平面问题极坐标解答课件

弹性力学第四章1Chapter4Solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates

第四章平面问题极坐标解答弹性力学第四章1Chapter4Solutionof弹性力学第四章2

解平面问题时，对圆形、楔形、扇形、圆环形的物体，用极坐标比用直角坐标方便。如天平刀口为常数，用极坐标易于表示，而用直角坐标不大方便解决极坐标下的平面问题，仍要从静力学、几何学和物理学三个方面来考虑。弹性力学第四章2解平面问题时，对圆形、楔形弹性力学第四章3Polarcoordinates极坐标ThepositionofapointPinpolarcoordinatesisdefinedbytheradialcoordinateρandtheangularcoordinateφ.

一点P的极坐标用径向坐标ρ和角坐标φ表示P(ρ,φ)

displacements:位移：uρ

uφ

strains:应变:ρ

φ

rρφstresses:

应力：ρ

φ

ρφbodyforce:体力:

fρ

、

fφ弹性力学第四章3Polarcoordinates极坐标弹性力学第四章4x

ρ

φ

ρ

φy弹性力学第四章4弹性力学第四章54.1Differentialequationsofequilibriuminpolarcoordinates极坐标中的平衡微分方程P52Fig.4-1;P52(中)图4-1PABCxyO弹性力学第四章54.1Differentialequa2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：PABCxyO2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：PABCxy将上式化开：（高阶小量，舍去）PABCxyO将上式化开：（高阶小量，舍去）PABCxyO两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：PABCxyO同理可以推得：两边同除以：两边同除以——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。PABCxyO——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）弹性力学第四章10Review:differentialequationsofequilibriuminrectangularcoordinate直角坐标平衡方程x/x+yx/y+fx=0--x方向的平衡方程，体力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方向。对应力的第一个下标求导。y/y+xy/x+fy=0--y方向的平衡方程，体力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthex(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscripts.弹性力学第四章10Review:differential弹性力学第四章11两种坐标系中的平衡微分方程的比较x/x+yx/y+fx=0y/y+xy/x+fy=0(2-2)ρ/ρ

+

ρφ

/(ρφ)+(ρ-φ)/ρ+fr=0(4.1.1)φ/(ρφ)+ρφ/ρ+2ρφ/ρ+fφ=0(4.1.2)(ρ-φ

)/ρ---正ρ面面积大于负ρ面面积,φ与通过形心的ρ轴有一角度2ρφ/ρ----ρφ作用的正ρ面面积大于负ρ面面积，ρφ与通过形心的φ轴有一角度弹性力学第四章11两种坐标系中的平衡微分方程的比较x/弹性力学第四章124.2geometricalandphysicalequationsinpolarcoordinates极坐标中的几何物理方程P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)图4-2弹性力学第四章124.2geometricaland弹性力学第四章13Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移PP=

uρ

AA=uρ+uρ/ρdρ

BB=uρ+uρ/φdφρ=(PA-PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(uρ+uρ/ρdρ)-uρ]/dρ=uρ/ρ

φ

=(PB-PB)/PB=[(ρ+uρ)dφ-ρdφ]/(ρdφ)=uρ/ρ弹性力学第四章13Onlytheradialdisp弹性力学第四章14Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移theangleofrotationofPAwillbe=0theangleofrotationofPBwillbe=(BB-PP)/PB=[(uρ+uρ/φdφ)-uρ]/ρdφ=uρ/(ρφ)

rρφ=+=uρ/(ρφ)

弹性力学第四章14Onlytheradialdisp弹性力学第四章15Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移PP=uφ

AA=uφ+uφ/ρdρBB=uφ+uφ/φdφρ=0φ=(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB=[(uφ+uφ/φdφ)-uφ]/(ρdφ)=uφ/(ρφ)弹性力学第四章15Onlythecircumferen弹性力学第四章16Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移theangleofrotationofPAwillbe=(AA-PP)/PA=[(uφ+uφρdρ)-uφ]/dρ=uφ/ρtheangleofrotationofPBwillbe

=-<POP=-PP/OP=-uφ/ρrρφ

=+=uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章16Onlythecircumferen弹性力学第四章17

geometricalequationsinrectangularcoordinates

直角坐标中的几何方程

x=u/xy=v/yrxy=u/y+v/xgeometricalequationsinpolarcoordinates

极坐标中的几何方程

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章17geometricalequati弹性力学第四章18x=u/x

y=v/y中的规律由x=u/x

y=v/y，得出规律：某一坐标方向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变中的项。1.x=u/x---x方向的位移u对x坐标求导u/x为x方向线段的正应变x

。2.y=v/y---y方向的位移v

对y坐标求导v/y为y方向线段的正应变y

。将此规律应用到极坐标。则有ρ方向的位移uρ对ρ求导为ρ方向的正应变中的项ρ=uρ/ρ。φ方向的位移uφ对φ求导（再除以ρ以保持因次一致），为φ方向的正应变中的项φ=uφ/(ρφ)。弹性力学第四章18x=u/xy=v/y中的规弹性力学第四章19τxy=u/y+v/x中的一般规律由τxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向（y）线段的转角。1.u/y--x方向的位移u

对y坐标求导为y方向线段的转角。2.v/x--y方向的位移v

对x坐标求导为x方向线段的转角。应用这一规律于极坐标，就能方便地解释uρ/(ρφ)

+uφ/ρ为rρφ中的项。弹性力学第四章19τxy=u/y+v/x中的一般规弹性力学第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

φ=[2(r+a)-2r])/2r=a/r弹性力学第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)弹性力学第四章21

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章21rρφ=uρ/(ρφ)+uφ弹性力学第四章22

physicalequationsinpolarcoordinates极坐标中的物理方程Thephysicalequationsinthetwocoordinatesystemsmusthavethesameform,butwithρ

andφ

inplaceofxandyrespectively.x=[x-y]/E(2-12)y=[y-x]/Erxy=xy/Gx--ρ

y--φρ=[ρ-φ]/E(4-3)φ=[φ

-ρ]/E

rρφ=ρφ/G弹性力学第四章22physicalequations弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边lla取半径为a的半圆分析，由其平衡得：半平面体a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：半平面体平面问题极坐标解答课件4.3stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

极坐标中的应力函数及相容方程4.3stressfunctionandcompat1.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：（常体力情形）1.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPx(a)(b)(a)(b)(c)xyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－24）：(c)xyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－24平面问题极坐标解答课件极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。相容方程的坐标变换说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。体力分量为零时，这些分量确能满足平衡微分方程。极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（4－6）方程（4－6）为常体力情形的相容方程。说明：得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方（4－6）当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数，它必须满足：（1）满足相容方程（4-6）；（2）在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件)；（3）如为多连体，还应满足位移单值条件。（4－6）当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为弹性力学第四章384.4coordinatetransformationofstresscomponents应力分量的坐标变换式Egs.(4-7)---(4-8)弹性力学第四章384.4coordinatetrans本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。一、用、、表示、、和本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。一、用

取厚度为１的三角形单元体A(注意：两个面的法线分别与x、y轴平行，一个面的法线与ρ的的方向平行)，它的ab为x面，ac为y面，bc为ρ

面。各面应力如图所示。Bc的长度为dx，ab及ac的长度分别为ds×cosφ及ds×sinφ。

由单元体的平衡条件，得:化简得:取厚度为１的三角形单元体A(注意：两个面的法线分别与再研究φ方向平衡以及单元体B的平衡，可得应力分量由直角坐标向极坐标得变换式为：(4-7)二、用、和表示、、取单元体A和B，对单元体A，两面的法线分别与、方向平行，一个面的法线与x轴平行。再研究φ方向平衡以及单元体B的平衡，可得应力分量由直角坐标向（4-8）研究单元体A、B的平衡，得应力分量的变换式为：（4-8）研究单元体A、B的平衡，得应力分量的变换式为：弹性力学第四章434.5Axisymmetrialstressesandcorrespondingdisplacements轴对称应力和相应的位移Axisymmetrialstresses：轴对称应力：1.thenormalstresscomponentsareindependentof2.theshearingstresscomponentsvanish3.hencethestressdistributionissymmetricalwithrespecttoanyplanepassingthroughthezaxis.

