北京东城区2022年高三数学第一学期期末预测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。共12小题，每小题5，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合A xylgsinx 9x2 ，则f(x)cos2xA的值域为（ ） 3

3

1

2 A．2

B．1,2

C．1,2

D．

2,2

一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合如果圆锥的表面积与半球的表面积相等那么这个圆锥轴截面底角的小是（ ）A．15 B．30 C．D．60f(xcos(2x

)，则下列结论错误的是( )3fxπfx的图象关于点

,0对称fx在上单调递增3 3fxysin2x12

个单位长度得到已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为则V（ ）vA．4 B．8 C．9 D．27ABCDAB//DCAB2DC2AD2EAB的中点，将ADE与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合为点F，则三棱锥FDCE的外接球的体积是（ ） 68 432

23要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻，则不同的排法种数是（ A．84 B．54 C．42 D．18已知复数z2ai是正实数，则实数a的值为( )A．0 B．1 C．1 D．1在平面直角坐标系xOy的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y2x上，则sin

（）2 2 A．4 B．4 C．3 D． 35 5 5 5x2 y2设双曲线

1y2xx24y的焦点相同，则此双曲线的方程为a b（ ）5 5 5 5A．x25y24

B．5y2 x214

C．y25x214

D．5x2 y214yf(xM＝{x|－2≤x≤2}N＝{y|0≤y≤2},yf(x)的图像可能是（）A． B． C．D．

f(x)4sin1x4cos1x

，有下述三个结论：2 3 2 3 ①函数f(x)的一个周期为；2②函数f(x)在

,3上单调递增；2 4③函数f(x)的值域为[4,4 2].其中所有正确结论的编号是（ ）A．①② B．② C．②③ D．③已知i是虚数单位，则 （ ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13ycos2x

个单位后，与函数ysin2x的图象重合，则3 32 ．14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前）班已赛了4场（二）班已赛了3场（三）班已赛了2场（四）班已赛了1场．则目前（五）班经参加比赛的场次为 ．15．若)1，(0,)，则cos ．6 316．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的率依次为0.50.60.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.60.50.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率经过前后两次烧制后合格工艺品的件数为则随机变量的期望为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数fx2xax1aR.（Ⅰ）a1fx1的解集；（Ⅱ）若存在xR满足不等式fx4，求实数a的取值范围.18（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位亿元的影响该公司对历史数据进行对比分析建立了两个函数模① ② 其均为常数，为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令

和年销售额 的数据， ，并对这些数据作了初步处理，，经计算得如下数据：（1）设模型；

和 的相关系数为， 和 的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的（（）根据（）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.0；若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ；②参考数据： ， ， ．19（12分）已知函数f(x)

ax2cosx（aR，f(x)是f(x)的导数.2a1h(xf(xxlnxh(x为h(x.h(x在区间0,存在唯一的极小值点；2 2 2 已知函数yf(2x)3x4在0,2上单调递减，求a的取值范围.20（12分）如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，D、EABAC中点．ABPE；APBE的大小．21（12分2018Ax（百万元）y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）1122.53.53.54.56yx的相关系数ryxr0.75时，可用线性回归方程模型拟合；AAA

，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行1 2 3第二次检测．第一次检测时，三类剂型AA

1合格的概率分别为

4 3，，，第二次检测时，三类剂型AA，1 2 3

2 5 5 1 24 1 2A合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后AA

三类剂型合格的种类数为3 5 2 3

1 2 3XX的数学期望．（）相关系数r

ni1

xynxyi i2in x2nx22i

y2ny ii1

i1 （）

xy347，

x21308，

y293，178542.25．i ii1

i ii1 i122（10分）在ABC中，ABC4

DBCAD5cosADC3.5BD的长；若ABC14AC的长.参考答案125601、A【解析】A0,3fx2sin2x2sinx1，令tg2t21由二次函数的性质即可得值域.【详解】sinx00x39x20

A

，fxcos2x

2sin2x2sinx1

sinxt，

x0,3，tg2t21g在0,1

上递增，在1,1g1,g13

，所以 2

2

2 2 g 3，即fx的值域为 3

2 2 故选A【点睛】2、D【解析】R,进而求得l2R小.【详解】R,则有R2RlR2R2,解得l2R,所以圆锥轴截面底角的余弦值是R1

,底角大小为60.l 2故选：D【点睛】属于基础题3、D【解析】2π由T

Ax

π时，2xπ=π可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C； 12 3 2 π

π ysin2x12cos2x3

x D. 【详解】fxcos2x

π，最小正周期T2ππ，所以Axπ时，3 3 2x

π=π

Bxπ2π2x

ππ,5π，所以C正确；由ysin2x3 2 3 3 3 3的图象向左平移

πysin2x

sin 2x

sin 2x

ππ12

12

6

2 3cos2xD.【点睛】

π33

π π π

D错误.

