74基本不等式及不等式的应用课件

高考数学(浙江专用)§7.4基本不等式及不等式的应用高考数学(浙江专用)§7.4基本不等式及不等式的应用考点一

基本不等式(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是

.答案

A组

自主命题·浙江卷题组五年高考解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥

,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥

=

,∴a2≤

,∴-

≤a≤

,故a的最大值为

.A组

自主命题·浙江卷题组五年高考解析∵b2+c2≥2b2考点二

不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)=

|sin2πx|,ai=

,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则

()A.I1<I2<I3

B.I2<I1<I3

C.I1<I3<I2

D.I3<I2<I1

答案

B

ai∈[0,1],且a0<a1<…<a99,而f1(x)在[0,1]上为增函数,故有f1(a0)<f1(a1)<…<f1(a99),则I1=[f1(a1)-f1(a0)]+[f1(a2)-f1(a1)]+…+[f1(a99)-f1(a98)]=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1.f2(x)在

上为增函数,在

上为减函数,而a49<

<a50,且a49+a50=1,即有f2(a49)=f2(a50),故I2=[f2(a1)-f2(a0)]+…+[f2(a50)-f2(a49)]+[f2(a50)-f2(a51)]+…+[f2(a98)-f2(a99)]=f2(a50)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2

-f2(0)-f2(1)=4×

×

=

=1-

∈(0,1).考点二

不等式的综合应用答案

B

ai∈[0,3f3(x)在

上为增函数,在

上为减函数,在

上为增函数,在

上为减函数,即f3(x)在[a0,a24]上为增函数,在[a25,a49]上为减函数,在[a50,a74]上为增函数,在[a75,a99]上为减函数.又f3(a24)

=

·

=

sin

π,f3(a25)=

=

sin

π,则f3(a25)>f3(a24).f3(a49)=

=

sin

,

f3(a50)=

=

sin

,即有f3(a49)=f3(a50).f3(a74)=

=

sin

π,f3(a75)=

=

sin

π=

sin

<f3(a74).故有f3(a0)<f3(a1)<…<f3(a24)<f3(a25),f3(x)在 上为增函数,在 上为减函数,在 上为增函数,在4f3(a25)>f3(a26)>…>f3(a49)=f3(a50),f3(a50)<f3(a51)<…<f3(a74),f3(a74)>f3(a75)>…>f3(a99).从而I3={[f3(a1)-f3(a0)]+…+[f3(a25)-f3(a24)]}+{[f3(a25)-f3(a26)]+…+[f3(a49)-f3(a50)]}+{[f3(a51)-f3(a50)]+…+[f3(a74)-f3(a73)]}+{[f3(a74)-f3(a75)]+…+[f3(a98)-f3(a99)]}=[f3(a25)-f3(a0)]+[f3(a25)-f3(a50)]+[f3(a74)-f3(a50)]+[f3(a74)-f3(a99)]=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)=

-

+

=

sin

π-

sin

+

sin

π=

.而sin

π>sin

=

,sin

<sin

=

,则I3>

=

>1.所以I2<I1<I3.f3(a25)>f3(a26)>…>f3(a49)=f3(a52.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+

,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)

<f(x)≤

.证明(1)因为1-x+x2-x3=

=

,由于x∈[0,1],有

≤

,即1-x+x2-x3≤

,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+

≤x+

=x+

-

+

=

+

≤

,所以f(x)≤

.由(1)得f(x)≥1-x+x2=

+

≥

,又因为f

=

>

,所以f(x)>

.综上,

<f(x)≤

.2.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+ 6疑难突破

(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3≤

成立,而左边=

=

≤

=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0≤x≤1⇒x3≤x,从而f(x)=x3+

≤x+

,而x+

=x+

-

+

=

+

≤

,由(1)及f

=

>

得f(x)>

,从而问题得证.疑难突破

(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明7考点一

基本不等式1.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交

AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为

.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一

基本不等式B组

统一命题、省(区、市)卷题组8解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即

csin60°+

asin60°=

acsin120°,∴a+c=ac,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解1

作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,答案9解析本题考查基本不等式及其应用.答案99

∴

=

=

,∵DE∥CB,∴

=

=

=

,∴

=

,

=

.∴

=

+

.∴

=

,∴1=

+

+2·

·

|

|·|

|×

,∴1=

,∴ac=a+c,∴

+

=1,

10∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解2

以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

,C

.∵A,D,C三点共线,∴

∥

,∴

+

c

=0,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.∴4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当 = ,112.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+

