2016考研数学线性代数基础讲义

第一章行列式n1,2,3,...,ni1i2n对于逆序，我们感的是一个n级排列i1,i2,排列的逆序数，记作i1i2in。(nn1n221)(n1)(n2)1n(n2

中逆序的总数，称为nn2个数aij（i,j1,2,n）排成的行列的方形表称为一个n阶行列式。它表示所有取自不不同列的n个元素乘积的代数和。

aa11 *

a2(

*

0D=001022300 设

2a 2b v2c3 行列式的式、代数划去元素aij所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行a的式，记为M，称A(1)ijM为a的代数式 D

M12 A12展开定理Dai1Ai1ai2Ai2ain a1jA1ja2jA2janj 行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代 式乘积的和等于ak1Ai1ak2Ai2aknAina1kA1ia2kA2iankAni

kik设有行列式D

a

3式M316，M32x，M3319，则x13230220 13230220 01121D

abb bab Dba bbb

Dn

1D

(xx abcabcb c 5 D

1ji 第二 矩 Aa 2nij

mn加法ABaij+bij)mn数乘kAkaij)mn CmnAms

A(BC)AB (BC)ABA 5 1 3 3

1 1nA2AB2BAB2ABABBAA(aij)mn AT(aji (AT)T (kA)T(AB)TAT (AB)TBT Aaij

对称Aaij 称Am (Am)n (AB)m设,为n维列向量，AT，求kAkn AB B A(aij)nn An1 A*(A n2ji

nnA*AAA*|A|A*|A| AA(kA)*

(AB)*B*

(A1)1A (kA)11A1

(k(AB)1 (AB)1A1例：n阶矩阵A满足A23A2E 证明AE可逆，并求(A三阶矩阵AA1，求(3A)12 2 A A A 0 0

4 0 0

A= 0 0

B= 3

1 例

1 2 n

xAa 2n , ij

n 12

mn m 0 0 B1 B

0

0

A

An 第二节矩阵的初等变换与秩

2 2 ri rik 0)

ci cik(k ic E(i,j) E(i(k))

1E(i,j(k)) 1

1 1 11 11 kkE1(i,j)E(i,

E1(i(k) E1(i,j( A次行变换BPA A 一次列变 0P 0 1 CP1 C CPT CPA定 A A 0A 0A A 1 (AE)(AE)

0 1 0 定义r(A)r A至少有一个r阶子式不为零Dr0，所有r+1阶子式Dr10都为223 A12 8 1 1 1 1

1

A A 7

0 r(A)0

A(aij r(A)r(TA)r(k minP,Q可逆， r(PA)r(AQ)r(PAQ)r(

例

r(A)

B

r(AB)

r(AB)r(A)

若Amn,Bns,AB ，则r(A)r(B) 设A 3，B为三阶非零矩阵 1 且AB0，则t

第三 向 an加运算：数x11xmm定义：若存在一组不全为0x1x2,xn，使x11x22xnn0则称向量 注：1,2,,n 设1，2，3线性无关，证明12，13，23线性 线性无关1,2,,n可由1,2,,n可由1,2,,n线性表示不能由1,2,,n线性表示1,2,,n线性相关1,2,,n线性无关例：向量组1,0,2)T1,1,3)T1,1a2)T12a a取何值时，不能由 a能由1,2,3线性表例：向量组1,3,6,2)T2,1,2,1)T,11a2)T线性相关，则a 1 1(,,) 1 4 a 010a621

1,2,,n为一个向量组，1,2,,r为其一个部分组，满（1）1,2,,r线性则称1,2,,r为向量组1,2,,n的一个极大线性无关组)两个向量组I：1,2,,r，II：1,2,,矩阵的秩矩阵行向量组的秩矩阵列向量组的秩（三秩相等 Aa 2n , ij

n mn A行变换设向量组(1,2,3,T，(3,1,5,3)T，(5,0,7,5)T，(2,1,2, 求（1）第四 线性方程第一节齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn ax xaxm1 m2 mn a1 a12 an Ax A2 2 n x2

x mn n向量形式：x11x22xnn A(1,2,,nAx 仅有零解（唯一解）r=有非零解（无穷多解）r<m

Ax0有非零解

AA（1）1，2，，t线性无（2）Ax0的任意一个解都可以由1，2，，t线性表示则称1，2，，t为Ax0的一个基础解系对于方程组Amnx0，若rArn注：任何nr个线性无关解都是基础解系（找解系的指导思想 例：求xxx xx2x3x t，且方程组Ax0 1 第二节非齐次线性方程组a11x1a1nxn axaxbm1 mn a1 a12 an Ax A2 2 n x2

x mn n向量形式：x11x22xnn A(1,2,,n无解rArAxb有唯一解rA)=rrA)=rA AxbA0,且xA1b DnDnDAmnx r(A)r( xk11knrnrx1x22x32x412xx4xx x2x2xx 已知,,是3个解向量，且1,1,0,2)T 23(1,0,13)T，求Axb的通 第一节方阵的特征值与特征向量(aa)T,(bb)T (,)TTababa1 2 n 正交化： (2,1) (1, (r,1)(r,r1) (1,1)

(r

, r单位化：1

2AAT

AATA1A正交A=1A正交A的列（行） A

例：A n阶矩阵A(aij)nn有n个特征值1,n，12na11a22anntr(12n

是A的特征值，是的一个特征向量，fAaAmaAaE一定有特征值f 第二节相似矩阵与矩阵对角化

定义：A与对角矩阵相似，即A

nAnnAnn有n个线性 Ann有n个不同的特征值，则Ann可以对角实对称矩阵一定可以对角化，且存在正交矩阵 使 3

n 3, A 1

求正交矩阵Q，使 QTA为对角矩阵第六 二次x1c11y1c1n XCxcyc n1 nn f(x,x,,x)ax22axx2axxax22ax

11 121 1n1 22 2n2 a A 2n,X2 nn nfXT写出二次型f(xxx3x22xx5x26xxx2