数分课件-第四章

第四章函数的连续连续性概连续函数的性初等函数的连续4.1连续性概一、函数在一点的连续函数的增

fx)在Ux0内有定义

xU(x0x

xx0

称为自变量在

x0的增量y

f(x)

fx0称为函

fx)相应于x的增量yyyyf(0x0xyyf(0x0x连续的定1设函数

x在

x0)

数的增量y也趋向于零,即limy x0lim[x0

f(

x)

f(x0)]

0,那末就称函fx)在点x0连续,x

称为

x

xx,

y

f(x)

f(x00x0

0x

x0

y

0

f(x)

f(x0定义2设函数

x在

x0)内有定义,如果

x当x

x0时的极限存在,且等于它在0点x0

f(

),即

x

f(x)

f(x0

fx在点x

0""定义00,

x

时

(x)

f(x0

xx0

f(x)

f(x0

在x0有定极限存在左右极限存在并相例1

f(x)

xsin1

x

在x处连续

x证x0

xsinx

f(0

f(x)

f由定义2

x)

0处连续单侧连若函数

x)在

x0内有定义且

(

0)

f(x0则称

x)在点x0处左连续若函数

x)在x0b)内有定义且

(

0)

f(x0则称

(x)在点x0处右连续定理

fx)

x0

fx)例2连续性

f(x)

xxx

xx

x

f(x)

lim(x2)

f

f(x)

lim(

2)

2

f右连续但不左连续故函

fx)在点

0处不连续连续函数与连续区

(a,b内连续

xa处右连续

在右端点

b处左连续,fx)在闭区间[a,b]上连续例如,有理整函数在区间(,)内是连续的例3

x在区间(,)内连续证

x(,),y

sin(x

x)sin

2sin222

x)

x)

2 对任意的当

有sin

2

x

当

0时

22

x对任

x(,)都是连续的例4证

yax在(,)内连 只须证

对

(,)，limaxxx0

ax0limy

lim[ax0

ax0

ax0

ax0

lim00

故y

ax在

(,)处连二、函数的间断

在点x0处连续必须满足的三个条件fx)在点x0处有定义

x

fx)

x

f(x)

f(x0如果上述三个条件中只要有一个不满足,

在点x0处不连续(或间断

并称点x0fx)的不连续点(或间断点在x0及其附近定义

或

(x)在x0无定义极限存

f(x)不存在跳跃间断

x)在点x0处左

存在,但

(

0)

f(

则称点

0fx)的跳跃间断点0例5

f(x)

x在

0处的连续性1x,

x解f(00

f(0

0) f(00)

f(0

x

0为函数的跳跃间断点 可去间断点fx)在点x0但x

f(x)A

f(x0

fx)在点

0义则称点x00

fx)的可去间断点例6 x,

0

y1f(x)

xx

y 1在x

解

f(10) f(10)lim

f(x)

fx

0为函数的可去间断点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例6中

令f(1) fx)

x,1

0x

在x

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类特点函数在点x0处的左、右极限都存在第二类间断

在点x0

则称点x0fx)的第二类间断点例7讨论函

f(x)

1

x0,在

0处的连续性yoxyox

xf(00

f(0

0)

x

1为函数的第二类间断点这种情况称为无穷间断点第一类间断 第二类间断

第一类间断

1.f

还没有支撑x

f(x)

y

f(x)f(x)在x0处的值 f(x0)f(x)在x0处连续这种间断点称为可去间断点

补充补充定义f(x0)xx0 f(x)xx0f(x)情形1.：f(x)在x0处有或无但 f(x)xx0xx0f(x)存在 f(x)xf(x)在x0f(x0)f(x)在x0处连续这种间断点称为可去间断点Oy哎正好yf(x)●●Ax x情形情形1.2：f(x)在x0处有定义但fx0)哎在这种情形下 f(x)x存在，但是Af(x0).因此如果我们修改定义f(x)在x0处的值为f(x0)那么这个新的f(x)在x0处连续这种间断点称为可去间断点Oy正好●yf(x)●●Axxx修改定义f(x0)情形情形1.2：f(x)在x0处有定义但fx0)哎y在这种情形下，正好 f(x)x●yf(x)存在，但是Af(x0).因此如果我们修改定义f(x)在x0处的值为f(x0)那么这个新的f(x)在x0处连续●●A这种间断点称为可去间断点Oxx0xx修改定义f(x0)情形

(x)在x0. xx0y

(x)

xx0

f(x),都存在

这点放哪儿能上呢 在这种情形下在这种情形下 f(x)xf(x)在x0处连续但分别考虑x0的左右两边，f(x)的单侧极这种间断点称为跳跃间断点●

(x)● 情形3：f(x)在x0处

x

xx0

f(x)

和xx0

f(x)一个为或或此时，直

y

(x)x称为y

f(x)的渐进 ●

4：fx)在x0处有

（无）定y1

ysinx x●：Hi,蓝点，你停不住，

●：Hi,红点，你能不能停例8讨论函

f(x)

1在x

0处的连续性在x0处没有定义1且x0

不存在xx

0yysinx这种情况称为的振荡间断点注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 雷函yD(x)

当x是无理数时★f(x)

当x是有理数时 x,

当x是无理数时仅在x=0处连续,其余各点处处间断★f(x)

当x是有理数时

当x是无理数时在定义R内每一点处都间断,但其绝对值处判断下列间断点类型yyfx 例9当a取何值时afxa

cos

x

x

0处连续解f(0

x

f(x)

limcosx

f(x)

lim(a

x)a,

(00)

f(0

0)

f

a故当且仅

时

x)

0处连续例 讨

f(x)

lim1

x2n2n

xn1若有间断点判别其类型，并作出图解由于

故若

f(x)

xlim1

x2n2n n1若|

1

x2n

(1)2nf(x)

xn1

x2n

x

(1)2n

若|

f(x) 0 f(x)0

|x||x|x|x|fx)除去

1

当x

f(10)f(10)1都是第一类间断点（跳跃间断点三、小函数在一点连续必须满足的三个条件区间上的连续函数间断点的分类与判别间断

第二类间断点:无穷型,振荡型

(见下图y可去oy可去ox yoyox无穷

跳跃xx振荡0思考00fx在x0连续，则0

fx|

2x)在x否连续？又若x0是否连续？

fx|

2x)在x