现控课件-现代控制理论第2章

第2 控制系统状态空间表达式的线性定常齐次状态方程的解(自由矩阵指数函数——状态转移矩线性定常系统非齐次方程的线性时变系统的离散时间系统状态方程的连续时间状态空间表达式的离散线性定常齐次状态方程的解(自由若初始时刻时的状态给定为则式(1)有唯一确定解(2)若初始时刻从开始，即则其解为 (3)证 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的 为的矢

在式(4)中，令，可得将以上结果代入式(4)，故得 于是式(6)可表示为再 代 即在代 的情况下，同样可以证明式(的正确性矩阵指数函数——状态转移矩状态转移矩状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性性质 (1)这就是组合性质，它意味着 转移到0，再从0转移 的组合即性质 (2)性质 (3)性质 这个性质说明 矩阵与A矩阵是可以交换的性质对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA时，则这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各自的矩阵指数数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的几个特殊的矩阵指数函A为对角线矩阵，则若A能够通过非奇异变换予以对角线化，则A为约旦矩则若的计根 的定义直接计变换A为约（1）A特征根互其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有(10)证 齐次微分方故对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解应用凯莱—哈密顿定理它是的线性组合同以此类推，都可 线性表示(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的冥次项即（11） 的计算公A的特征值互异时， 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和A是 上式对求解，记得式（12）A的特征值均相同，为时，证 同上，上式对再对求异数，有：由上面的n个方程， 线性定常系统非齐次方程的 当初始时刻初始状态时，其解为式中

当初始时刻 ，初始状态 时，其解为式中

证 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成等式两边同左乘，得：整理后可得式同理，若对式（4） 上积分，即可证明式（3）式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）即 （5）以此代入式（5），并取拉氏反变换，即 即 即当即

仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数， 于是式(2)

遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关 是齐次方程的解，那么

把式(7)两边左乘有比较式(8)和式(9)

类似于前述线性定常系统中的， 证 即又在解式(12)中令，有： 齐次微分方程(11)状态转移矩 基本性且

故式(15)2），见式（14） 或 是非奇异阵，其逆存在，且等于。4）见式（13）在这里，一般是不能交换的且的元素在时间区间内分段连续，则其解为（18） 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态 代入式(17)即在t。～t区间积分，有， ，并注意到中可知这，在定常系统中，齐次状态方程的解是A式中 ，只 有关在时变系统中，齐次状态方程的解，一般的表示为前已证明，只有 是可交换时，对于不满足式(20)的时变系统，的计算，一般采用级数近这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)(14)2.52.5

或即Z

Z变换法来求解。Z或Z对式2)和式(3)

为了突出地表示f的有效期在，可以(这里0≤△≤1)于是上式变成显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△的值0和1将式(2)和式(3)连续时间状态空间表达式的离散

CD则仍与式(1)

T较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，

证 根据导数的定义现讨 这一段的导数，有以此代入中，整理后，即得式(5)

区段内的状态转移