概率论课后答案

习题1-21.选择题(1)设随机事件A，B满足关系,则下列表述正确的是().(A)若A发生,则B必发生.(B)A,B同时发生.(C)若A发生,则B必不发生.(D)若A不发生，则B一定不发生.解根据事件的包含关系,考虑对立事件,本题应选(D).(2)设A表示“甲种商品畅销,乙种商品滞销”,其对立事件表示().(A)甲种商品滞销,乙种商品畅销.(B)甲种商品畅销,乙种商品畅销.(C)甲种商品滞销,乙种商品滞销.(D)甲种商品滞销,或者乙种商品畅销.解设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式,本题应选(D).2.写出下列各题中随机事件的样本空间:(1)一袋中有5只球,其中有3只白球和2只黑球,从袋中任意取一球,观察其颜色;(2)从(1)的袋中不放回任意取两次球,每次取出一个,观察其颜色；(3)从(1)的袋中不放回任意取3只球,记录取到的黑球个数；(4)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数.解(1){黑球,白球}；(2){黑黑,黑白,白黑,白白}；(3){0,1,2}；(4)设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{}.3.设A,B,C是三个随机事件,试以A,B,C的运算关系来表示下列各事件：(1)仅有A发生；(2)A,B,C中至少有一个发生;(3)A,B,C中恰有一个发生;(4)A,B,C中最多有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A不发生,B,C中至少有一个发生.解(1);(2);(3);(4);(5);(6).4.事件Ai表示某射手第i次(i=1,2,3)击中目标,试用文字叙述下列事件：(1)A1∪A2;(2)A1∪A2∪A3;(3);(4)A2－A3;(5)；(6).解(1)射手第一次或第二次击中目标;(2)射手三次射击中至少击中目标;(3)射手第三次没有击中目标;(4)射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5)射手第二次和第三次都没有击中目标;(6)射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31.选择题(1)设A,B为任二事件,则下列关系正确的是().(A).(B).(C).(D).解由文氏图易知本题应选(D).(2)若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则下列结论正确的是().(A)A和B互不相容.(B)AB是不可能事件.(C)AB未必是不可能事件.(D)P(A)=0或P(B)=0.解本题答案应选(C).2.设P(AB)=P(),且P(A)＝p，求P(B).解因,故.于是3.已知,,,求.解由公式知.于是4.设A,B为随机事件,,,求.解由公式可知,.于是.5.设A,B是两个事件,且,.问:(1)在什么条件下取到最大值,最大值是多少？(2)在什么条件下取到最小值,最小值是多少？解=1.3.(1)如果,即当时,=0.7,则有最大值是0.6.(2)如果=1，或者时,有最小值是0.3.6.已知,,,求A,B,C全不发生的概率.解因为,所以=0,即有=0.由概率一般加法公式得由对立事件的概率性质知A,B,C全不发生的概率是.习题1-41.选择题在5件产品中,有3件一等品和2件二等品.若从中任取2件,那么以0.7为概率的事件是()．(A)都不是一等品.(B)恰有1件一等品.(C)至少有1件一等品.(D)至多有1件一等品.解至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品,其中只含有一件一等品的概率为,没有一等品的概率为,将两者加起即为0.7.答案为（D）.2.从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件.求:(1)恰有1件次品的概率;(2)恰有2件次品的概率;(3)至少有1件次品的概率;(4)至多有1件次品的概率;(5)至少有2件次品的概率.解(1)恰有1件次品的概率是;(2)恰有2件次品的概率是;(3)至少有1件次品的概率是1-;(4)至多有1件次品的概率是+;(5)至少有2件次品的概率是+.3.袋中有9个球,其中有4个白球和5个黑球.现从中任取两个球.求：(1)两个球均为白球的概率；(2)两个球中一个是白的,另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道(1)两球都是白球的概率是;两球中一黑一白的概率是;至少有一个黑球的概率是1.4.在区间(0,1)中随机地取两个数,求下列事件的概率:(1)两数之和小于;(2)两数之积小于;(3)以上两个条件同时满足;(4)两数之差的绝对值小于的概率.解设X,Y为所取的两个数,则样本空间S={(X,Y)|0<X,Y<1}.,(1)P{X+Y<}=;(2)P{XY<}=;(3)P{X+Y<,XY<}=≈0.593.(4)解设x,y为所取的两个数,则样本空间Ω={(x,y)|0<x,y<1},记A={(x,y)|(x,y)∈S,|x-y|<}.参见图1-1.图1-1第2题样本空间故,其中SA,SΩ分别表示A与Ω的面积.习题1-51.选择题(1)设随机事件A,B满足P(A|B)=1,则下列结论正确的是()(A)A是必然事件.(B)B是必然事件.(C).(D).解由条件概率定义可知选(D).(2)设A,B为两个随机事件,且,则下列命题正确的是().(A)若,则A,B互斥.(B)若,则.(C)若,则A,B为对立事件.(D)若,则B为必然事件.解由条件概率的定义知选（B）．2.从1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中任取一个数,记为Y,求P{Y=2}.解解P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}=×(0+++)=.3.口袋中有b个黑球、r个红球,从中任取一个,放回后再放入同颜色的球a个.设Bi={第i次取到黑球},求.解用乘法公式得到