的最小值为

.答案

解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+

取得最小值,为

.易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.2.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b123.(2017山东文,12,5分)若直线

+

=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

.答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值为8.3.(2017山东文,12,5分)若直线 + =1(a>0,134.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则

的最小值为

.答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

当且仅当4ab=

时“=”成立

,故当且仅当

时,

的最小值为4.规律方法

利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须

一致.4.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则145.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.答案85.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若si15解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC为锐角三角形,∴tanA=

>0,tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,则t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,当且仅当t=

,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.解析∵sinA=2sinBsinC,16考点二

不等式的综合应用1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=

设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,则a的取值范围是

()A.

B.

C.[-2

,2]

D.

答案

A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最大值-

;由y=x2-

x+3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最小值

,则-

≤a≤

.考点二

不等式的综合应用答案

A本题考查分段函数的17②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,由于x>1,所以-

≤-2

=-2

,当且仅当x=

时取得最大值-2

;因为x>1,所以

x+

≥2

=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2,故选A.思路分析讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥ 在R上恒成立等价于-182.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总

存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是

.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=

×6+4x=4

≥240.当且仅当x=

,即x=30时,等号成立.易错警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600193.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+

a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是

.答案

解析令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=

,依题意得a2+

a+2≤

⇒-1≤a≤

.3.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+204.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由题设a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.因此

+

>

+

.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得

+

>

+

.(ii)若

+

>

+

,则(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.4.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数21因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是225.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=

+

.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=

+

=

,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2

=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1

矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.5.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a23考点一

基本不等式1.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),9)已知x+y=

+

+8(x,y>0),则x+y的最小值为

()A.5

B.9

C.4+

D.10三年模拟A组2016—2018年高考模拟·基础题组答案

B

x+y=

+

+8⇒x+y-8=

+

⇒(x+y-8)(x+y)=

(x+y)=5+

+

+4≥5+2

=9,当且仅当

=

,即y=2x时等号成立.令t=x+y,则(t-8)t≥9⇒t2-8t-9≥0⇒(t+1)(t-9)≥0⇒t≤-1或t≥9.因为x,y>0,所以t>0,所以t≥9.故选B.考点一

基本不等式三年模拟A组2016—2018年高考242.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为

.答案[-2,-1)解析由1=x2+4y2-2xy知1+6xy=(x+2y)2,所以(x+2y)2=1+6xy=1+3·x·2y≤1+3

,所以(x+2y)2≤4,故-2≤x+2y≤2,又x<0,y<0,所以(x+2y)2=1+6xy>1,故x+2y<-1,因此-2≤x+2y<-1.2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2253.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,c满足a(a+b+c)=bc,则

的最大值是

.答案

解析由基本不等式知,a(a+b+c)=bc≤

,即a2+(b+c)a-

≤0,即

+

-

≤0,所以

≤

,所以0<

≤

,因此

的最大值是

.3.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,264.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为

.答案55解析由题知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y,而(x+3)(y+2)=48,因此144=(3x+9)(y+2)≤

,因此3x+y≥13,当且仅当3x+9=y+2,即

时,取等号.故xy+5x+4y=42+3x+y≥55,则xy+5x+4y的最小值为55.一题多解

因为正实数x,y满足xy+2x+3y=42,所以y=

,其中0<x<21.则xy+5x+4y=3x+

+42=3

+31≥3×2

+31=55,当且仅当

即

时,取等号.所以xy+5x+4y的最小值为55.4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,27考点二

不等式的综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,10)已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,a>b>c,则

的取值范围是

()A.

