微积分第一章课外习题参考答案

微积分课外习题参考答第一限与连预备知识(1-

一.1.x

x3且

0}

|

x

(2k

1),k

Z

x ,,

x1

x. x

ex1

ex11x,

1

x, 0

x.1

lnx, x

yu2,u

arcsinv,vxx2x(2)

yeu,u

arctanv,v 6.2x, 0

x

7.lnx,x0x2 2x

(x)

x33x(3)

2,(2)

1,(1) 222(1) 2 2

二

1

R2h

h2r

,h

2r 3(h

2r三

1[g(x)]

xx1 x |x|g[

(x)]

|x|

注意作图形. |

五 证

f(x)

loga(x

x21)

log(x

x21)x21x21

(x).§1.1,§1.2数列极限(3- 一.填空题(1)

n

.(2)

2n1 2n3(1) (2)0 (3)2 (4)1(5)不存在 (6)不存在||a|Un

a|n可知lim|nn

||a|例 取Un(1),nlim|

|1但limU不存在nnxnn.p4.3.证明 {xn}有界,.

0,使得|xn

M,

limnnn

0,N,当n

N时|yn|

,从而,当n

N时|xn

||xn

yn

n

xn

4.证明:>0

n

x2k

A,N1k

N1,

2k

2N1时

x2k

A|同理

n

x2k1

A,N2k

N2

1

2N2+1时

x2k

A|N

max{2N1,2N2

n

N时,|xn

A

,lim nnnp4.5.(a)不存在

若limn

yn)存在,nlimnnn

yn)

xn]存在 n不一定;例:n不一定

(1)n,

(1)n1.

n, 1;(2) n2, 1 n(d)不一定.例:xnn

1, 1 §1.3- 函数的极限(5-

二.

设

|x

1,

x10

f(x)

1,

f(x)

f(x)

x10x10f

x10

f(x)

x1

fx)不存在三x0

f(x)

1limx)不存在x0

xnx

2n,ny(x(1))n

cos

),y

x

x在

)上无界(2)

(x取nx取

,2

(xnx

,y(x(2))(2n)cos(2n) 当

时y

x

x不是无穷大无穷大

,

五.证明

(1)xnx

)2x(1)xnnn

)

y(x(1))

limsin

x取(x取n

)22x(xn

),

y(x(2))

2

nlimsinnx

x不存在§1.5-§1.6极限运算法则,(7-一填空题1.1 2.2 3.0 4.2 5.cosa6.3 7.2

x

e2

ek(k

N) 11.0 12.二.计算题

lim13

24

35

1(n1)(nx (n1)(n

f(00)

x

x0 f(00)

x0

x2x

f(00)

f(0

0),极限不存在x(1a)x2(ab)xx(1a)x2(ab)xbx

abb0 abb0 p8.

t

2|sin2|sint2t00t21cos不存在xlimxlim

2

lim2arctanx2(

)x lim2

x不存在x 三.1.证明2 2n2 n(n2n22

nn2 n

nn2

lim n2

) 2.证明:

x122x122

0,设xn

0,2xn2

22根据数学归纳法原理,{xn}为22(2)

x1

2,设

2,,xn1,

22根据数学22

2,

(接上页 {xn}为单调增加有界序列 n

xn存在n设lim nnnlim n

A,由xn ,222 A

2A,A

2,

1(舍去n lim nn§1.7无穷小的比较(9-一 1.高阶

等价 3.xsin sinxn

, nxn

nmx0

(sinx)

x0

n 5.a

1 6.a

1 7.a

2 p9.二.证明

limarctanxlimarctanx0x

x

utan

lim1

cos

2sin22

xx0 x2

x

1x22

x,1

cos

1x2 (2

p10.三 x0

tan3sin2

32x

x2(1

1)x

limx2x

2x2

12ln(1

sin2

x) sin2x0

x(ex

x0 x2

tan

sinx0 x3

x(1

cosx)1x0 x3 2 lim(ex

1)