注意,a=1和a=0分别对应有放回和无放回抽样.4.甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落.求该飞机被击落的概率.解目标被击落是由于三人射击的结果,但它显然不能看作三人射击的和事件.因此这属于全概率类型.设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”,则表示“恰有i发击中目标”.为互斥的完备事件组.于是没有击中目标概率为,恰有一发击中目标概率为,恰有两发击中目标概率为,恰有三发击中目标概率为.又已知,所以由全概率公式得到5.在三个箱子中,第一箱装有4个黑球,1个白球;第二箱装有3个黑球,3个白球;第三箱装有3个黑球,5个白球.现任取一箱,再从该箱中任取一球.(1)求取出的球是白球的概率；(2)若取出的为白球,求该球属于第二箱的概率.解(1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱子”,i=1,2,3.则P()=,i=1,2,3,.由全概率公式知P(A)=.(2)由贝叶斯公式知P()=6.某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占全厂总产量的40%,38%,22%,经检验知各车间的次品率分别为0.04,0.03,0.05.现从该种产品中任意取一件进行检查.(1)求这件产品是次品的概率;(2)已知抽得的一件是次品,问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解设A表示“取到的是一件次品”,(i=1,2,3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”.易知,是样本空间S的一个划分,且，,.(1)由全概率公式可得.(2)由贝叶斯公式可得,,.习题1-61.选择题(1)设随机事件A与B互不相容,且有P(A)>0,P(B)>0,则下列关系成立的是().

(A)

A,B相互独立.

(B)

A,B不相互独立.

(C)

A,B互为对立事件.

(D)

A,B不互为对立事件.解用反证法,本题应选(B).(2)设事件A与B独立,则下面的说法中错误的是().(A)与独立.(B)与独立.(C).(D)A与B一定互斥.解因事件A与B独立,故,A与及与B也相互独立.因此本题应选(D).(3)设事件A与B相互独立,且0<P(B)<1,则下列说法错误的是().(A).(B).(C)A与B一定互斥.(D).解因事件A与B独立,故也相互独立,于是(B)是正确的.再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的.从而本题应选(C).2．设A,B是任意两个事件,其中A的概率不等于0和1,证明P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.证由于的概率不等于0和1,故题中两个条件概率都存在.充分性.因事件A与B独立,知事件与B也独立,因此,从而.必要性.已知,由条件概率公式和对立事件概率公式得到,移项得化简得P(AB)=P(A)P(B),因此A和B独立.3.设三事件A,B和C两两独立,满足条件：,且,求.解根据一般加法公式有.由题设可知A,B和C两两相互独立,,因此有从而,于是或,再根据题设,故.4．某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.解“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有一次命中目标.由独立重复性知所求概率为.5.甲、乙两人各自向同一目标射击,已知甲命中目标的概率为0.7,乙命中目标的概率为0.8.求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.解甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件.于是(1)(2)(3)总习题一1.选择题：设是三个相互独立的随机事件,且,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是().(A)与C.(B)与.(C)与C.(D)与.解由于A,B,C是三个相互独立的随机事件,故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的,根据这一性质知(A),(C),(D)三项中的两事件是相互独立的,因而均为干扰项,只有选项(B)正确..2.一批产品由95件正品和5件次品组成,先后从中抽取两件,第一次取出后不再放回.求:(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率;(2)抽得一件为正品,一件为次品的概率.解(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为.抽得一件为正品，一件为次品的概率为3.设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的.已知其中有的产品是第一家工厂生产的,其它二厂各生产.又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品,第三家工厂生产的产品中有4%是次品.现从此箱中任取一件产品,求取到的是次品的概率.解从此箱中任取一件产品,必然是这三个厂中某一家工厂的产品.设A={取到的产品是次品},Bi={取到的产品属于第i家工厂生产},i=1,2,3.由于BiBj=(i≠j,i,j=1,2,3)且B1∪B2∪B3=S,所以B1,B2,B3是S的一个划分.又P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)==0.025.4.某厂自动生产设备在生产前须进行调整.假定调整良好时,合格品为90%;如果调整不成功,则合格品有30%.若调整成功的概率为75%,某日调整后试生产,发现第一个产品合格.问设备被调整好的概率是多少？解设A={设备调整成功},B={产品合格.则全概率公式得到.由贝叶斯公式可得.5.将两份信息分别编码为A和B传递出去.接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？解以D表示事件“将信息A传递出去”，以表示事件“将信息B传递出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以表示事件“接收到信息B”.已知.由贝叶斯公式知.习题2-21.设A为任一随机事件,且P(A)=p(0<p<1).定义随机变量写出随机变量X的分布律.解P{X=1}=p,P{X=0}=1-p.或者X01P1-pp2.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为.试确定常数c,并计算条件概率.解由离散型随机变量的分布律的性质知，所以.所求概率为P{X<1|X}=.3.设随机变量X服从参数为2,p的二项分布,随机变量Y服从参数为3,p的二项分布,若≥,求≥.解注意p{x=k}=,由题设≥故.从而≥4.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为,求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是.即,故=.5.若X服从参数为的泊松分布,且,求参数.解由泊松分布的分布律可知.6.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}==;{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=;{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=.X的分布律是X345P习题2-31.设X的分布律为X-101P0.150.200.65求分布函数F(x),并计算概率P{X<0},P{X<2},P{-2≤X<1}.解(1)F(x)=(2)P{X<0}=P{X=-1}=0.15;(3)P{X<2}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;(4)P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X=0}=0.35.2.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx-∞<x<+∞.试求:(1)常数A与B;(2)

