理科数学不等式、含有绝对值

第1讲不等式、含有 考纲

知识梳理定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ 当ab≥0 R①|ax＋b|≤c⇔ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求现了数形结合的法二：利用“零点分段法”求法三：通过构造函数，利用函数的图象求现了函数与方 解析数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为答案设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号 解析∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④答案 解析x≤44＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．答案{x|x＜5}4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则 5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围 解析∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式考点一含绝对值不等式的解法解法一如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式法二原不等式

x≥2法三将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

∴原不等式的解集为规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)法：(1)分段讨：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图【训练1】解不等式 x＜－3

＜2

1得

综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 解法一因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点即若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故若不等式的解集为R，即不等式恒成若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即由规律方法本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立【训练2设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为此不等式化为不等式组

或 即 或

a因为a>0，所以不等式组的解集为xx≤－2 2由题设可得＝－1，故2考点三含绝对值的不等式的应a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集 a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值 围(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为 2－5x，x＜2则 所以原不等式的解集是 (2)x∈ x≥a－2x∈ —从而实数a的取值范围是 1， 规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的 (1)a＝－3x≤2f(x)≥3得－2x＋5≥3x≤1；2<x<3时，f(x)≥3无解；x≥3f(x)≥3f(x)≥3的解集为{x|x≤1当x∈[1,2]222a[审题视点

Aa利用条件2∈，解 1∵2∈

＜a≤

又当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时等号成立．f(x)3.[感悟]1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥aa实数a的取