第四章第四节-大数定律与中心极限定理-概率论课件

第四章第四节大数定律与中心极限定理第四章第四节概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来.所以，要从随机现象中去寻求这种规律，就应该对随机现象进行大量的观测.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学

研究随机现象的大量观测,常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究.极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种:

“大数定律”与“中心极限定理”在介绍“大数定律”与“中心极限定理”之前，我们先介绍一个重要的不等式。研究随机现象的大量观测,常采用极限形式一、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.一、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v

X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为

P(5200X9400)例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是730P(5200X9400)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.P(5200X9400)=P(5例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改写为在切比雪夫不等式中取n，则=P{|X-E(X)|<0.01n}=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=解得依题意，取

即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.解得依题意，取即n取18750时，可以使得在n次独大量的随机现象中平均结果的稳定性

二、大数定律大量地掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中废品率……大量的随机现象中平均结果的稳定性二、大数定律几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限方差，且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,….切比雪夫则对任意的ε>0，有几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）该大数定律表明：对独立随机变量序列{Xn}，若其方差有共同上界，则与其数学期望偏差很小的概率接近于1.随机变量，其取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的概率描述.该大数定律表明：对独立随机变量序列{Xn}，证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等式.设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,等价形式为证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有如下定理.定理2（也称独立同分布下大数定律）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给

>0,有作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有如下定理.下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律.

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是事件A发生的概率.引入i=1,2,…,n则

是事件A发生的频率.下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律.于是,有下面定理.设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是事件A发生的概率，对任给的ε>0，有定理3（贝努里大数定律）或于是,有下面定理.设Sn是n贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A发生的概率p有一定偏差的概率很小.下面给出的独立同分布条件下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理4（辛钦大数定律）辛钦辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.设随机变量序列X1,X2,…独立同分布例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀因此，当n充分大时，原理是什么呢？设X~U(0,1)由大数定律因此，当n充分大时，原理是什么呢？设X~U(0,1)由大应如何近似计算？请思考.

问：若求的值定积分计算演示应如何近似计算？请思考.问：若求的值定积分计算演示这一小节我们介绍了四个大数定律.它表达了随机现象最根本的性质之一它是随机现象统计规律性的具体表现，在理论和实际中都有广泛应用.平均结果的稳定性这一小节我们介绍了四个大数定律.它表达了随机现象最根本的性质

三、中心极限定理在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.三、中心极限定理在实际问题中，常常

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因

在实际问题中，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每个因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似地服从正态分布。自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现:正态分布在自然界中极为常见.在实际问题中，如果一个量是由大量相现在我们来研究独立同分布随机变量之和所特有的规律性.当n无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？现在我们来研究独立同分布随机变量之和所特有由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量的分布函数的极限.由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研的分布函数的极限.可以证明：当{Xk

}满足一定条件时，上述极限分布是标准正态分布.考虑这就是下面要介绍的——中心极限定理.的分布函数的极限.可以证明：当{Xk}概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理.我们只讨论中心极限定理的几种简单情形.下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛定理1（列维一林德伯格定理）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且E(X1)=,Var(X1)=，i=1,2,…，则任给x∈(-∞,∞),均有定理1（列维一林德伯格定理）设X1,X2,…是独立同上式还有另一记法:记有上式还有另一记法:记虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+…+Xn的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.第二章中介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况.它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有

定理表明:当n很大，0<p<1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项随机变量Yn标准化后的分布近似正态分布N[np,np(1-p)].定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量服从参下面我们举例说明中心极限定理的应用中心极限定理的客观背景例:20个0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh下面我们举例说明中心极限定理的应用中心极限定理的客观背景例:不知大家是否还记得街头赌博的演示?现在我们用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.请看演示：高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验不知大家是否还记得街头赌博的演示?现在我们用中心极限如图,钉板有n=16层，可以求出标准差

n次碰钉后小球的位置Yn近似服从正态分布N(0,n).E(Yn)=0,Var(Yn)=n.左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线说,落在这以外的概率只有4%左右.即是如图,钉板有n=16层，可以求出标准差如图钉板有n=16层，可以求出标准差

根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,即是说,落在这以外的概率只有4%左右.现在你知道为什么摆摊的人敢于在上面放那么值钱的东西了吧!如图钉板有n=16层，可以求出标准差根据正态分

设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.求(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少.(2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少.

n=100,设Xi是第i件产品的强度.E(Xi)=14,Var(Xi)=4,i=1,2,,100.每箱产品的平均强度为解:例3设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每根据定理1，有近似∼N(0,1),故根据定理1，有近似∼N(0,1),故例4一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.解设为第个螺丝钉的重量,且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量为且由知例4一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重由中心极限定理有由中心极限定理有例5计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原则.为简单计.现在对小数点后面第一位进行舍入运算,则误差可以认为服从上的均匀分布.若在一项计算中进行了100次数字计算,求平均误差落在区间上的概率.解用表示第次运算中产生的误差.相互独立,都服从上的均匀分布,且例5计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原则.为简单计.现在从而近似故平均误差落在上的概率为从而近似故平均误差落在上的概率为