X落在(-1,1]内的概率.解(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知于是(2)

3.设随机变量X的分布函数为F(x)=求P{X≤-1},P{0.3<X<0.7},P{0<X≤2}.解P{X,P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2,P{0<X≤2}=F(2)-F(0)=1.5.假设随机变量X的绝对值不大于1;;在事件出现的条件下,X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比.(1)求的分布函数≤x};(2)求X取负值的概率p.解(1)由条件可知,当时,;当时,;当时,F(1)=P{X≤1}=P(S)=1.所以易见,在X的值属于的条件下,事件的条件概率为≤,取x=1得到1=k(1+1),所以k=.因此≤.于是,对于,有≤≤

对于≥1,有从而(2)X取负值的概率习题2-41.选择题(1)设如果c=(),则是某一随机变量的概率密度函数.(A).(B).(C)1.(D).解由概率密度函数的性质可得,于是,故本题应选(C).(2)设又常数c满足,则c等于().(A)1.(B)0.(C).(D)-1.解因为,所以,即,从而,即,得c=0.因此本题应选(B).(3)下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是().(A)(B)(C)(D)解由概率密度函数的性质可知本题应选(D).(4)设随机变量,,≤},≥},则().(A)对任意的实数.(B)对任意的实数.(C)只对实数的个别值,有.(D)对任意的实数.解由正态分布函数的性质可知对任意的实数,有.因此本题应选(A).(5)设随机变量X的概率密度为,且,又F(x)为分布函数,则对任意实数,有().(A).(B).(C).

(D).解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且则下式中成立的是().(A)σ1<σ2.(B)σ1>σ2.(C)μ1<μ2.(D)μ1>μ2.解答案是(A).(7)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的正数,数满足,若,则等于().(A).(B).(C).(D).解答案是(C).2.设连续型随机变量X服从参数为的指数分布,要使成立,应当怎样选择数k?解因为随机变量X服从参数为的指数分布,其分布函数为由题意可知.于是.3.设随机变量X有概率密度要使(其中a>0)成立,应当怎样选择数?解由条件变形,得到,可知,于是,因此.4.设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)X的概率密度;(2).解(1)根据分布函数与概率密度的关系,可得(2).5.设随机变量X的概率密度为f(x)＝求P{X≤}与P{≤2}.解≤;≤.6.设连续型随机变量X具有概率密度函数求:(1)常数A；(2)X的分布函数F(x).解(1)由概率密度的性质可得,于是；(2)由公式可得当x≤0时,;当≤1时,;当≤2时,;当x>2时,.所以7.设随机变量X的概率密度为对X独立观察3次,求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式≤,可得.所以,3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.8.设,求关于x的方程有实根的概率.解随机变量X的概率密度为若方程有实根,则≥0,于是≥2.故方程有实根的概率为P{≥2}=.9.设随机变量.(1)计算,,,；(2)确定c使得(3)设d满足,问d至多为多少？解(1)由P{a<x≤b}=P{公式,得到P{2<X≤5}=,P{-4<X≤10}=,=+=1+=0.6977,=1=0.5.(2)若,得1,所以由=0推得于是c=3.(3)即1,也就是,因分布函数是一个不减函数,故解得.10.设随机变量,若,求.解因为所以.由条件可知,于是,从而.所以.习题2-51.选择题(1)设X的分布函数为F(x),则的分布函数为().(A).(B).(C).(D).解由随机变量函数的分布可得,本题应选(A).(2)设令,则().(A).(B).(C).(D).解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2.设,求Z所服从的分布及概率密度.解若随机变量,则X的线性函数也服从正态分布,即这里,所以Z.概率密度为.3.已知随机变量X的分布律为X-10137P0.370.050.20.130.25(1)求Y＝2－X的分布律；(2)求Y＝3＋X2分布律.解(1)2－X-5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3＋X2341252P0.050.570.130.254.已知随机变量X的概率密度为＝且Y＝2－X,试求Y的概率密度.解先求Y的分布函数:=≤≤≥

