集合与函数讲义

第1讲集合概念与运算学习目标（1）了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合．（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．（3）理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的关系与运算.二．重点难点重点：（1）理解集合、子集，空集的概念（2）了解属于、包含、相等关系的意义（3）掌握集合的有关术语和符号（4）理解集合的交、并、补运算的概念及性质（5）会用Venn图及数轴解有关集合问题难点：子集与真子集、属于与包含关系、交集与并集之间的区别与联系．三．知识梳理 1．集合的基本概念:(1)集合的概念：具有某种公共属性的一类事物的全体形成一个集合。；(2)集合中元素的三个特性：确定性，互异性，无序性。；(3)集合的三种表示方法：描述法，列举法，图示法。2．集合的运算(1)子集：若集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则A⊆B；真子集：若A⊆B，且B中至少有一个元素不在A中，则AB；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)交集：A∩B＝{}；(3)并集：A∪B＝{}．（4）补集：若U为全集，A⊆U，则＝{}，3．集合的常用运算性质(1)A∩＝；A∩A＝A；(2)A∪＝A；A∪A＝A；(3)A∩()＝；A∪()＝U；()＝A；(4)A⊆B⇔A∩B＝A,A∪B＝B；(5)＝；＝；(6)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－四．典例剖析题型一集合的基本概念例1考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者．思路探索：紧扣集合的概念，根据集合元素的确定性逐一分析，作出判断．解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言，是确定的，能构成集合．综上：(1)，(2)不能构成集合；(3)，(4)能构成集合．教师点评：1.判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合．2．注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．例2(1)若所有形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-2eq\r(2)是不是集合A中的元素．解：根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.所以6-2eq\r(2)eq\r()是集合A中的元素．（2）已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2013思路探索：(1)1∈A，则a＋2，(a＋1)2，a2＋3a解：(1)当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a教师点评：1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示什么数集．(2)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．例3用适当的方法表示下列集合： (1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}； (2)平面直角坐标系中所有第二象限的点． 解(1)∵x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1， ∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (2){(x，y)|x＜0，y＞0}．教师点评：表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．课堂练习1：(1)下列各组对象可以组成集合的是() A．数学必修1课本中所有的难题.B．方程x2－9＝0在实数范围内的解 C．直角坐标平面内第一象限的一些点.D.eq\r(3)的近似值的全体解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B中只有两个元素3与－3，是确定的，B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．答案B(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②eq\r(3)∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C解析∵π是实数，eq\r(3)是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2..答案B(3)（2013年高考江西卷（文））若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a= A．4 B．2 C．0 D．0或4【答案】A题型二集合间的基本关系例4（1）（2012年高考大纲文）已知集合,,,,则 （）A． B． C． D．解析：B（2）、(2011·新课标全国)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个．*（3）(2011年高考安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为() （A）57 （B）56 （C）49 （D）8【答案】B教师点评：1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A含n个元素，那么它子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.例5已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m [思路探索]借助数轴分析，注意B是否为空集．解∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m(2)当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1＜m＋1，))解得－1≤m＜2，综上得m≥－1.课堂练习2：(2011·北京高考改编)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{x|－a＋2≤x≤2a－7}，若P∪M＝P，求实数a的取值范围．【解析】由P∪M＝P，知M⊆P，(1)若－a＋2＞2a－7，即a＜3时，M＝∅，满足P∪M＝P.(2)当a≥3时，M≠∅，由M⊆P，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2≥－1，,2a－7≤1.))解之得a≤3，∴a＝3.综合(1)、(2)可知，若P∪M＝P，实数a的取值范围是a≤3.,教师点评：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．题型三集合的基本运算例6（1）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知集合,,则A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}【答案】A（2）设集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∪B＝()A．∅ B．{x|3<x<4}C．{x|－2<x<1} D．{x|x>1}【答案】D（3）（2013年高考陕西卷（理））设全集为R,函数的定义域为M,则为

(A)[-1,1](B)(-1,1)(C) (D)【答案】D（4）（2013年高考安徽（文））已知,则A． B． C． D．【答案】A例7设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的取值范围． [思路探索]由A∩B＝B，得BA，由子集的定义建立关于a的方程或不等式求解．解由已知得A＝{－4,0}，且A∩B＝B，∴BA，则B＝，{－4}，{0}，{－4,0}．①若B＝，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，得a＜－1.②若B＝{－4}，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42＋2a＋1·－4＋a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＝0，))方程组无解．③若B＝{0}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＝0，))∴a＝－1.④若B＝{－4,0}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＞0.))解得a＝1.综上可知，a＝1或a≤－1.教师点评：1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔AB，A∪B＝B⇔AB等，解答时应灵活处理．2．当集合BA时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．课堂练习3：（1）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a解∵A∪B＝A，∴B⊆A.，若B＝∅时，2a>a＋3，即a若B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－2，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得：－1≤a≤2，综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a>3}．*（2）（2013年上海高考数学试题（文科））设常数,集合,.若,则的取值范围为A． B． C． D．【答案】B题型四用韦恩图解题例8(1)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()答：B．(2)（2013年上海市春季高考数学试卷）设全集,下列集合运算结果为的是()(A)(B)(C)(D) 【答案】A(3)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，求集合A和B.解：由Venn图，可知A＝{2,3}，B＝{2,4}．教师点评：Venn图直观形象地反映了元素、集合之间的关系.在解题中将隐性的关系显性化，利用韦恩图易于找到元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的联系.例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。教师点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。课堂练习4：(1)设A、B、U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是()A．(∁UA)∪B＝UB．(∁UA)∪(∁UB)＝UC．A∩(∁UB)＝D．(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB答：B(2)设U为全集，集合M，N，P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是()A．M∩(∁UN∩P)B．M∩(N∪P)C．[(∁UM)∩(∁UN)]∩PD．(M∩N)∪(N∩P)【解析】阴影部分在集合N的外部，集合P的内部，则(∁UN)∩P.又在集合M的内部，∴M∩(∁UN∩P)．*(3)求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件的数共有[200÷2]＋[200÷3]＋[200÷5]－[200÷10]－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146 （[x]表示不大于x的最大整数。）所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）教师点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型五集合中的新定义问题例10(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 ()A．3B．6C．8D．10易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.答案D教师点评：判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点．五．易错探究例11若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，求由实数a组成的集合C.[错解]由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，从而B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝eq\f(2,3).故由实数a组成的集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))).[错因分析]由交集定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∩∅＝∅，所以错解忽略了B＝∅时的情况．[正解]①当B≠∅时，同上解法，得a＝－2或a＝eq\f(2,3)；②当B＝∅时，由ax－2＝0无实数根，得a＝0.综上可知，实数a组成的集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(2,3)))第2讲函数一、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。3、不同位置的点的坐标的特征①各象限内点的坐标的特征ⅠⅡ点P(x,y)在第一象限ⅠⅡ点P(x,y)在第二象限ⅣⅢ点P(x,y)在第三象限ⅣⅢ点P(x,y)在第四象限②坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数⑥点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于⑦对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）.⑧坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1） 4、函数平移规律：左加右减、上加下减二、基本初等函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线P(x0y0)bxyy=kx+bA(x1,y1)P(x0y0)bxyy=kx+bA(x1,y1)B(x2,y2)0da3、斜率：①直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝kx＋b(k≠0)②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:③由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：Y④设两条直线分别为，：：若YA若，则有且。A⑤点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:XB4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）XB如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。6、（1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。

（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；

（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；

（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5）几条直线互相平行时，k值相等而b不相等。反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k是常数，k≠0)反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k(k≠0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。2、反比例函数y=(k≠0)的图象的画法画图方法：描点法。

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。

特点：y==kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴、y轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。3、反比例函数的性质和图像反比例函数K的符号k>0k<0图像yOxyOx性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何的意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=二次函数1、二次函数的概念：一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：5.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小①当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。相等，抛物线的开口大小、形状相同.越大，图像开口越小，越小，图像开口越大。②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.6、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()7、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。8、二次函数的图象函数二次函数图像a>0a<0y0xyx性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，9.抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点()抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；③没有交点()抛物线与轴相离.（3）平行于轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.反比例函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解来确定。（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故基10、牛刀小试1、函数和函数的图象有个交点；2、反比例函数的图象经过（－，5）点、（）及（）点，则＝，＝，＝；3、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为；4、已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（，1），则＝，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；6、是关于的反比例函数，且图象在第二、四象限，则的值为；7、若与－3成反比例，与成正比例，则是的（）A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定8、若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（）A、－1或1B、小于的任意实数C、－1Ｄ、不能确定10、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（）A、<0，>0 B、>0，<0 C、、同号D、、异号11、已知反比例函数的图象上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是（）A、正数B、负数C、非正数D、不能确定12、在同一坐标系中，函数和的图象大致是（）ABCD13、已知直线与反比例函数的图象交于AB两点,且点A的纵坐标为-1,点B的横坐标为2,求这两个函数的解析式.14、已知函数，其中成正比例,成反比例,且当15、已知,正比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数在每一象限内的增大而减小,一次函数过点.（1）求的值.（2）求一次函数和反比例函数的解析式.16．填表指出下列函数的各个特征。函数解析式开口方向对称轴顶点坐标最大或最小值与轴的交点坐标与轴有无交点和交点坐标三、函数及其相关概念1、初中学习了哪些函数?、、、2、在初中，函数的概念是如何理解的？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有唯一的y值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；自变量x的取值的集合叫函数的定义域，和自变量x值对应的y的值组成的集合叫做函数的值域。3、下面先看几个实例：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是：h=130t-5t2(*)tth26s845这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关