广告费用与销售价格调整程序设计

数学建模实践页摘要在本次课程设计中，我的课程设计题目是四道题。第一道题目里的第一个问号是用Matlab编写函数，根据人为设定的n，函数可以任意展开，并且在Matlab运行界面显示的是展开的多项式。第二个问号里要求在任意设定的n阶下，带入自变量的值，然后求出的麦克劳林展式的函数值。第三个问号里要求我们通过画图对的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及作比较。在题中已经给定画图区间，在这个区间内画出图形，进行比较。第二道题目中，给出了一个Excel表格，里面有无变位进油量表和无变量出油量表。我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的，题中就把这种关系式给了我们，，式中的一些参量已经给出，编写这个式子的程序即可。带入不同的高度可以输出不同的体积。接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据，计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)。我们可以先把体积数据保存在Matlab中，然后用表中已经给了的高度带入V(h)，这时可以求出一系列的体积，然后与真实值进行作差，得到的数据即为误差。再次用多项式拟合确定误差函数WC(h)表达式。最后，用误差函数WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。第三道题目是评卷成绩调整程序设计，题目中给出了一些学生的由不同专家给出的阅卷成绩。要求先求出每一个学生由不同专家给出的成绩的平均值，然后求出标准差。再求出第j个专家给出成绩的平均值，然后求出标准差。调整后的成绩为。形成调整后的成绩矩阵，则的平均值就是第i个学生的最后综合成绩。而是综合成绩向量，依此确定学生获奖情况。由此最后求出的列向量确定1名特等奖，1名一等奖，2名二等奖；3名三等奖。第四题是一个广告模型，某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。为了可以很快的收益并且收回大量的资金，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。李经理认为，随彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表格2，随着销售价格的增加，销售量下降。他问王经理广告有多大的效应。王经理说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。通过表格3可知，随着广告费用的升高，销售因子先上升后下降。问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大。 关键词：拟合函数；误差分析；调整矩阵；利益最大化正文1题目一1.1问题重述第一个问号是用Matlab编写函数，根据人为设定的n，函数可以任意展开，并且在Matlab运行界面显示的是展开的多项式。第二个问号里要求在任意设定的n阶下，带入自变量的值，然后求出的麦克劳林展式的函数值。第三个问号里要求我们通过画图对的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及作比较。在题中已经给定画图区间，在这个区间内画出图形，进行比较。1.2问题求解（1）根据数学分析课程中学到的麦克劳林展开的定义，可知=（）（1）（）（2）（）（3）有了公式（1）（2）（3）就可以对编程进行麦克劳林展开，把、用Matlab语言进行编辑，然后作差即得得麦克劳林展式。（2）再上一个问号中已经把麦克劳林展式求出来，在第二个程序中只需把任意自变量值代入求函数值。把Matlab中M文件的函数名由functionTx=myfun1(n)改为functionTx=myfun2(x,n)，输入任意的x和n就可以求出任意阶展式的任意函数值。（3）第三个问号是画图比较，x的区间已经给出，用plot命令可以直接画出图形调用格式为a(k)=log((1-x(k))/(1+x(k)));plot(x,a,'*')。画用麦克劳林展开的式子调用格式为Tn(k)=myfun2(x(k),n);plot(x,Tn,'*')。画图形的调用格式为y(k)=a(k)-Tn(k);plot(x,y,'*')。为了更直观的观察图形之间的关系和差距，最后把三个图形画到同一个图形中，可以用subplot(m,n,p)命令把四个画到同一图中，分为四个小子图，m，n为画几乘几的子图，p为第几个图。1.3题目结果（1）第一个问号的运行结果，n=10时的的麦克劳林展式。图1.3.1（2）第一个问号运行结果，x=10，n=2时的麦克劳林展式的函数值。图1.3.2（3）第三个问号运行结果，取n=1时的、麦克劳林展开式、以及同时在一个图形时的图形。图1.3.32题目二2.1问题重述第二道题目中，给出了一个Excel表格，里面有无变位进油量表和无变量出油量表。我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的，题中就把这种V与h的大致关系式给了我们：，式中的一些参量已经给出，a=17.8/2、b=12/2、L1=0.4、L2=2.05，编写这个式子的程序即可。带入不同的高度可以输出不同的体积。接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据，计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)。我们可以先把体积数据保存在Matlab中，然后用表中已经给了的高度带入V(h)，这时可以求出一系列的体积，然后与真实值进行作差，得到的数据即为误差。再次用多项式拟合确定误差函数WC(h)表达式。最后，用误差函数WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。2.2问题求解（1）第一个问号中要求编辑计算体积的公式的函数M文件。根据题目中给出的a、b、L1、L2的值以及公式V(h)进行编辑。