弹性力学第四章434.5Axisymmetrialst§4-5轴对称应力与相应的位移

所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。如圆环的外面沿环向受均布载荷问题，即为轴对称问题。若应力是绕z轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z轴。可见绕z轴对称的应力，在极坐标下平面内应力分量仅为的函数，不随而变，切应力为零。求解方法：——逆解法（1）应力分量（4－5）（2）相容方程§4-5轴对称应力与相应的位移所谓轴对称（4－5）此时，(4-5)在这特殊情况下，可简化为：（4－9）一、轴对称应力用逆解法。由于轴对称问题，应力分量与无关。由应力函数求应力分量公式为：（4－5）此时，(4-5)在这特殊情况下，可简化为：（4－相容方程(4-6)（4－6）简化为这是一个4阶变系数齐次微分方程将其展开，有相容方程(4-6)（4－6）简化为这是一个4阶变系数齐次微分方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程方程的特征根为：于是，方程的解为：将代回：（4－10）——轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D

为待定常数。3.应力分量（4－10）将方程（4-11）代入应力分量表达式（4－11）——轴对称平面问题的应力分量表达式方程的特征根为：于是，方程的解为：将二、轴对称应力对应的形变平面应力情况下，将应力分量(4-11)代入物理方程(4-3)（4－3）现在来求与轴对称应力相对应的形变和位移二、轴对称应力对应的形变平面应力情况下，将应力分量(4-11对于平面应力问题，有物理方程（a）可见，形变也是轴对称的。积分式（a）第一式，有对于平面应力问题，有物理方程（a）可见，形变也是轴对称的。积（b）——是任意的待定函数将式（b）代入式（a）中第二式，得将上式积分，得:（c）——是ρ任意函数将式（b）代入式（c）中第三式，得或写成：要使该式成立，两边须为同一常数。（b）——是任意的待定函数将式（d）（e）式中F为常数。对其积分有：（f）其中H为常数。对式（e）两边求导其解为：（g）（h）将式（f）（h）代入式（b）（c），得（4-12）（d）（e）式中F为常数。对其积分有：（f）其中H为平面轴对称问题小结：（4－10）（1）应力函数（2）应力分量（4－11）（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K

由应力和位移边界条件确定。平面轴对称问题小结：（4－10）（1）应力函数（2）应力分量（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K

由应力和位移边界条件确定。由式（4-12）可以看出：应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。这时，物体内各点都不会有环向位移，即不论和取何值，都应有：。对这种情形，有式（4-12）变为：[4-12（a）]（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K由应§4-6Hollowcylindersubjectedtouniformpressures结构关于圆心对称，受力也对称于圆心，故应力对称于过圆心的垂直圆面的轴。取(4-11):圆环或圆筒，内半径，外半径，受内压力，外压力。求其应力分布。然后由边界条件、位移单值条件定出Ａ、Ｂ、Ｃ§4-6Hollowcylindersubjected边界条件：（a）将式（4-11）代入，有：（b）说明：极坐标解平面问题时，不需要另有边界条件公式，只需从应力分析即可。直角坐标中，之所以需推导应力边界条件公式，是因为可能有斜边界出现。两个方程不能求解三个常数Ａ、Ｂ、Ｃ一、边界条件边界条件：（a）将式（4-11）代入，有：（b）说明：极坐标对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项由（b），得：对于点（，）和（，）、（，）均表示同一个点，然而由这些坐标算得，却各不相同，这是不可能的。所以要使单值，须有：B=0。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项由（b），将其代回应力分量式（4-12），有：（4-13）拉梅解答将其代回应力分量式（4-12），有：（4-13）拉梅解答（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）即只有内压力作用（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）即（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：——具有圆形孔的无限大薄板；或具有圆形孔道的无限大弹性体。可见应力和成正比。在远大于之处（即距圆孔或圆形孔道较远之处），应力是很小的，可以不计。这也证实了圣维南原理。即只有外压力作用（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：——具有圆形孔的无限边缘处的应力：边缘处的应力：问题：圆筒埋在无限大弹性体内，受内压q作用，求圆筒的应力。1.分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的圆筒；(b)仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压p的两个条件：径向变形连续：径向应力连续：§4-７压力隧洞圆筒和无限大弹性体两者材料性质不同，不符合均匀性假定，因此不能用同一个函数表示其解答。本题属于接触问题。问题：圆筒埋在无限大弹性体内，受内压q作用，求圆筒的应力2.求解应力：（a）边界条件：(1)圆筒的应力与边界条件取圆筒解答中的系数为Ａ、Ｂ、Ｃ，无限大弹性体解答中的系数为、、。由多连体中的位移单值条件，有Ｂ＝02.求解应力：（a）边界条件：(1)圆筒的应力与边界(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：（b）边界条件：将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：(c)(d)4个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：（b）边界条件：上式也可整理为：位移连续条件:上式也可整理为：位移连续条件:利用：(e)要使对任意的成立，须有自由项相等。(f)对式（f）整理有，有0利用：(e)要使对任意的成立，须有自由项相等。(g)式（g）中：将式（g）与式（c）（d）联立求解(c)(d)（4-16）当n<1时，应力分布如图所示。(g)式（g）中：将式（g）与式（c）（d）联立求解(c)(讨论：（1）压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。完全接触：接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：位移：（２）非完全接触（光滑接触）应力：位移：接触条件：接触面上正应力相等，切应力也相等接触面上法向位移相等，切向位移也相等讨论：（1）压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。完全接§4-８圆孔的孔边应力集中1.孔边应力集中概念

由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）§4-８圆孔的孔边应力集中1.孔边应力集中概念2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：

带有圆孔的无限大板（R>>r），圆孔半径为r，在无限远处受有均匀拉应力

q作用。求：孔边附近的应力。在大圆处Ａ点，应力和无孔时相同。也就是，。代入坐标变换式(4-7)，可得到该处极坐标应力分量为，于是原问题就变为这样一个新问题：内半径为r而外半径为Ｒ得圆环或圆筒，在外边界上受到均布拉力q。xyqqqq2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：带4-7为得出这个问题的解答，只需要在圆环受均布外压力时的解答(4-14)中命。于是得到：既然R>>r，可以取，从而得到解答：4-7为得出这个问题的解答，只需要在圆环受均布外压力时的解答xyqqqq矩形件左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q。在大圆处Ａ点，应力和无孔时相同。也就是，。代入坐标变换式(4-7)，可得到该处极坐标应力分量为：（a）此为外边界上的边界条件。xyqqqq矩形件左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布孔边的边界条件是（ｂ）由边界条件(a)和（b）可见，用半逆解法时，可以假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。但因此可以假设（c）

将式（c）代入相容方程(4-6)得：孔边的边界条件是（ｂ）由边界条件(a)和（b）可见，用半逆解删去因子以后，求解这个微分方程，得:其中Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为待定常数。代入（c），得应力函数由式(4-5)得应力分量（d）删去因子以后，求解这个微分方程，得:其中Ａ、Ｂ、Ｃ将式(d)代入边界条件式(a)和(b)，得:求解Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，然后命得将式(d)代入边界条件式(a)和(b)，得:求解Ａ、Ｂ、Ｃ、再将各已知值代入(d)，得应力分量的最后表达式(4-18)再将各已知值代入(d)，得应力分量的最后表达式(4-18)（2）问题的求解

问题分析:左右两边受拉应力作用A

取一半径为=b(b>>a），在其上取一点A的应力：OxybAAρA由应力转换公式：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b（2）问题的求解问题分析:左右两边受拉应力作用A新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（b）（c）baba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（

问题1的解：内边界外边界(b)

该问题为轴对称问题，其解为

当b>>a时，有（d）ba问题1问题1的解：内边界外边界(b)该问题为轴对称问题，其解为

问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界(c)