=1-.于是可得Y的概率密度为=即5.设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布,求随机变量的概率密度.解由题意可知随机变量X的概率密度为因为对于0<y<4,≤≤≤X≤}.于是随机变量的概率密度函数为即总习题二1.一批产品中有20%的次品,现进行有放回抽样,共抽取5件样品.分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解以X表示抽取的5件样品中含有的次品数.依题意知.(1)恰好有3件次品的概率是P{X=3}=.(2)至多有3件次品的概率是.2.一办公楼装有5个同类型的供水设备.调查表明,在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1.问在同一时刻(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？(2)至少有1个设备被使用的概率是多少？(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？(4)至少有3个设备被使用的概率是多少？解以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1),P{X=k}=,k=0,1,…,5.所求的概率是P{X=2}=;所求的概率是P{X≥1}=1;所求的概率是P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954;所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856.3.设随机变量X的概率密度为且已知,求常数k,θ.解由概率密度的性质可知得到k=1.由已知条件,得.4.某产品的某一质量指标,若要求≤X≤≥0.8,问允许最大是多少?解由≤X≤

=≥0.8,得到≥0.9,查表得≥1.29,由此可得允许最大值为31.20.5.设随机变量X的概率密度为φ(x)=Ae-|x|,-∞<x<+∞.试求:(1)常数A;(2)P{0<X<1};(3)X 的分布函数.解(1)由于即故2A=1,得到A=.所以φ(x)=e-|x|.(2)P{0<X<1}=(3)因为得到当x<0时,当x≥0时,所以X的分布函数为习题3-11.已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101PX201P而且.求X1和X2的联合分布律.解由知.因此X1和X2的联合分布必形如X2X101pi·-1P1100P21P221P310p·j1于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律X2X101pi·-100010p·j1(2)注意到,而,所以X1和X2不独立.2.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.解从只球中取球只有种取法.在只球中,黑球有只,红球有j只(余下为白球只)的取法为,≤.于是有,,,,,,,,.分布律的表格形式为XXY3.设随机变量(X,Y)的概率密度为求:(1)常数;(2);(3);(4).解(1)由,得,所以.(2).(3)

.(4)作直线,并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为.即≤.见图3-8.因此≤

.图3-8第4题积分区域4.二维随机变量的概率密度为试确定,并求. 解由,解得.因而.5.设二维随机变量(X,Y)概率密度为求关于X和Y边缘概率密度.解的概率密度在区域≤≤,≤≤外取零值.因而,有6.假设随机变量在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量试求：(1)X和Y的联合概率分布；(2)≤.解(1)见本章第三节三(4). (2)≤.习题3-21.设(X,Y)的分布律为YX123410.100.1020.300.10.2300.200求:(1)在条件X=2下Y的条件分布律;

(2).解(1)由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为,,,,或写成1234(2)注意到≤.而

.因此.2.设平面区域D由曲线及直线所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值.解由题设知D的面积为.因此,(X,Y)的密度为由此可得关于X的边缘概率密度.显然,当x≤1或x≥e2时,;当时,.故.3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：(1)(X,Y)的边缘概率密度；(2)解(1)当时,;当x≤0时或x≥1时,.故当0<y<2时,;当≤时或≥时,.故(2)当z≤0时,;当z≥2时,;当0<z<2时,≤.故(3).4.设是由直线y=x,y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量在上服从二维均匀分布.求:(1)(X,Y)的联合概率密度；(2)；(3)关于X的边缘概率密度.解(1)由于三角形区域的面积等于2,所以的概率密度为(2)记区域≤与的交集为,则.其中为G0的面积.(3)X的边缘概率密度.所以,当时,.当或时,.因此习题3-31.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:X-10PY0256P求二维随机变量的分布律.解由于X与Y相互独立,所以有,.因此可得二维随机变量的联合分布律XYXY2.设(X,Y)的分布律如下表:XY12123问为何值时与相互独立?解首先,由分布律求得边缘分布律YX12p.j12αα+3ββ+pi.+α+β1由于边缘分布满足,又X,Y相互独立的等价条件为pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).故可得方程组解得,.经检验,当,时,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.因此当,时,X与Y相互独立..3.设随机变量X与Y的概率密度为(1)试确定常数b.(2)求边缘概率密度,.(3)问X与Y是否相互独立？解(1)由,得.(2)