程序为：functionVh=myfun4(h)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh=a*b*(L1+L2)*[asin((h-b)/b)+((h-b)/b)*sqrt(1-(h-b)^2/b^2)+pi/2]*10;（2）要求根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)，并用多项式进行拟合。误差值=|真实值-公式求解的函数值|（4）所以我用以下M文件进行求解误差，此M文件可以求解每一个进油高度所对应的误差。functionmyfun5(X1,X2)forl=1:length(X1)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh(l)=a*b*(L1+L2)*[asin((X1(l)-b)/b)+((X1(l)-b)/b)*sqrt(1-(X1(l)-b)^2/b^2)+pi/2]*10;a(l)=abs(X2(l)+262-Vh(l));disp(a(l))end根据高度和误差进行曲线拟合，拟合命令为：x=X1’;y=Y’;plot(x,y,’*’)polyfit(x,y,n)holdonfplot(‘fx’,[0,12],’r’)我分别对曲线进行了二次，三次，四次，五次拟合，得到以下拟合曲线：二次拟合曲线：图2.2.1三次拟合曲线：图2.2.2四次拟合曲线：图2.2.3五次拟合曲线：图2.2.4由以上曲线拟合可知：进行三次和四次多项式拟合的曲线较好，更贴合原图。（3）用误差WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。把编辑的M文件的求误差的语句中的绝对值去掉后，误差都为负值，所以应在V(h)后减去WC(h)，所以，调整后的V(h)=V(h)-WC(h)。分别用三次多项和四次多项式进行求解误差。2.3题目结果（1）h取10分米时的结果：图2.3.1（2）求解的误差值：图2.3.2图2.3.3三次拟合出来的曲线为：WC(h)=-0.084*+1.5065*+5.8216*-1.7108四次拟合出来的曲线为：WC(h)=-0.0025*-0.0167*+0.8876*+8.0826*-4.3828（3）用三次多项式拟合出的WC(h)调整的结果：图2.3.4用三次多项式拟合出的WC(h)图形：图2.3.5用四次多项式拟合出的WC(h)调整的结果：图2.3.6用四次多项式拟合出的WC(h)图形：图2.3.73题目三3.1问题重述第三道题目是评卷成绩调整程序设计，题目中给出了一些学生的由不同专家给出的阅卷成绩。要求先求出每一个学生由不同专家给出的成绩的平均值，然后求出标准差。再求出第j个专家给出成绩的平均值，然后求出标准差。调整后的成绩为。形成调整后的成绩矩阵，则的平均值就是第i个学生的最后综合成绩。而是综合成绩向量，依此确定学生获奖情况。由此确定1个特等奖，1个一等奖，2个二等奖；3个三等奖。3.2问题求解这道题目就是对矩阵进行变换，根据矩阵求出要求解出的数值。如每个学生由不同的专家评卷得出的成绩的平均值，每个学生成绩的标准差。每个专家对不同学生评卷成绩的平均值，每个专家评卷成绩的标准差。求出这些必要的数值后，根据题中所给的公式求出Y矩阵，把矩阵的每一行在作和求平均值，最后得到一个列向量，列向量的每一行就为最后评定学生成绩的标准，再对这个列向量的每一行的数值进行有大到小的排列，由此最后求出的列向量就可以得出得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的人。标准差的求解公式为：（5）平均值的求解公式为：（6）求解每个学生成绩的平均值：B=A(:,1);fori=2:4B=B+A(:,i);endB=B/4;求解每个学生成绩的标准差：forj=1:4D(:,j)=(A(:,j)-B).^2;endF=0;forl=1:4F=F+D(:,l);endF=sqrt(F/4);求解每位专家评卷成绩的平均值：C=A(1,:);forj=2:17C=C+A(j,:);endC=C/17;求解每位专家评卷成绩的标准差：fork=1:17E(k,:)=(A(k,:)-C).^2./17;endG=0;forq=1:17G=G+E(q,:);endG=sqrt(G/17);求解最后的公式：forp=1:4H(:,p)=(A(:,p)-C(p))./G(p).*F+B;endI=0;forn=1:4I=I+H(:,n);endI=I./4;对最后求出的列向量进行排列并输出学生号：a=size(I);a=a(1);forh=1:aJ(h,1)=h;endforw=1:16fors=w:17ifI(w)<I(s)t=I(w);I(w)=I(s);I(s)=t;z=J(w);J(w)=J(s);J(s)=z;endendend3.3题目结果（1）每个学生由不同的专家评卷得出的成绩的平均值，每个学生成绩的标准差。每个专家对不同学生评卷成绩的平均值，每个专家评卷成绩的标准差。学生1234567889.2588.7587.586.5083.7583.7581.2580.009101112131415161777.5067.5067.5067.5060.0056.0056.2555.0052.50表3.3.1学生123456786.05705.44862.50004.14589.60146.49527.39516.12379101112131415161710.307812.99045.59025.59027.70116.49526.49525.00004.3301表3.3.2专家123479.411873.823568.823569.8235专家12343.08143.12733.41813.9585表3.3.3（2）最后求出经过排序的综合成绩向量。学6332115.6118114.0837104.7201102.162598.890397.924992.71039111210131617141591.642358.569958.479847.861233.286728.456626.051224.403924.4039表3.3.4所以得到特等奖的学生为学生1，得到一等奖的学生为学生5，得到二等奖的学生为学生2和学生6，得到三等奖的学生为学生4，学生7，学生3。