B.

C.(-

,

)

D.

考点二

不等式的综合应用28答案

A由题可知a>0,将c=-(a+b)代入a>b>c可得a>b>-(a+b),所以-

<

<1.所以

=

=

=

.当

=0时,

=0;当

∈

时,

=-

,设t=

,则t∈(-∞,-2),此时

=-

∈

;当

∈(0,1)时,

=

,设t=

,则t∈(1,+∞),此时

=

∈

.综上,

的取值范围是

,故选A.答案

A由题可知a>0,将c=-(a+b)代入a>b292.(2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b的最

小值等于

.答案4

-3解析将a2b+ab2+ab+a+b=3变形为(ab+1)(a+b+1)=4,而2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-3≥2

-3=4

-3,当且仅当

时取到等号.2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是303.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且

+

≤m

恒成立,则m的最小值是

.答案2

解析由题意知,当4y>x>0时,m≥

恒成立.∵

=

+

=

=

≤

=2

(当且仅当x=2y时等号成立),∴m≥2

,故m的最小值为2

.3.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,314.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得

=

,则实数x的最大值为

.答案

解析将条件变形为

-

=4y+5x,易知

-5x=4y+

≥4(当且仅当y=2时,等号成立),所以

≤0,解得x∈(-∞,-1]∪

,故x的最大值为

.4.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得32一、选择题1.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围

为

()A.

B.[1,4]C.[2,4]

D.[2,9]B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间：30分钟分值：42分)B组2016—2018年高考模拟·综合题组33答案

A解法一:令

=z,则x+y+2z=1,满足x,y,z≥0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围.设点A

,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则|OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围.显然|OP|≤1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是

可以得到|OP|≥

,所以|OP|2∈

,即4(x2+y2+z2)∈

.

答案

A解法一:令 =z,则x+y+2z=1,满足x34解法二:因为x,y≥0,所以

≤x2+y2≤(x+y)2,令t=x+y,则0≤t≤1.4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2+(1-t)2=5t2-2t+1≤4.当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号.另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)2≥2t2+(1-t)2=3t2-2t+1≥

.当x=y=

时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2∈

.解法二:因为x,y≥0,所以 ≤x2+y2≤(x+y)2,352.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是

(

)A.

B.3

C.1

D.2答案

A由x2+4xy-3=0,得y=

,即有x+y=x+

=

.∵x>0,∴x+

≥2,即x+y≥

,当且仅当x=

,即x=1,y=

时,x+y取得最小值

.故选A.2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4x363.(2016浙江镇海中学测试(三),4)已知2a+b+2ab=3,a>0,b>0,则2a+b的

()A.最大值为2

B.最大值为3-

C.最小值为2

D.最小值为3-

答案

C∵a>0,b>0,∴3-(2a+b)=2ab≤

,即(2a+b)2+4(2a+b)-12≥0,∴2a+b≥2,故选C.3.(2016浙江镇海中学测试(三),4)已知2a+b+2a37二、填空题4.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),16)已知x>3y>0或x<3y<0,则(x-2y)2+

的最小值是

.答案8解析(x-2y)2+

≥(x-2y)2+

=(x-2y)2+

≥8,当4y=x,x-2y=±2时取等号.二、填空题答案8解析(x-2y)2+ ≥(x-2y)2+385.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a>0,b>0,ab+2a+b-3=0,则

+

的最小值为

.答案

解析由ab+2a+b-3=0可得(a+1)(b+2)=5,故

+

≥2

=

,当且仅当

=

时取等号.5.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a>396.(2018浙江台州第一次调考(4月),14)若实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为

,

(x+2y)+2xy的最大值为

.答案-4

;166.(2018浙江台州第一次调考(4月),14)若实数x,y40解析将x2+4y2+4xy+4x2y2=32整理,得(x+2y)2+(x·2y)2=32,设