(3)由于，所以X与Y相互独立.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为(1)求X和Y的联合概率密度.(2)设关于a的二次方程为,试求a有实根的概率.解(1)由题设知X和Y的概率密度分别为因X和Y相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为 (2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零.即≥≥Y.因此事件{方程有实根}≥.下面计算≥(参见图3-3).≥

.图3-3第6题积分区域习题3-41.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为YX0100.4a1b0.1若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a,b.解首先,由题设知.由此得.此外,,,

.根据题意有,即.解得.2.设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求随机变量Z=X+Y的分布律. 解随机变量Z=X+Y的可能取值为.的分布律为,,,或写为Z357PZ0.180.540.283.随机变量与相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求.解由题意知,X与Y的概率密度均为又由独立性,有P{max{X+Y}≤1}=P{X≤1,Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}.而P{X≤1}=P{Y≤1},故P{max{X+Y}≤1}=.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X服从正态分布N(μ,σ2),Y服从均匀分布U(-a,a)(a>0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解已知X和Y的概率密度分别为,;.由于X和Y相互独立,所以=.10.设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).解由题设知,X和Y的联合概率密度为记为U的分布函数,参见图3-7,则有当u≤0时,≤u}=0;当u≥2时,;当0<u<2时,图3-7第8题积分区域.故随机变量的概率密度为.总习题三1.设随机变量(X,Y)的概率密度为求条件概率密度.解首先图3-9第1题积分区域当时,当≤时,当时,2.设随机变量X与Y相互独立,下表列出二维随机变量的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值,试将其余数值填入表中空白处.XYx1x2y1y2y31解首先,由于,所以有.在此基础上利用X和Y的独立性,有.于是.再次,利用X和Y的独立性,有.于是.最后,利用X和Y的独立性,有;;.因此得到下表XYx1x2y1y2y313.设随机变量的概率密度为(1)求常数k；(2)求(X,Y)的分布函数；(3)计算;(4)计算；(5)问随机变量X与Y是否相互独立?解(1)由,可得.(2)(X,Y)的分布函数.当≤或≤时,有;当时,.即 (3). (4)所以类似地,有显然,故X与Y相互独立.4.解已知的分布律为XYXY12310230注意到,而,可见P{X=1,Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}.因此与不相互独立.(2)的可能取值为3,4,5,6,且,

,.即的分布律为Z345P(3)的可能取值为2,3,且,.即的分布律为V23P(4)的可能取值为1,2,且,.即的分布律为U12P(5)的可能取值为3,4,5,且,,.W345P5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)求P{X>2Y};(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(z).解(1).(2)方法一:先求Z的分布函数:.当z<0时,FZ(z)<0;当0≤z<1时,

=z2-z3;当1≤z<2时,

=1-(2-z)3;当z≥2时,FZ(z)=1.故Z=X+Y的概率密度为方法二:利用公式

当z≤0或z≥2时,fZ(z)=0;当0<z<1时,当1≤z<2时,故Z=X+Y的概率密度为.6.设随机变量(X,Y)得密度为试求:(1)(X,Y)的分布函数;(2)(X,Y)的两个边缘分布密度;(3)(X,Y)的两个条件密度;(4)概率P{X+Y>1},P{Y>X}及P{Y<|X<}.解(1)当x≤0或y≤0时,φ(x,y)=0,所以F(x,y)=0.当0<x≤1,0<y≤2时,φ(x,y)=x2+xy,所以