limx

x2cos2lim1

cos

(x

(x2sin2(1x) lim (x §1.8函数的连续性(11-一.1.(3),(3,2),(2,

18,2.2

3.2 4.1

二

fx)在

1处不连续

x)在

1处不连续.( ,,

f(x)

x20

f(x)x

为

x的可去间断点x2为

x的无穷间断点.在x

1处补充定义

则可使

x)在

1处连续 x0

f(x)

limsinx0

xsinx

x

0为

(x在x

0处补充定义

(0)则可使

x)在

0处连续 |x|

f(x) |x| |x|五 x

xln(1

1)x

limxx

x0

3tan2

x)cot2 lim(1x0

3tan2

x)3tan2

e3§1.9闭区间上的连续函数(13-一.证明

f(0)

f(00)

f(0)

f(0)

2ff(0)

fx)在

0连续 x0

f(x)

f(0)于是

(,),

f(

x)

f(x0)]

x0

f(x)fx)在x0处连续,而

(,)是任意的fx)在(,)上连续

二.证明:作函数Fx)

f(x)

g(x),则Fx)在[a,b]上连续,且F(a)F(b)

f(a)f(b)

g(a)g(b)由闭区间上连续函数的零点定理,存在(a,b),使得F()即f(g(

三.1.证明令

(x)

x33

则fx)在[12]上连续,f

3

f

1由闭区间上连续函数的零点定理存在

(12),使得

()

0,33

三.2.证明

f(x)

xasin

fx)在[0,a

b]上连续,f

b

f

b)

sin(a

b)]f

b)

0,

ab

fx)的一个零f

b)

0,则

(0,a

b

f()综上所述,

(0,a

b],

f()

三.3.证明:设

f(xi)|1

m

f(xi)|1

m

f(xi)n

M,1

nm

i

f(xi)

nM1nm ni

f(xi)Mfx)在x1xn]上连续

x1xn],

f()

nnin

f(xi习题课(15--一.2.(1)必要,充分;(2)充要 x

|x|e

x

,0,0,第二类

ln akaknn

Amax(a1,a2

nnaklimnnn limnnnn

Amax(a1,a2例如

limnn

三由导数定义知ex

ex

x)

cos26

3x2

x1 3.解:原式

x

3x2

]3x2 e1 4.解:原式

x

x2ax1[ax(

x2ax1 ln

lna.x

x(x

f(1

h)

f(1)

e(1h)1

h00

f(1

h)h

f

h)h

f(1

h)h

f

五.证明令Fx)

f(x)

f(

a),Fx)在[0,a]上连续,且F(0)

f(0)

f(a),F(a)

f(a)

f(2a)

f(a)

f若F(0)

0,

f(0)

f(a);若F(0)

0,

F(0)F(a)

0,由闭区间上连续函数的零点定理,

(0,a),使得F(

0,f()

f

综上所述,方程一个根.

f(x)

f(

a)在[0,a]

六.证明 xa0

f(

xb0

f(

x1

(a,

(

b,b),2f(x1)0,f(x2)f(x)f(x)

x2]上连续由闭区间上连续函数的零点定(x1,x2)

(a,b),

f()

0,这就明了f(x)在(a,b内有零点习题课(课外作业)(17-一.奇;有界;可能有界也可

二

f(

(

1x2;2(

2

x(2)解

f(00)

lim[ln(1x0

x)

b]当a

f(00)

x0

xasinx

当a

f(00)

x0

xa

1不存在x当且仅当

0,b

fx)在(1)连续 3.解 f(0)f(0)

x1

x)]1

e1. 4.解

B,

(00)

lim(1x00

Ax x

f(00)

1ln(12x)2,

x00 f(1)

D,

(10)

1ln(12x)1ln31lnx10 f(10)

Dx2

D,D

1ln2当A

R1,

2,D

1ln3时2

fx)在(12)上连续 5.解

x1

0,

1,

1为

(x)的间断点x

0,11时

f(x)

x1x x0

f(

f(x)

0,

1为

(x)的可去间断点x