则

作出可行域.显然u的最小值为-4

.设

(x+2y)+2xy=t,即

u+v=t,当

u+v-t=0与圆u2+v2=32相切时,

u+v取得最值,此时

=4

,解得t=16或t=-16(舍),所以

u+v的最大值为16.评析我们也可以利用柯西不等式求

u+v的最大值,

u+v≤

=16,当且仅当

=

=

=2,即u=2

,v=2时取等号.解析将x2+4y2+4xy+4x2y2=32整理,得(x+417.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式

≥

恒成立的k的最大值为

.7.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>42答案2

解析解法一:设x=m+t,y=m-t,其中m=

,0≤t<m.则原不等式化为

≥

,所以t2≥

恒成立.由

≤0,解得0<m2≤2+

,所以m2的最大值为2+

,所以k的最大值为2

.解法二:由基本不等式,知k=x+y≥2

,所以xy≤

,当且仅当x=y=

时,等号成立.

=xy+

+

-2=xy+

-2,因此有

≤

,故k4-16k2-16≥0,解得k2≥4

+8,因此k的最小值为2

.答案2 解析解法一:设x=m+t,y=m-t,其中m=438.(2017浙江镇海中学模拟卷四,16)已知正数x,y满足

+

=1,则

+

的最大值是

.答案

解析设u=

,v=

,则问题转化为“已知正数u,v满足u+2v=1,求

+

的最大值”.

+

=3-

=3-

·

[(u+1)+2(v+1)]=3-

≤3-

×(5+4)=

.当且仅当

=

,即u=v=

时,取等号.8.(2017浙江镇海中学模拟卷四,16)已知正数x,y满足449.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足

则xyz的最小值为

.答案9

-32解析将

变形为

由|xy|≤

知,|1-2z|≤

,即-

≤1-2z≤

,解得2-

≤z≤

-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在[2-

,

-2]上的最小值为9

-32.9.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y4510.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则

+

的最小值为

.答案3解析由a,b>0,得

+

≥a,

+

≥b,所以

+

≥a+b-

=

=3,当且仅当

即a=4,b=2时取等号.故

+

的最小值为3.10.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数46高考数学(浙江专用)§7.4基本不等式及不等式的应用高考数学(浙江专用)§7.4基本不等式及不等式的应用考点一

基本不等式(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是

.答案

A组

自主命题·浙江卷题组五年高考解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥

,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥

=

,∴a2≤

,∴-

≤a≤

,故a的最大值为

.A组

自主命题·浙江卷题组五年高考解析∵b2+c2≥2b48考点二

不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)=

|sin2πx|,ai=

,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则

()A.I1<I2<I3

B.I2<I1<I3

C.I1<I3<I2

D.I3<I2<I1

答案

B

ai∈[0,1],且a0<a1<…<a99,而f1(x)在[0,1]上为增函数,故有f1(a0)<f1(a1)<…<f1(a99),则I1=[f1(a1)-f1(a0)]+[f1(a2)-f1(a1)]+…+[f1(a99)-f1(a98)]=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1.f2(x)在

上为增函数,在

上为减函数,而a49<

<a50,且a49+a50=1,即有f2(a49)=f2(a50),故I2=[f2(a1)-f2(a0)]+…+[f2(a50)-f2(a49)]+[f2(a50)-f2(a51)]+…+[f2(a98)-f2(a99)]=f2(a50)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2

-f2(0)-f2(1)=4×

×

=

=1-

∈(0,1).考点二

不等式的综合应用答案

B

ai∈[0,49f3(x)在

上为增函数,在

上为减函数,在

上为增函数,在

上为减函数,即f3(x)在[a0,a24]上为增函数,在[a25,a49]上为减函数,在[a50,a74]上为增函数,在[a75,a99]上为减函数.又f3(a24)