.当0<x≤1,y>2时,

.当x>1,0<y≤2时,

.当x>1,y>2时,.综上所述,分布函数为(2)当0≤x≤1时,故当0≤y≤2时,故(3)当0≤y≤2时,X关于Y=y的条件概率密度为当0≤x≤1时,Y关于X=x的条件概率密度为(4)参见图3-10.图3-10第9题积分区域图3-11第9题积分区域同理,参见图3-11.习题4-11.设随机变量的分布律为 X-202P0.40.30.3求；E(2－3X);；.解由定义和数学期望的性质知;;;.2.设随机变量的概率密度为求的数学期望. 解,.3.游客乘电梯从底层到电视塔顶观光,电梯于每个整点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处,且X在区间[0,60]上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望.解已知X在[0,60]上服从均匀分布,其概率密度为记Y为游客等候电梯的时间,则因此,=11.67(分钟)..14.某保险公司规定,如果在一年内顾客的投保事件A发生,该公司就赔偿顾客a元.若一年内事件A发生的概率为p,为使该公司受益的期望值等于a的10％,该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c元.引入随机变量则.保险公司的受益值于是.据题意有,因此应要求顾客角保费.习题4-21.选择题(1)已知则.(A).(B).(C).(D).解.可见，应选(D).(2)设,则有().(A).(B).(C).(D).解因为所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),得到np=6,np(1-p)=3.6.解之,n=15,p=0.4.可见，应选(C).(3)设X与Y相互独立，且都服从,则有().(A).(B).(C).(D). 解注意到.由于X与Y相互独立,所以.选(D).(4)在下列结论中,错误的是().(A)若(B)若，则.(C)若X服从泊松分布,则.(D)若则. 解,则.选(B).2.已知X,Y独立,E(X)=E(Y)=2,E(X2)=E(Y2)=5,求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解由数学期望和方差的性质有E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3×2-2×2=2,.3.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1服从区间[0,6]上的均匀分布,,,记,求E(Y)和D(Y).解由题设知.由期望的性质可得 又相互独立,所以4.设两个随机变量X和Y相互独立,且都服从均值为0,方差为的正态分布,求的的期望和方差.解记.由于,所以.由此.进而;.故而.5.设随机变量,随机变量求期望和方差. 解因为X的概率密度为于是Y的分布率为,,.因此,.故有.6.设随机变量在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量求E(X+Y),D(X+Y). 解(1)随机变量(X,Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).≤≤,≤,≤,.于是得X和Y的联合密度分布为XY-11-110(2)和的概率分布分别为X+Y-202P{X+Y=k}(X+Y)204P{(X+Y)2=k}由此可见;.习题4-31.选择题(1)在下列结论中,()不是随机变量X与Y不相关的充分必要条件(A)E(XY)=E(X)E(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C)Cov(X,Y)=0.(D)X与Y相互独立. 解X与Y相互独立是随机变量X与Y不相关的充分条件,而非必要条件.选(D).(2)设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则下列结论中不正确的是().(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布. 解对于正态分布不相关和独立是等价的.选(A).(3)设(X,Y)服从二元正态分布,则下列说法中错误的是().(A)(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布.(B)X与Y相互独立等价于X与Y不相关.(C)(X,Y)是二维连续型随机变量.(D)由(X,Y)的边缘分布可完全确定(X,Y)的联合分布. 解仅仅由(X,Y)的边缘分布不能完全确定(X,Y)的联合分布.选(D)2设D(X)=4,D(Y)=6,ρXY=0.6,求D(3X-2Y).解.3.设随机变量X,Y的相关系数为,,求.解4.设随机变量(X,Y)的分布律为XY12010.4a0.2b若E(XY)=0.8,求常数a,b和协方差Cov(X,Y).解首先由得.其次由得.进而.由此可得边缘分布律10.60.40.50.5于是,.故.5.已知随机变量,Z=2X-Y,试求方差D(Z),协方差,相关系数ρXZ. 解由于X,Y的相关系数为零,所以X和Y相互独立(因X和Y服从正态分布).因此,.因此.6.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布:,;X与Y的相关系数.求:(1)E(Z),D(Z)；(2)X与Z的相关系数ρXZ;(3)问X与Z是否相互独立?为什么?解(1)由于,,所以,而.因此,.(2)由于所以.(3)由知X与Z不相关,又X与Z均服从正态分布,故知X与Z相互独立.7．证明:对随机变量(X,Y),E(XY)=E(X)E(Y)或者D(XY)=D(X)+D(Y)的充要条件是X与Y不相关.证首先我们来证明和是等价的.事实上,注意到.因此.其次证明必要性.假设E(XY)=E(X)E(Y),则.进而,即X与Y不相关.最后证明充分性.假设X与Y不相关,即,则.由此知.总习题四1.设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知X的分布律为.又设.写出二维随机变量(U,V)的分布律;(2)求.解(1)下面实际计算一下.注意到,因此.类似地计算,可得的分布律如下表UV(2)由的分布律可得关于U的边缘分布律U所以.2.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.解令X表示途中遇到红灯的次数,由题设知.即X的分布律为0123P从而.3.设随机变量的概率密度为求. 解....4.设随机变量(X,Y)的概率密度为求E(X),D(X),E(Y),D(Y),E(XY)和Cov(X,Y). 解.于是有.利用对称性,有.又.所以协方差.5.设随机变量X与Y独立,同服从正态分布,求(1)；(2).解(1)记.由于,所以.由此.所以,.故而.(2)注意到,.所以,.6.设随机变量的联合概率密度为求:E(X),E(Y),Cov(X,Y),ρXY,D(X+Y). 解注意到只在区域上不为零,所以, ,因而.又.由对称性知,.这样，,,.7.设A,B为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(2)X与Y的相关系数.解由得,进而由得.在此基础上可以求得(1),,, .故(X,Y)的概率分布为YX0101(2)由(1)易得关于X和Y的边缘分布律X01P{X=k}Y01P{Y=k}因此,.又由(X,Y)的分布律可得.故.习题5-11.设随机变量X的方差为2,用切比雪夫不等式估计.解由切比雪夫不等式,对于任意的正数,有,所以.2.设随机变量X,Y的数学期望分别是2和-4,方差分别是1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式估计≥12}.解,.所以,≥12}≤.3.设随机变量X的数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,由切比雪夫不等式估计P{|X-μ|≥3σ}.解令ε=3σ,则由切比雪夫不等式P{|X-μ|}≥ε}≤,有P{|X-μ|≥3σ}≤.4.独立重复地做一项试验,假设每次试验成功的概率为0.75.用切比雪夫不等式求:至少需要做多少次试验,才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间?解假设做n次试验,才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间.用X表示试验成功的次数,从而,由题设,要使.又由切比雪夫不等式得.要满足题意,只需即可.解之得.习题5-21.一本书有十万个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为0.0001,用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率.解设则排错的总字符数并且,所以