4题目四4.1问题重述第四题是一个广告模型，某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。为了可以很快的收益并且收回大量的资金，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。李经理认为，随彩漆售价的提高，预期销售量将随之减少，并对此进行了估算，销售价格与销售量之间的关系见表格2：售价2.002.503.003.504.004.505.005.506.00预期销售量（千桶）413834322928252220表表2售价与预期销售量通过表格2知道，销售量随着销售价格的增加而减少。他问王经理广告有多大的效应。王经理说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这有销售因子决定，如投入的广告费用为20000元时，销售量将为原销售量的1.7倍。广告费用与销售增长因子的关系见表格3：广告费（元）010000200003000040000500006000070000销售增长因子1.001.401.701.851.952.001.951.80表表3广告费与销售增长因子通过表格3可知，随着广告费用的升高，销售因子先上升后下降。问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大。4.2问题求解根据题中所给要求可知，此题为一个应用线性规划求解的题目，所以应使用Lingo软件进行解题。题中问如何确定彩漆的售价和使用的广告费用，才能使公司获得的利益最大，根据这个要求可以写出目标函数。设x为广告费用，则销售增长因子为，y为彩漆售价，则为预期销售量。根据表格中所给的数据可以拟合出和的曲线。拟合出来的=-0.0426*x^2+0.4092*x+1.0288（这里的x以万元为单位），=-5.1333*x+50.4222（这里的以千桶为单位）。销售利润=销售量*销售因子*销售价格-广告费用(7)目标函数为：max=(-5.1333*y+50.4222)*1000*(-0.0426*x^2+0.4096*x+0.0188)*y-x*10000;因此只要求出这个目标函数的最大值就是利益最大组合。下面是拟合的和的图像，根据图像可知，拟合出的函数与实际数值有很好的相近关系，所以可以用这两个函数拟合表格中的数据。图4.2.1图4.2.2应用Lingo求解：图4.2.3在此模型求解中，我假设广告费用x可以在0元到70000元中任意取值，销售价格可以在2元到6元中任意取值，在由线性规划求解后的值向整数靠近，此时求得的目标函数的值为线性规划中与现实情况比较接近的解。4.3题目结果由Lingo软件解得的结果为：图4.3.1由线性规划后的结果可知：在广告费用x=3.859588万元，销售价格y=4.911285元时，此时的目标函数值最大：max=(-5.1333*y+50.4222)*1000*(-0.0426*x^2+0.4096*x+0.0188)*y-x*10000=80901.71元所以我们取广告费用x=4万元，销售价格y=5元，则此时公司获得的利润最大。最大的利润为80758元。参考文献[1]王正东,数学软件与数学实验.北京:科学出版社,2004[2]刘玉璉,傅沛仁等,数学分析讲义.北京.高等教育出版社,2008[3]吴建国,数学建模案例精编.北京:中国水利水电出版社,2005源程序1题目一（1）functionTx=myfun1(n)symsxfx=1;fork=1:nfx=fx+(-1)^(2*k-1)*x^k/k;%x存在的区间为endgx=1;forl=1:ngx=gx+(-1)^(l-1)*x^l/l;%x存在的区间为endTx=fx-gx;(2)functionTx=myfun2(x,n)fx=1;fork=1:nfx=fx+(-1)^(2*k-1)*x^k/k;%x存在的区间为endgx=1;forl=1:ngx=gx+(-1)^(l-1)*x^l/l;%x存在的区间为endTx=fx-gx;(3)functionmyfun3(n)x=linspace(-2/3,2/3,50);fork=1:length(x)Tn(k)=myfun2(x(k),n);a(k)=log((1-x(k))/(1+x(k)));y(k)=a(k)-Tn(k);endsubplot(2,2,1);plot(x,a,'*')title('ln((1-x)/(1+x))')subplot(2,2,2);plot(x,Tn,'*')title('麦克劳林展式')subplot(2,2,3);plot(x,y,'*')title('作差图')subplot(2,2,4);plot(x,Tn,'r',x,a,'b',x,y,'g')2题目二（1）functionVh=myfun4(h)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh=a*b*(L1+L2)*[asin((h-b)/b)+((h-b)/b)*sqrt(1-(h-b)^2/b^2)+pi/2]*10;（2）functionmyfun5(X1,X2)forl=1:length(X1)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh(l)=a*b*(L1+L2)*[asin((X1(l)-b)/b)+((X1(l)-b)/b)*sqrt(1-(X1(l)-b)^2/b^2)+pi/2]*10;a(l)=abs(X2(l)+262-Vh(l));disp(a(l))end数据1：X1=[159.02176.14192.59208.50223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.40462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.90546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.70764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