由边界条件（c），可假设：为ρ

的某一函数乘以；为ρ

的某一函数乘以。

又由极坐标下的应力分量表达式：

可假设应力函数为：

将其代入相容方程：ba问题2问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界(c)由边界条件

与前面类似，令：有

该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：与前面类似，令：有该方程的特征方程：特征根为：方程的解为ba问题2

相应的应力分量：

对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界外边界(c)

（e）ba问题2相应的应力分量：对上述应力分量应用边界条件（c求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba问题2代入应力分量式（e）,有

（f）求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba问题2将问题1和问题2的解相加,得全解：

（4-19）讨论：（1）沿孔边，ρ=a，环向正应力：

（4-19）3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y轴，

=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aaρAb——基尔斯（G.Kirsch）解答将问题1和问题2的解相加,得全解：（4-19）讨论：（（3）沿x轴，

=0°，环向正应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（3）沿x轴，=0°，环向正应力：（4）若矩形薄板（（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力:45°先求出相应于圆孔中心处的应力分量，然后求出相应的两个应力主向以及主应力和。如果圆孔很小，圆孔附近就可以当做是沿两个主向分布受均布拉力及。就可以应用上面的解答叠加求解。这样求的孔边应力，会有一定误差，但在工程实际上很有参考价值。（5）任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一对于其他各种形状的孔口，大多是应用弹性理论中的复变函数解法求解的。由圆孔和其他孔口的解答可见，这些小孔口问题的应力集中现象具有共同的特点：一是集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大和最小的应力一般都发生在孔边上。二是局部性。由于开孔引起的应力扰动，主要发生在距孔边１.５倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开孔引起的应力扰动值一般小于5%，可以忽略不计。孔口应力集中与孔口的形状有关，圆孔的应力集中程度较低，应尽可能采用圆孔型。此外，对于具有凹尖角的孔口，在尖角处会发生高度的应力集中，因此在孔口中应尽量避免出现凹尖角。对于其他各种形状的孔口，大多是应用弹性理论中的复变函数解§4-9半平面体在边界上受集中力FxyO一、Ｆ与边界法向线成角半平面体，直边界上受有集中力，与边界法线成角，研究单位宽度，单位宽度所受力为Ｆ。１、设应力函数用半逆解法，仍然用量纲分析的方法。（4－5）中的ρ次数比应力分量中高２次§4-9半平面体在边界上受集中力FxyO一、Ｆ与边界法向设(a)应力各分量形式为无量纲无量纲应力分量形式为Ｎ为应力为组成的无量纲量将(a)式代入相容方程(4-6)可得，以负一次幂出现设(a)应力各分量形式为无量纲无量纲应力分量形式为Ｎ为应力为两边乘以，解得方程得：代入（a）得式中前两项等于Ax+By，不影响应力，可以删除，故应力函数可以取为（４－２０）两边乘以，解得方程得：代入（a）得式中前两项等将（４－２０）代入（４－５），得应力分量为：（ｂ）由应力边界条件定常数在直边界处，除原点外，均应有显然，这些应力边界条件自然得到满足。(见b式)在原点附近有面力作用，分布未给出，但单位宽度合力为Ｆ，半平面体任何一个半圆形的应力，须合这一面力合力平衡，于是有：将（４－２０）代入（４－５），得应力分量为：（ｂ）由应力边界(c)(b)式代入，积分得于是解得将以上Ｃ、Ｄ代入（b）式得(4-21)(c)(b)式代入，积分得于是解得将以上Ｃ、Ｄ代入（b）式得半平面体在边界上法向受集中力FxyO1.应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到

（4-22）——极坐标表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得

（4-23）或将其改为直角坐标表示，有

代入（4-2１）半平面体在边界上法向受集中力FxyO1.应力分量由楔形体受PxyO

（4-23）2.位移分量——直角坐标表示的应力分量假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为将式（4-22）代入PxyO（4-23）2.位移分量——直角坐标表示的由几何方程(a)(b)(c)积分式（a）得，(d)将式（d）代入式（b），有积分上式，得(e)由几何方程(a)(b)(c)积分式（a）得，(d)将式（d）将式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使上式成立，须有：将式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有FxyO式中，常数H，I，K由边界条件确定。(f)不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有FxyO常数I须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。由式（f）得：(g)由问题的对称性，有：(f)FxyO常数I须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。由式（f）3.边界沉陷计算FxyOρMM点的下沉量：