4、D【解析】设正四面体的棱长为1BCDADPMRtAMN.【详解】设正四面体的棱长为1BCDADPM，则AD 3,AM2AD 3，2 3 3PM PA2AM2 6，3V 1 3 6 2，P

3 4 3 12设内切球的半径为r，内切球的球心为O，则VP

4VO

413

3r，4解得：r 6；12RN，则MNPMR或RPMANRRtAMN中，由勾股定理得：AM2MN2AN2，1 63 3

26R R2，解得R ，6 4Rr3，V R3 v r3

27故选：D【点睛】属于基础题.5、A【解析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】DAAEEBBCCD，又AED是靠边三角形，从而可得DECECD，∴折叠后三棱锥FDEC是棱长为1的正四面体，3设M是DCE的中心，则FM平面DCE，DM2 31 ，FM FD2DM2 6，33 2 3 3FDCE外接球球心OFMR，即OFODR，6 3 ∴R2( R)2( )2，解得R 6 3 3 3 4球体积为V故选：A．【点睛】

R3 ( )3 ．4 4 6 3 3 4 4 4 6 6、C【解析】求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆C1A2A3绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

3 2 318种；A22语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不C1A4加以区分，此时，排法种数为

2 424种.A22综上所述，共有182442种不同的排法故选：C．【点睛】7、C【解析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】za2i2ai2a(a21)i为正实数，0且a210，解得a.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.8、C【解析】3利用诱导公式以及二倍角公式，将sin

tan的形式，结合终边所在的直线可知tan的值，从2 2 而可求sin32的值. 2 2【详解】

sin2cos2 tan21因为sin cossin2cos2

tan2，2

sin2cos2 tan212 所以sin2

413. 41 5【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解msin2ncos2（）分别求解出sin,cos）将msin2ncos2变形为msin2ncos2

mtan2ntan的值求出结果.sin2cos2 tan219、C【解析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程

y2x2

1y

bx，由题意可得b4a，又c21，b a a即ba1，解得ab.【详解】x24y的焦点为0,1x2 y2可得双曲线

1b0,a0a b即为y2x21的渐近线方程为y bxb abba

a2，即b又c21，即ba11 4a

，b .5 55y2即双曲线的方程为 5x21.4故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.10、B【解析】AB满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．11、C2【解析】2

1 1 ①用周期函数的定义验证.②当x

, 时，x ,

f(x)4

sin

x ，再利用单调性2 4

2 3 12 24

2 12判断.f(x4sin1x

4cos1x

的值域等价于函数2323 2323 2g(x)4sin1x4cos1x的值域，而g(x)g(x)，当x[0,]时，g(x)4 sin1x再求值域.2 232 2 23【详解】 1

1

1

1 fx

24sin2x

12

4cos2x

12

4cos2x12

4sin2x12fx，故①错误；2 2x

1 , 时，x

f(x)4sin1x4cos1x4

sin1x，2 4

2 3 12 24

2 3 2 3 2 121x

11,

f(x)在

,3上单调递增，故②正确； 2 12

3 24

2 4函数f(x)4sin1x4cos1x的值域等价于函数g(x)4sin1x4cos1x的值域，易知 2323 2 22323g(xg(xx[0,gx4

sin1x[4,4 2]，故③正确. 223 223C.【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.12、D【解析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。4520513、6【解析】yAcos再利用诱导公式求得满足的方程结合题中的范围即可求解.【详解】yAcos,ycos2x个单位后,2ycos2xcos2x, 2

ysin2x

3cos

2x

3cos6

2xcos2x

6， ycos2xycos2x的图象重合,6 6 所以6

2k,kz,即52k,kz,6因为,所以5.65故答案为:6【点睛】yAcos于中档题.14、2【解析】根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.【详解】画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场．故答案为：2【点睛】本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题15、2 616【解析】因为(0,)

( , sin(

) 0所以 ， 7 1 (,7)则)1 7 1 (,7)则)1(1)22 266 66366633

(2 2)

3(1)12 61．6 6 6 6 6 6 3 2 3 2 616、0.38 0.9【解析】考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率随机变量的可能取值为0,1,2,3 计算得到概率再计算数学期望得答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：p0.510.60.40.60.40.50.60.40.38.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：p0.50.60.3，p1

0.60.50.3，p3

0.40.750.3.故随机变量的可能取值为0,1,2,3，故p013

3431000

；pC10.3133

441；1000p2C20.320.3

189

；p3

27 .3 1000 1000E

343

0

441

1

189

2

27 30.9.1000 1000 1000 1000故答案为：0.38；0.9.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.7017（Ⅰ）{xx1xa103【解析】（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.a（Ⅱ）讨论a2和a2两种情况，得到函数单调性，得到只需f( )4，代入计算得到答.2【详解】（Ⅰ）当a1时，不等式为2x1x11，x1 1x1 x1 1变形为 2 或2 或 ，解集为{xx 或x 23x

x

3x21 33x1a,xa22（Ⅱ）当a2f(x)2xax1xa1,ax1， 23xa1,x1a a由此可知f(x)在]单调递减，在[ ,)单调递增，2 2a a当a2时，同样得到f(x)在]单调递减，在[ ,)单调递增，2 2f(x)faxRf(x)4fa4，即|a1|4，2 2 2a10.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18（）模型 的拟合程度更好（（） （i） 亿元.【解析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（（）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把 代入（i）中的回归方程可得值．【详解】想、分类与整合思想体现基础性、综合性与应用性．解（） ，，则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好（（）先建立关于.由 ，得 ，即 由于 ，所以关于的线性回归方程为 ，所以 ，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即 代入 得， ，又 ，所以 所以 ，所以预测下一年的研发资金投入量约是 亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻19（）（）a1【解析】（1）g(xh(x

1cosx，g'(x)

sinx，注意到g'(x)在0, 上单增，再利用零点存在性定理即可x x2

2解决；

2

4 （）函数yf(2x)3x4在0,2上单调递减，则y'

0在0,2恒成立，即2axsin2x3x3

0在0,2上恒成立，构造函数m(x)2axsin2x

4x3，求导讨论m(x)的最值即可.3【详解】f(x)xsinx，所以h(x)lnxsinx，g(x)h(x)

1 cosx，g'(x)x x2

sinx，x0,g(xg(1)0g0g(x在0,上图象连续 2 2 2 不断g(x在0,上有唯一零点，2 2 x(0,g(x0xg(x0；2 2 g(x在(0,单调递减，在g(x在区间0,上存在唯一的极小22 22 值点，即h(x在区间0,上存在唯一的极小值点； 2 2（2）设k(x)xsinxx0,k(x)1cosx0，kx在0,k(xk(0)0，xsinx，从而sin2x2x，2 因为函数yf(2x)3x4在0,2上单调递减，4∴m(x)2axsin2x 43

0在0,2上恒成立，令m(x2a2cos2x4x2∵sin2x2x，∴p'(x)4sin2x8x0，

p(x)，m'(x)在0,2上单调递减，m'(x)maxm'(0)2a2， 当a1时，m'(x)0，则m(x)在0,2上单调递减，m(x)m(0)0，符合题意. 当a1时，m'(x)在0,2上单调递减， m(0)2a20x00,2，当0xx0

m(x)0m(x在x0

上单调递增，mx0

m(0)0与题意不符，舍去.综上，a的取值范围是a1【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.20、(1)证明见解析；(2)60°.【解析】PDPDABEDAB,ABPDEABPE；法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为3APBE大小为60； 法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量n1

3,2, 3PAB的法向量为n0,1,0APBE大小为60.2试题解析：PD，

PD AB． DE//BC，BC AB，DE AB．又∴AB

PDDED，AB PDE，PEPE．PAB

PAB

平面平面ABC．DE

PD,ED

AB，PD

平面AB=D，DE 平面PAB,过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF 为所求二面角的平面角，3则2

3，则tanDFE2

3APBE大小为60法二：平面PAB 平面平面PAB 平面平面ABC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系，3B(1，0，0)，P(0，0， )，E(0，23

，0)，PB=(，， 3，PE=(，2， 3．设平面PBE的法向量n．1．

x,y,z，x 3z0,32y 3z

令z 3，得n1

3DEPAB的法向量为n2

0,1,0．

nn 1设二面角的APBE大小为，由图知，cosn,n

1 2