866.00879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.80978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.361193.49]./100数据2：X2=[5010015020025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.832103.832105.062155.062205.062255.062305.062355.062404.982406.832456.832506.832556.832606.832656.832706.832756.832806.832856.832906.832906.912956.913006.913056.913106.913156.913206.913256.913306.913356.913406.913456.913506.913556.913606.913656.913706.91]数据3：Y=[10.882612.633014.364916.131817.851919.605821.352023.081024.846826.577728.328830.056131.802333.542335.297137.054838.808140.554142.293944.031745.774947.491449.235450.978952.737654.486056.242557.983659.729761.458963.192964.954366.679068.433570.197871.951473.674175.432677.162778.886980.670380.775182.541082.561284.335386.054987.823889.531191.277593.030193.109894.834596.589398.3393100.0883101.8369103.5815105.3144107.0620108.8044110.5536110.5498112.2694114.0274115.7643117.5153119.2572121.0106122.7597124.5085126.2281127.9808129.7393131.4753133.2285134.9532136.7038138.4521]（3）functionmyfun7(X3,X4)fork=1:length(X3)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh(k)=a*b*(L1+L2)*[asin((X3(k)-b)/b)+((X3(k)-b)/b)*sqrt(1-(X3(k)-b)^2/b^2)+pi/2]*10;Wc(k)=-0.084*X3(k)^3+1.5065*X3(k)^2+5.8216*X3(k)-1.7108;b(k)=abs(X4(k)-Vh(k)+Wc(k)+262);disp(b(k));endfunctionmyfun9(X3,X4)form=1:length(X3)a=17.8/2;b=12/2;L1=0.4;L2=2.05;Vh(m)=a*b*(L1+L2)*[asin((X3(m)-b)/b)+((X3(m)-b)/b)*sqrt(1-(X3(m)-b)^2/b^2)+pi/2]*10;Wc(m)=-0.0025*X3(m)^4-0.0167*X3(m)^3+0.8876*X3(m)^2+8.0826*X3(m)-4.3828;c(m)=abs(X4(m)-Vh(m)+Wc(m)+262);disp(c(m));end数据1：X3=[1150.721123.991101.151080.511061.361043.291026.081009.54993.57978.08962.99948.26933.84919.69905.78892.10878.61865.30852.15839.14826.27813.52800.87788.33775.88763.51751.21738.98726.81714.70702.64690.61678.63666.68654.75642.84630.96619.08607.21595.35583.48571.61559.72547.82535.90523.95511.97499.96487.90475.80463.65451.43439.15426.80414.36401.84389.22376.49363.64350.67337.55324.27310.82297.18283.33269.24254.88240.21225.21209.81193.94177.54160.48142.62]./100数据2：X4=3706.91-[52.72102.72152.72202.72252.72302.72352.72402.72452.72502.72552.72602.72652.72702.72752.72802.72852.72902.72952.721002.721052.721102.721152.721202.721252.721302.721352.721402.721452.721502.721552.721602.721652.721702.721752.721802.721852.721902.721952.722002.722052.722102.722152.722202.722252.722302.722352.722402.722452.722502.722552.722602.722652.722702.722752.722802.722852.722902.722952.723002.723052.723102.723152.723202.723252.723302.723352.723402.723452.723502.723552.723602.723652.723702.72]3题目三function[I,J]=myfun8(A)B=A(:,1);fori=2:4B=B+A(:,i);endB=B/4;forj=1:4D(:,j)=(A(:,j)-B).^2;endF=0;forl=1