由于常数I无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，如图所示。BsM点相对于基准点B的沉陷为简化后得：（4-25）符拉芒（A.Flamant）公式对平面应变情形：3.边界沉陷计算FxyOρMM点的下沉量：由于§4-10半平面体在边界上受法向分布力PxyO1.应力分量dP作用在原点O，则有dP

作用在距原点时，将此式在AB区间上积分，得§4-10半平面体在边界上受法向分布力PxyO1.应力（4-26）式中，需将分布力集度q表示成的函数，再进行积分。2.边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的单位力的情形。dP计算分布力中点I

相对于K点的沉陷量：（a）（4-26）式中，需将分布力集度q表示成的dP(a)对r积分，即可求得I点的相对沉陷量。当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为为简单起见，假定基点K取得很远，即s远大于r，积分时可视其为常数，积分结果为：（4-28）其中常数C、Fki

的值为：（b）（c）dP(a)对r积分，即可求得I点的相对沉陷量。当基准平面问题极坐标求解方法小结一.基本方程1.平衡方程（4－1）2.几何方程（4－2）3.物理方程——平面应力情形（4－3）4.边界条件位移边界条件：应力边界条件：平面问题极坐标求解方法小结一.基本方程1.平衡方程（4－二、按应力求解基本步骤(1)由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：（4－5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）二、按应力求解基本步骤(1)由问题的条件求出满足式（4－6）三、平面轴对称问题的求解方法——逆解法（4－11）应力函数：应力分量：位移分量：(4-12)三、平面轴对称问题的求解方法——逆解法（4－11）应力函数：四、非轴对称问题的求解方法——半逆解法1.圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：问题1baba问题2轴对称问题非轴对称问题四、非轴对称问题的求解方法——半逆解法1.圆孔的孔边应力集2.半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO2.半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO课堂练习：（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力与剪应力间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。（2）z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力p作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。课堂练习：（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时（3）有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为t，两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？（4）已知圆环在r=a

的内边界上被固定，在r=b

的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。（3）有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为t，两端受rrrrrrlrrrlrrrrrrrrrrrrrrrrraarlrrlra取半径为a的半圆分析，由其平衡得：a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：作业习题：4–2，4–3补充题：列写下列平面问题的应力边界条件。作业习题：4–2，4–3补充题：列写下列平面问题的作业习题：4-4，4–5，4–6作业习题：4-4，4–5，4–6作业习题：4–7，4–8选做：4-21作业习题：4–7，4–8选做：4-21弹性力学第四章122Chapter4Solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates

第四章平面问题极坐标解答弹性力学第四章1Chapter4Solutionof弹性力学第四章123

解平面问题时，对圆形、楔形、扇形、圆环形的物体，用极坐标比用直角坐标方便。如天平刀口为常数，用极坐标易于表示，而用直角坐标不大方便解决极坐标下的平面问题，仍要从静力学、几何学和物理学三个方面来考虑。弹性力学第四章2解平面问题时，对圆形、楔形弹性力学第四章124Polarcoordinates极坐标ThepositionofapointPinpolarcoordinatesisdefinedbytheradialcoordinateρandtheangularcoordinateφ.