某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费160元.若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险.求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.解:例6某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交∴Xi∼b(1,p),P=0.005,X1,X2,,X5000相互独立.则:

P{20万元≤总收益≤40万元}=P{20万元≤0.016万元保险费参保人数-2万元赔金一年内发生重大人身事故的人数≤40万元}=P{20≤0.0165000-2(X1+X2++X5000)≤40}∴Xi∼b(1,p),P=0.005,P{20∵np=25np(1-p)=250.995，

∴总收益在20万元到40万元之间的概率为0.6826.∵np=25np(1-p)=250.995，∴这一讲我们介绍了中心极限定理在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.这一讲我们介绍了中心极限定理在后面的课程中，我们还作业第116-117页习题4－41，5，10作业要求

写出求解过程，问答题要说明原因不用抄书本上的题目，写清序号即可作业第116-117页习题4－4第四章第四节大数定律与中心极限定理第四章第四节概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来.所以，要从随机现象中去寻求这种规律，就应该对随机现象进行大量的观测.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学

研究随机现象的大量观测,常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究.极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种:

“大数定律”与“中心极限定理”在介绍“大数定律”与“中心极限定理”之前，我们先介绍一个重要的不等式。研究随机现象的大量观测,常采用极限形式一、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.一、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v

X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为

P(5200X9400)例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是730P(5200X9400)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.P(5200X9400)=P(5例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改写为在切比雪夫不等式中取n，则=P{|X-E(X)|<0.01n}=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=解得依题意，取

即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.解得依题意，取即n取18750时，可以使得在n次独大量的随机现象中平均结果的稳定性

二、大数定律大量地掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中废品率……大量的随机现象中平均结果的稳定性二、大数定律几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限方差，且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,….切比雪夫则对任意的ε>0，有几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）该大数定律表明：对独立随机变量序列{Xn}，若其方差有共同上界，则与其数学期望偏差很小的概率接近于1.随机变量，其取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的概率描述.该大数定律表明：对独立随机变量序列{Xn}，证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等式.设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,等价形式为证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有如下定理.定理2（也称独立同分布下大数定律）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给

>0,有作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有如下定理.下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律.

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是事件A发生的概率.引入i=1,2,…,n则

是事件A发生的频率.下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律.于是,有下面定理.设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是事件A发生的概率，对任给的ε>0，有定理3（贝努里大数定律）或于是,有下面定理.设Sn是n贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A发生的概率p有一定偏差的概率很小.下面给出的独立同分布条件下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理4（辛钦大数定律）辛钦辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.设随机变量序列X1,X2,…独立同分布例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀因此，当n充分大时，原理是什么呢？设X~U(0,1)由大数定律因此，当n充分大时，原理是什么呢？设X~U(0,1)由大应如何近似计算？请思考.

问：若求的值定积分计算演示应如何近似计算？请思考.问：若求的值定积分计算演示这一小节我们介绍了四个大数定律.它表达了随机现象最根本的性质之一它是随机现象统计规律性的具体表现，在理论和实际中都有广泛应用.平均结果的稳定性这一小节我们介绍了四个大数定律.它表达了随机现象最根本的性质

三、中心极限定理在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.三、中心极限定理在实际问题中，常常

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因

在实际问题中，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每个因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似地服从正态分布。自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现:正态分布在自然界中极为常见.在实际问题中，如果一个量是由大量相现在我们来研究独立同分布随机变量之和所特有的规律性.当n无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？现在我们来研究独立同分布随机变量之和所特有由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量的分布函数的极限.由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研的分布函数的极限.可以证明：当{Xk

}满足一定条件时，上述极限分布是标准正态分布.考虑这就是下面要介绍的——中心极限定理.的分布函数的极限.可以证明：当{Xk}概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理.我们只讨论中心极限定理的几种简单情形.下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛定理1（列维一林德伯格定理）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且E(X1)=,Var(X1)=，i=1,2,…，则任给x∈(-∞,∞),均有定理1（列维一林德伯格定理）设X1,X2,…是独立同上式还有另一记法:记有上式还有另一记法:记虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+…+Xn的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.第二章中介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况.它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有

定理表明:当n很大，0<p<1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项随机变量Yn标准化后的分布近似正态分布N[np,np(1-p)].定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量服从参下面我们举例说明中心极限定理的应用中心极限定理的客观背景例:20个0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh下面我们举例说明中心极限定理的应用中心极限定理的客观背景例:不知大家是否还记得街头赌博的演示?现在我们用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.请看演示：高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验不知大家是否还记得街头赌博的演示?现在我们用中心极限如图,钉板有n=16层，可以求出标准差

n次碰钉后小球的位置Yn近似服从正态分布N(0,n).E(Yn)=0,Var(Yn)=n.左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线说,落在这以外的概率只有4%左右.即是如图,钉板有n=16层，可以求出标准差如图钉板有n=16层，可以求出标准差

根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,即是说,落在这以外的概率只有4%左右.现在你知道为什么摆摊的人敢于在上面放那么值钱的东西了吧!如图钉板有n=16层，可以求出标准差根据正态分

设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.求(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率