2.某彩色电视机制造公司每月生产20万台背投彩电,次品率为0.0005.检验时每台次品未被查出的概率为0.01.试用中心极限定理求检验后出厂的这批20万台背投彩电中次品数超过3台的概率.解设所以,.经检验后的次品数记为,故,,,由中心极限定理,近似地有.所以有3.某公司电话总机有200台分机,每台分机有6%的时间用于外线通话,假定每台分机用不用外线是相互独立的,试问该总机至少应装多少条外线,才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.解设该总机至少应装x条外线,才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.设Xi=1(i=1,2,…,200)表示第i台分机使用外线,Xi=0(i=1,2,…,200)表示第i台分机不使用外线.由条件可以把X,X视为独立同分布随机变量,而正使用外线的分机总数T=X+X2+…+X200是独立同分布随机变量之和.由条件知E(Xi)=0.06,==0.2375,从而E(T)=12,=3.36.根据独立同分布中心极限定理,T近似服从正态分布N(12,11.28).由题设条件P{T≤x}=P{}≈Φ{}＞0.95=Φ(1.65).根据分布函数的单调性,有＞1.65.从而x>17.54,即最少装18条外线,才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.4.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中因财产被盗而要求赔偿的占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布；(2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.解(1)设Xi=1(i=1,2,…,100)表示第i个索赔户是因被盗而索赔,Xi=0(i=1,2,…,100)表示第i个索赔户不是因被盗而索赔.所以X=X+X2+…+X100,故X服从参数为100,0.2的二项分布.(2)由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,P{14≤X≤30}=P{-1.5≤≤2.5}≈Φ(2.5)+Φ(1.5)-1=0.927.5.设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg.问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设Xi表示第i只零件的重量,则E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.01.于是5000只零件的总重量X=,所以由独立同分布中心极限定理知,==1-0.921=0.079.6.某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的,且在开工时需电力1千瓦.问最少应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解设最少供应x千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.再设Xi=1表示第i台机床开工,Xi=0表示第i台机床不开工,则200台机床所需电力X=.由题设E(Xi)=120,D(Xi)=48,又因为题设要求,所以,得到,即x>141.4,所以最少供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.习题6-11.若总体,从总体X中抽出样本X1,X2,问3X1-2X2服从什么分布?解3X1-2X2～N(2,117).2.设X1,X2,…,Xn是取自参数为p的两点分布的总体X的样本,问X1,X2,…,Xn的联合分布是什么?解因为总体X的分布律为P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,…,所以样本X1,X2,…,Xn的联合分布为习题6-21.选择题(1)下面关于统计量的说法不正确的是().(A)统计量与总体同分布.(B)统计量是随机变量.(C)统计量是样本的函数.(D)统计量不含未知参数.解选(A).(2)已知X1,X2,…,Xn是来自总体的样本,则下列关系中正确的是().(A)(B)(C)(D)解选(C).(3)设随机变量X与Y都服从标准正态分布,则().(A) X+Y服从正态分布.