一点P的极坐标用径向坐标ρ和角坐标φ表示P(ρ,φ)

displacements:位移：uρ

uφ

strains:应变:ρ

φ

rρφstresses:

应力：ρ

φ

ρφbodyforce:体力:

fρ

、

fφ弹性力学第四章3Polarcoordinates极坐标弹性力学第四章125x

ρ

φ

ρ

φy弹性力学第四章4弹性力学第四章1264.1Differentialequationsofequilibriuminpolarcoordinates极坐标中的平衡微分方程P52Fig.4-1;P52(中)图4-1PABCxyO弹性力学第四章54.1Differentialequa2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：PABCxyO2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：PABCxy将上式化开：（高阶小量，舍去）PABCxyO将上式化开：（高阶小量，舍去）PABCxyO两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：PABCxyO同理可以推得：两边同除以：两边同除以——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。PABCxyO——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）弹性力学第四章131Review:differentialequationsofequilibriuminrectangularcoordinate直角坐标平衡方程x/x+yx/y+fx=0--x方向的平衡方程，体力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方向。对应力的第一个下标求导。y/y+xy/x+fy=0--y方向的平衡方程，体力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthex(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscripts.弹性力学第四章10Review:differential弹性力学第四章132两种坐标系中的平衡微分方程的比较x/x+yx/y+fx=0y/y+xy/x+fy=0(2-2)ρ/ρ

+

ρφ

/(ρφ)+(ρ-φ)/ρ+fr=0(4.1.1)φ/(ρφ)+ρφ/ρ+2ρφ/ρ+fφ=0(4.1.2)(ρ-φ

)/ρ---正ρ面面积大于负ρ面面积,φ与通过形心的ρ轴有一角度2ρφ/ρ----ρφ作用的正ρ面面积大于负ρ面面积，ρφ与通过形心的φ轴有一角度弹性力学第四章11两种坐标系中的平衡微分方程的比较x/弹性力学第四章1334.2geometricalandphysicalequationsinpolarcoordinates极坐标中的几何物理方程P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)图4-2弹性力学第四章124.2geometricaland弹性力学第四章134Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移PP=

uρ

AA=uρ+uρ/ρdρ

BB=uρ+uρ/φdφρ=(PA-PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(uρ+uρ/ρdρ)-uρ]/dρ=uρ/ρ

φ

=(PB-PB)/PB=[(ρ+uρ)dφ-ρdφ]/(ρdφ)=uρ/ρ弹性力学第四章13Onlytheradialdisp弹性力学第四章135Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移theangleofrotationofPAwillbe=0theangleofrotationofPBwillbe=(BB-PP)/PB=[(uρ+uρ/φdφ)-uρ]/ρdφ=uρ/(ρφ)

rρφ=+=uρ/(ρφ)

弹性力学第四章14Onlytheradialdisp弹性力学第四章136Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移PP=uφ

AA=uφ+uφ/ρdρBB=uφ+uφ/φdφρ=0φ=(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB=[(uφ+uφ/φdφ)-uφ]/(ρdφ)=uφ/(ρφ)弹性力学第四章15Onlythecircumferen弹性力学第四章137Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移theangleofrotationofPAwillbe=(AA-PP)/PA=[(uφ+uφρdρ)-uφ]/dρ=uφ/ρtheangleofrotationofPBwillbe

=-<POP=-PP/OP=-uφ/ρrρφ

=+=uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章16Onlythecircumferen弹性力学第四章138

geometricalequationsinrectangularcoordinates

直角坐标中的几何方程

x=u/xy=v/yrxy=u/y+v/xgeometricalequationsinpolarcoordinates

极坐标中的几何方程

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章17geometricalequati弹性力学第四章139x=u/x

y=v/y中的规律由x=u/x

y=v/y，得出规律：某一坐标方向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变中的项。1.x=u/x---x方向的位移u对x坐标求导u/x为x方向线段的正应变x

。2.y=v/y---y方向的位移v

对y坐标求导v/y为y方向线段的正应变y

。将此规律应用到极坐标。则有ρ方向的位移uρ对ρ求导为ρ方向的正应变中的项ρ=uρ/ρ。φ方向的位移uφ对φ求导（再除以ρ以保持因次一致），为φ方向的正应变中的项φ=uφ/(ρφ)。弹性力学第四章18x=u/xy=v/y中的规弹性力学第四章140τxy=u/y+v/x中的一般规律由τxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向（y）线段的转角。1.u/y--x方向的位移u

对y坐标求导为y方向线段的转角。2.v/x--y方向的位移v

对x坐标求导为x方向线段的转角。应用这一规律于极坐标，就能方便地解释uρ/(ρφ)