=

·

=

sin

π,f3(a25)=

=

sin

π,则f3(a25)>f3(a24).f3(a49)=

=

sin

,

f3(a50)=

=

sin

,即有f3(a49)=f3(a50).f3(a74)=

=

sin

π,f3(a75)=

=

sin

π=

sin

<f3(a74).故有f3(a0)<f3(a1)<…<f3(a24)<f3(a25),f3(x)在 上为增函数,在 上为减函数,在 上为增函数,在50f3(a25)>f3(a26)>…>f3(a49)=f3(a50),f3(a50)<f3(a51)<…<f3(a74),f3(a74)>f3(a75)>…>f3(a99).从而I3={[f3(a1)-f3(a0)]+…+[f3(a25)-f3(a24)]}+{[f3(a25)-f3(a26)]+…+[f3(a49)-f3(a50)]}+{[f3(a51)-f3(a50)]+…+[f3(a74)-f3(a73)]}+{[f3(a74)-f3(a75)]+…+[f3(a98)-f3(a99)]}=[f3(a25)-f3(a0)]+[f3(a25)-f3(a50)]+[f3(a74)-f3(a50)]+[f3(a74)-f3(a99)]=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)=

-

+

=

sin

π-

sin

+

sin

π=

.而sin

π>sin

=

,sin

<sin

=

,则I3>

=

>1.所以I2<I1<I3.f3(a25)>f3(a26)>…>f3(a49)=f3(a512.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+

,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)

<f(x)≤

.证明(1)因为1-x+x2-x3=

=

,由于x∈[0,1],有

≤

,即1-x+x2-x3≤

,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+

≤x+

=x+

-

+

=

+

≤

,所以f(x)≤

.由(1)得f(x)≥1-x+x2=

+

≥

,又因为f

=

>

,所以f(x)>

.综上,

<f(x)≤

.2.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+ 52疑难突破

(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3≤

成立,而左边=

=

≤

=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0≤x≤1⇒x3≤x,从而f(x)=x3+

≤x+

,而x+

=x+

-

+

=

+

≤

,由(1)及f

=

>

得f(x)>

,从而问题得证.疑难突破

(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明53考点一

基本不等式1.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交

AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为

.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一

基本不等式B组

统一命题、省(区、市)卷题组54解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即

csin60°+

asin60°=

acsin120°,∴a+c=ac,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解1

作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,答案9解析本题考查基本不等式及其应用.答案955

∴

=

=

,∵DE∥CB,∴

=

=

=

,∴

=

,

=

.∴

=

+

.∴

=

,∴1=

+

+2·

·

|

|·|

|×

,∴1=

,∴ac=a+c,∴

+

=1,

56∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解2

以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

,C

.∵A,D,C三点共线,∴

∥

,∴

+

c

=0,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.∴4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当 = ,572.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+

的最小值为

.答案

解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+

取得最小值,为

.易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.2.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b583.(2017山东文,12,5分)若直线

+

=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

.答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值为8.3.(2017山东文,12,5分)若直线 + =1(a>0,594.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则

的最小值为

.答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

当且仅当4ab=

时“=”成立

,故当且仅当

时,

的最小值为4.规律方法

利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须

一致.4.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则605.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.答案85.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若si61解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC为锐角三角形,∴tanA=

>0,tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,则t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,当且仅当t=

,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.解析∵sinA=2sinBsinC,62考点二

不等式的综合应用1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=

设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,则a的取值范围是

()A.

B.

C.[-2

,2]

D.

答案

A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最大值-

;由y=x2-

x+3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最小值

,则-

≤a≤

.考点二

不等式的综合应用答案

A本题考查分段函数的63②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,由于x>1,所以-

≤-2

=-2

,当且仅当x=

时取得最大值-2

;因为x>1,所以

x+

≥2

=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2,故选A.思路分析讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥ 在R上恒成立等价于-642.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总

存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是

.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=

×6+4x=4

≥240.当且仅当x=

,即x=30时,等号成立.易错警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600653.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+

a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是

.答案

解析令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=

,依题意得a2+

a+2≤

⇒-1≤a≤

.3.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+664.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由题设a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.因此

+

>

+

.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得

+

>

+

.(ii)若

+

>

+

,则(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.4.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数67因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是685.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=

+

.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=

+

=

,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2

=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1

矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.5.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a69考点一