(B)X2+Y2服从分布.(C) X2和Y2都服从分布.(D)服从F分布.解因为随机变量X与Y都服从标准正态分布,但X与Y不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对,故选(C).2.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,总体X的均值μ已知,方差σ2未知.在样本函数,,,nμ(++…+)中,哪些不是统计量?解不是统计量.3.设总体X服从正态分布,总体Y服从正态分布,和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,求解因为,习题6-31．填空题(1)设总体,是从该总体中抽取的容量为n的样本,则;;统计量.解因为总体,而是从该总体中抽出的简单随机样本,由正态分布的性质知,样本均值也服从正态分布,又因为,而.所以.(2)设总体X服从正态分布,是来自X的简单随机样本,则统计量服从分布;服从分布;服从分布;服从分布.解由抽样分布定理知,.再由正态分布的标准化公式,服从标准正态分布.由抽样分布定理知,服从自由度为n-1的t分布.由抽样分布定理知,服从自由度为n-1的分布.由题设,所以再由分布的定义知,服从自由度为n的分布.(3)设,是来自正态总体的容量为n+m的样本,则统计量服从的分布是.解因为=,而,.由F分布的定义,得到.2.选择题(1)设随机变量,则下列关系中正确的是().(A).(B).(C).(D)解由题设知,,其中,于是=,这里,根据F分布的定义知故应选(C).(2)设,(n),,分别是标准正态分布N(0,1)、(n)分布、分布和分布的上分位点,在下列结论中错误的是().(A).

(B)(n)=1-(n).(C).(D).解应选(B).3.在总体中随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解因为,所以.于是,标准化随机变量.因此.4.已知是来自正态总体的样本,求概率.解由定理1知,因此,所以习题7-11.选择题(1)设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知,而为来自X的样本,则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是().(A)和S2.(B)和.(C)μ和σ2.

(D)和.解选(D).(2)设,其中θ>0为未知参数,又为来自总体X的样本,则θ的矩估计量是().(A).(B).(C).(D).解选(B).2.设总体X的分布律为X-215P其中0＜θ＜0.25为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,试求θ的矩估计量.解因为E(X)=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ,令得到的矩估计量为.3.设总体的概率密度为其中θ>-1是未知参数,X1,X2,…,Xn是来自的容量为n的简单随机样本,求:(1)的矩估计量；(2)θ的极大似然估计量.解总体X的数学期望为.令,即,得参数θ的矩估计量为.设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值,则似然函数为当0<xi<1(i=1,2,3,…,n)时,L>0且,令=0,得θ的极大似然估计值为,而θ的极大似然估计量为.4.设总体服从参数为的指数分布,即的概率密度为其中为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.解因为E(X)==,所以的矩估计量为.设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值,则似然函数,取对数.令得的极大似然估计值为,的极大似然估计量为.5.设总体的概率密度为其中（0<<1）是未知参数.X1,X2,…,Xn为来自总体的简单随机样本,记N为样本值中小于1的个数.求:(1)θ的矩估计量;(2)θ的极大似然估计量.解(1),所以.(2)设样本按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:x(1)≤x(2)≤…≤x(N)<1≤x(N+1)≤x(N+2)≤…≤x(n).似然函数为考虑似然函数非零部分,得到lnL(θ)=Nlnθ+(n−N)ln(1−θ),令,解得θ的极大似然估计值为.习题7-21.选择题:设总体的均值与方差都存在但未知,而为的样本,则无论总体服从什么分布,()是和的无偏估计量.(A)和.(B)和.(C)和.(D)和.解选(D).2.若,,为来自总体的样本,且为的无偏估计量,问等于多少?解要求,解之,k=.3.设总体的均值为0,方差存在但未知,又为来自总体的样本,试证：为的无偏估计.证因为,所以为的无偏估计.习题7-31.选择题(1)总体未知参数的置信水平为0.95的置信区间的意义是指().(A)区间平均含总体95%的值.(B)区间平均含样本95%的值.(C)未知参数有95%的可靠程度落入此区间.(D)区间有95%的可靠程度含参数的真值.解选(D).(2)对于置信水平1-α(0<α<1),关于置信区间的可靠程度与精确程度,下列说法不正确的是().(A)若可靠程度越高,则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.(B)如果α越小,则可靠程度越高,精确程度越低.(C)如果1-α越小,则可靠程度越高,精确程度越低.(D)若精确程度越高,则可靠程度越低,而1-α越小.解选（C）习题7-41.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试,取得数据如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1250,1040,1130,1300,1200．设灯泡寿命服从正态分布N(μ,902),取置信度为0.95,试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解计算得到σ2=902.对于α=0.05,查表可得.所求置信区间为2.为调查某地旅游者的平均消费水平,随机访问了40名旅游者,算得平均消费额为元,样本标准差元.设消费额服从正态分布.取置信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解计算可得s2=282.对于α=0.05,查表可得.所求μ的置信区间为

=(96.045,113.955).3.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布.现随机抽取此种香烟8支为一组样本,测得其尼古丁平均含量为18.6毫克,样本标准差s=2.4毫克.试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解已知n=8,s2=2.42,α=0.01,查表可得,,所以方差σ2的置信区间为=(1.988,40.768).4.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,分别从两条流水线上抽取样本:X1,X2,…,X12及Y1,Y2,…,Y17,算出.假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布,且相互独立,其均值分别为.又设两总体方差.求置信水平为0.95的置信区间,并说明该置信区间的实际意义.解由题