+uφ/ρ为rρφ中的项。弹性力学第四章19τxy=u/y+v/x中的一般规弹性力学第四章141

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

φ=[2(r+a)-2r])/2r=a/r弹性力学第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)弹性力学第四章142

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ弹性力学第四章21rρφ=uρ/(ρφ)+uφ弹性力学第四章143

physicalequationsinpolarcoordinates极坐标中的物理方程Thephysicalequationsinthetwocoordinatesystemsmusthavethesameform,butwithρ

andφ

inplaceofxandyrespectively.x=[x-y]/E(2-12)y=[y-x]/Erxy=xy/Gx--ρ

y--φρ=[ρ-φ]/E(4-3)φ=[φ

-ρ]/E

rρφ=ρφ/G弹性力学第四章22physicalequations弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边lla取半径为a的半圆分析，由其平衡得：半平面体a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：半平面体平面问题极坐标解答课件4.3stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

极坐标中的应力函数及相容方程4.3stressfunctionandcompat1.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：（常体力情形）1.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPx(a)(b)(a)(b)(c)xyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－24）：(c)xyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－24平面问题极坐标解答课件极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。相容方程的坐标变换说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。体力分量为零时，这些分量确能满足平衡微分方程。极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（4－6）方程（4－6）为常体力情形的相容方程。说明：得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方（4－6）当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数，它必须满足：（1）满足相容方程（4-6）；（2）在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件)；（3）如为多连体，还应满足位移单值条件。（4－6）当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为弹性力学第四章1594.4coordinatetransformationofstresscomponents应力分量的坐标变换式Egs.(4-7)---(4-8)弹性力学第四章384.4coordinatetrans本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。一、用、、表示、、和本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。一、用

取厚度为１的三角形单元体A(注意：两个面的法线分别与x、y轴平行，一个面的法线与ρ的的方向平行)，它的ab为x面，ac为y面，bc为ρ

面。各面应力如图所示。Bc的长度为dx，ab及ac的长度分别为ds×cosφ及ds×sinφ。

由单元体的平衡条件，得:化简得:取厚度为１的三角形单元体A(注意：两个面的法线分别与再研究φ方向平衡以及单元体B的平衡，可得应力分量由直角坐标向极坐标得变换式为：(4-7)二、用、和表示、、取单元体A和B，对单元体A，两面的法线分别与、方向平行，一个面的法线与x轴平行。再研究φ方向平衡以及单元体B的平衡，可得应力分量由直角坐标向（4-8）研究单元体A、B的平衡，得应力分量的变换式为：（4-8）研究单元体A、B的平衡，得应力分量的变换式为：弹性力学第四章1644.5Axisymmetrialstressesandcorrespondingdisplacements轴对称应力和相应的位移Axisymmetrialstresses：轴对称应力：1.thenormalstresscomponentsareindependentof2.theshearingstresscomponentsvanish3.hencethestressdistributionissymmetricalwithrespecttoanyplanepassingthroughthezaxis.

弹性力学第四章434.5Axisymmetrialst§4-5轴对称应力与相应的位移

所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。如圆环的外面沿环向受均布载荷问题，即为轴对称问题。若应力是绕z轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z轴。可见绕z轴对称的应力，在极坐标下平面内应力分量仅为的函数，不随而变，切应力为零。求解方法：——逆解法（1）应力分量（4－5）（2）相容方程§4-5轴对称应力与相应的位移所谓轴对称（4－5）此时，(4-5)在这特殊情况下，可简化为：（4－9）一、轴对称应力用逆解法。由于轴对称问题，应力分量与无关。由应力函数求应力分量公式为：（4－5）此时，(4-5)在这特殊情况下，可简化为：（4－相容方程(4-6)（4－6）简化为这是一个4阶变系数齐次微分方程将其展开，有相容方程(4-6)（4－6）简化为这是一个4阶变系数齐次微分方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程方程的特征根为：于是，方程的解为：将代回：（4－10）——轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D

为待定常数。3