基本不等式1.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),9)已知x+y=

+

+8(x,y>0),则x+y的最小值为

()A.5

B.9

C.4+

D.10三年模拟A组2016—2018年高考模拟·基础题组答案

B

x+y=

+

+8⇒x+y-8=

+

⇒(x+y-8)(x+y)=

(x+y)=5+

+

+4≥5+2

=9,当且仅当

=

,即y=2x时等号成立.令t=x+y,则(t-8)t≥9⇒t2-8t-9≥0⇒(t+1)(t-9)≥0⇒t≤-1或t≥9.因为x,y>0,所以t>0,所以t≥9.故选B.考点一

基本不等式三年模拟A组2016—2018年高考702.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为

.答案[-2,-1)解析由1=x2+4y2-2xy知1+6xy=(x+2y)2,所以(x+2y)2=1+6xy=1+3·x·2y≤1+3

,所以(x+2y)2≤4,故-2≤x+2y≤2,又x<0,y<0,所以(x+2y)2=1+6xy>1,故x+2y<-1,因此-2≤x+2y<-1.2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2713.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,c满足a(a+b+c)=bc,则

的最大值是

.答案

解析由基本不等式知,a(a+b+c)=bc≤

,即a2+(b+c)a-

≤0,即

+

-

≤0,所以

≤

,所以0<

≤

,因此

的最大值是

.3.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,724.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为

.答案55解析由题知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y,而(x+3)(y+2)=48,因此144=(3x+9)(y+2)≤

,因此3x+y≥13,当且仅当3x+9=y+2,即

时,取等号.故xy+5x+4y=42+3x+y≥55,则xy+5x+4y的最小值为55.一题多解

因为正实数x,y满足xy+2x+3y=42,所以y=

,其中0<x<21.则xy+5x+4y=3x+

+42=3

+31≥3×2

+31=55,当且仅当

即

时,取等号.所以xy+5x+4y的最小值为55.4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,73考点二

不等式的综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,10)已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,a>b>c,则

的取值范围是

()A.

B.

C.(-

,

)

D.

考点二

不等式的综合应用74答案

A由题可知a>0,将c=-(a+b)代入a>b>c可得a>b>-(a+b),所以-

<

<1.所以

=

=

=

.当

=0时,

=0;当

∈

时,

=-

,设t=

,则t∈(-∞,-2),此时

=-

∈

;当

∈(0,1)时,

=

,设t=

,则t∈(1,+∞),此时

=

∈

.综上,

的取值范围是

,故选A.答案

A由题可知a>0,将c=-(a+b)代入a>b752.(2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b的最

小值等于

.答案4

-3解析将a2b+ab2+ab+a+b=3变形为(ab+1)(a+b+1)=4,而2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-3≥2

-3=4

-3,当且仅当

时取到等号.2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是763.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且

+

≤m

恒成立,则m的最小值是

.答案2

解析由题意知,当4y>x>0时,m≥

恒成立.∵

=

+

=

=

≤

=2

(当且仅当x=2y时等号成立),∴m≥2

,故m的最小值为2

.3.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,774.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得

=

,则实数x的最大值为

.答案

解析将条件变形为

-

=4y+5x,易知

-5x=4y+

≥4(当且仅当y=2时,等号成立),所以

≤0,解得x∈(-∞,-1]∪

,故x的最大值为

.4.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得78一、选择题1.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围

为

()A.

B.[1,4]C.[2,4]

D.[2,9]B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间：30分钟分值：42分)B组2016—2018年高考模拟·综合题组79答案

A解法一:令

=z,则x+y+2z=1,满足x,y,z≥0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围.设点A

,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则|OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围.显然|OP|≤1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是

可以得到|OP|≥

,所以|OP|2∈

,即4(x2+y2+z2)∈

.

答案

A解法一:令 =z,则x+y+2z=1,满足x80解法二:因为x,y≥0,所以

≤x2+y2≤(x+y)2,令t=x+y,则0≤t≤1.4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2