.J—l^^^^^^dx3.Jiarctanxdx.x<x—10。4—x20四、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)A2Z设函数z=f(x+y,xsiny)，求dz和.AxAy五、(请写出主要计算步骤及结果，6分.)求由曲线y=x2，直线y=2x所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕y轴旋转所形成的立体的体积.六、(请写出主要计算步骤及结果，6分.)求JJ(x-x2-y2)do，其中D:x2+y2<1.D七、判断级数的敛散性，如收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.)£(-1)n-12n2,£上,n2nn+1n=1n=1八、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)求幂级数£4(x+1)n的收敛半径，收敛区间及和函数.enn=1九、经济应用题(请写出主要计算步骤及结果，8分.)某产品的产量Q与原材料甲，乙，丙的数量x,y,z(单位均为吨)满足

Q=0.05qz，已知甲，乙，丙的价格分别为3,2,4(单位为百元)，若用5400元购买甲，乙，丙三种原材料，问购买量分别是多少，可使产量最大.十、证明题(请写出推理步骤及结果，6分.)设函数f(x)是连续函数，证明：⑴f二、填空题(每小题2分，共14分.)1.--2.-sinx+cx+c3.士\24.1xy*12af(x二、填空题(每小题2分，共14分.)1.--2.-sinx+cx+c3.士\24.1xy*12(2)(fbf(x)dx)2<(b一a)fbf2(x)dx.aa=21-1-dt1=21-1-dt1+12=2arctant+cMl川IIH出分)=2arctan、、:'x-1+c（6分）22x222x27x=2sint工2dx=20<4-x20/Ir4sin212C0S7.2costdthJ兀.24sin2tdt0（2分）TOC\o"1-5"\h\z=2f2（1-cos21）dt（4分）0=2（t--sin21）2=冗（6分）203.J1arctanxdx=xarctanx1-J1—x_dx(2分)0001+X2兀1ln(1+x2)i(4分)420,1=—――ln2(6分)42HUHIII四、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)dz一=f(x+y,xsiny)+f(x+y,xsiny)•siny(2分)ax12=f'(x+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)•(xcosy)(4分)azazdz=—dx+—dy=[f(x

axayi+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)•sind]dx2+[f，(x+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)•(xcosy)]dy(6分)12=f"(x+y,xsiny)+xcosyf”(x+y,xsiny)+f”(x+y,xsiny)•siny111221+xcosysinyf"(x+y,xsiny)+cosyf'(x+y,xsiny)

222五、(请写出主要计算步骤及结果，6分.)2n、，,1、4s=J2(2x-x2)dx=(x2-3x3)2=3(3分)I=/4((%/y)2-(y)2)dy=K(-2y2-^3”=|兀y0六、(请写出主要计算步骤及结果，6分.)(6分)JJ(x-x2-y2)doD=J2兀d0J1(rcos0-r2)rdr00r3cos0-—r4)411dB0(4分)42俗分)七、(请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.)1.因为limLnf8un=limnf8(-1)n-1k(n+1)22n(-1)n-1_n2(3分)(6分)所以£(-1)n-121(6分)n2n=1(-1)n-12.因为limnth=1,0<1<+s.nfsv'n而r发散，所以£nn而r发散，所以£nnn=1n=1(-1)n-1nn+1发散。(3分)£音是交错级数，且满足蜀鲁)曲?了胃=0n=1所以£所以£w收敛，且为条件收敛。n=1(6分)八、(请写出主要计算步骤及结果，8分宿“I设t=x+1,则£(-1)n_(±±上=£n=1enn=1,t、tn(-1)n一enR=limnfsa

n-an+1=limnfs(3分)en+1当t=e，级数£(-1)n巴=£(-1)n发散n=1enn=1当t=-e,级数£(-1)n=1&=£1发散enn=1收敛区间为-1-e<x<-1+e(6分)且£(-1)nn=1(x+1)nen九、经济应用题(请写出主要计算步骤及结果，8分.)(2分)拉格朗日函数为L(x,y,z,入)=0.05xyz+入(3x+2y+4z-(2分)L(x,y,z,九)=0.05yz+31=0xL(x,y,z,1)=0.05xz+21=0由\_y,一…八L(x,y,z,1)=0.05xy+41=0zL;(x,y,z,1)=3x+2y+4z-54=01(5分)解得唯一驻点：x=6,y=9,z=4.5(7分)11“1所以购买量分别是6,9,4.5吨时，可使产量最大.(8分)十、证明题(请写出推理步骤及结果，6分.)⑴J*2fl/(x)dx=Jaf(x)dx+f2af(x)dx00aJ2af(x)dxx==~t-J0f(2a-1)dt=Jaf(2a一x)dxana0.J=Jaf(x)dx+Jaf(2a—x)dx=Ja[f(x)+f(2a-x)]dx.(3分)0000(2)设D={(x,y)a<x<b,a<y<b})dbf(x)dx)2=Jbf(x)dx-Jbf(x)dx=Jbf(x)dx」bf(y)dy“1”川1II=JJf(x)f(y)dxdy<2JJ[f2(xHf2(y)]dxdyDD=—JJf2(x)dxdy+—JJf2(y)dxdy22Df2(x)dxJbdy+—Jbf2(y)dyJbdxa2aa(b-a)b(b-a)b=Jf2(x)dx+Jf2(y)dy2a2a=(b-a)Jbf2(x)dxa.二(Jbf(x)d