工程计算4插值和拟合课件

SummerGrassFadeArialFontFamilySummerGrassFadeArialFontFa2022/12/1324插值和拟合4.1引言4.2插值4.3分段低次插值4.4三次样条插值4.5正交多项式4.6离散数据的曲线拟合2022/12/1024插值和拟合4.1引言2022/12/1334.1引言4.1.1函数的插值4.1.2离散数据的拟合插值和拟合都是在给定点列{xi，yi}0n的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。

2022/12/1034.1引言4.1.1函数的插值2022/12/1344.1引言4.1.1函数的插值区间[a，b]上的连续函数的全体记为C[a，b]定义4.1.1设y=f(x)∈C[a，b]，已知f在C[a，b]上n+1个互异点a≤x0,

x1

,…

,xn-1,

xn≤b

xi≠xj（i

≠j

）的值yi=f(xi)（i=0，1，2，…，n

）如果有不超过n次的多项式Ln(x)=c0+c1x+c2x2

+…+cnxn2022/12/1044.1引言4.1.1函数的插值2022/12/1354.1引言满足

Ln(xi)

=yi（i=0，1，2，…，n

）(4.1)称Ln(x)为f(x)在区间[a，b]上通过点列{xi,yi}0n的插值多项式。其中，[a，b]称为插值区间，{xi,yi}0n称为插值节点，

xi称为插值点，f(xi)称为插值函数，(4.1)称为插值条件。2022/12/1054.1引言满足称Ln(x)2022/12/1364.1引言定理4.1.1由式(4.1)确定的插值多项式Ln(x)存在唯一。插值的工程背景

函数插值的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性2022/12/1064.1引言定理4.1.1由式(42022/12/1374.1引言4.1.2离散数据的拟合如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数y=(x)⑴选择(x)由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。

⑵确定数学模型中的参数拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。

2022/12/1074.1引言4.1.2离散数据的2022/12/1384.2插值

4.2.1拉格朗日插值法

4.2.2插值的余项4.2.3均差和牛顿插值

2022/12/1084.2插值4.2.1拉格朗日插值2022/12/1394.2插值4.2.1拉格朗日插值法

已知点列{xi

，yi}0n，确定插值多项式

n=1时，点列包含2个点，{x0，y0}和{x1，y1}，则只能做一条直线。

2022/12/1094.2插值4.2.1拉格朗日插值法2022/12/13104.2插值n=2时，点列包含3个点，{x0，y0}、{x1，y1}、{x2，y2}

可做不超过2次的多项式

2022/12/10104.2插值n=2时，点列包含3个点2022/12/13114.2插值推广到一般情况，定义n+1个n次多项式

称为拉格朗日插值基函数。

2022/12/10114.2插值推广到一般情况，定义n2022/12/13124.2插值n=2时的基函数2022/12/10124.2插值n=2时的基函数2022/12/13134.2插值n=3时的基函数2022/12/10134.2插值n=3时的基函数2022/12/13144.2插值插值基函数满足

(k，i=0，1，2，…，n)

插值函数为

如果取函数为f(x)=1，则yk=1(k=0,1,2,…,n)，有

2022/12/10144.2插值插值基函数满足(k，i2022/12/13154.2插值4.2.2插值的余项

令

如果f(x)C2[a，b]，采用线性插值，令

Rn(x)=f(x)Ln(x)则则2022/12/10154.2插值4.2.2插值的余项2022/12/13164.2插值4.2.3均差和牛顿插值

定义一阶差商

如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如n=1时

N1(x)=y0+f[x0，x1](xx0)

2022/12/10164.2插值4.2.3均差和牛顿2022/12/13174.2插值当n=2时，再定义一阶差商和二阶差商

并有

N2(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0，x1，x2](xx0)(xx1)

2022/12/10174.2插值当n=2时，再定义一阶差2022/12/13184.2插值对一般情况，定义各阶差商

2022/12/10184.2插值对一般情况，定义各阶差商2022/12/13194.2插值差商的性质：1)线性性如果f(x)=ay(x)+bz(x)2)3)对称性：2022/12/10194.2插值差商的性质：1)线性性2022/12/13204.2插值4)

n次多项式关于x，xi的一阶差商为n-1次多项式则Ln(x)仍为n次多项式，且Ln(xi)=0，所以设Pn(x)为n次多项式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中Pn-1(x)为n-1次多项式，从而有

2022/12/10204.2插值4)n次多项式关于x，2022/12/13214.2插值差商表2022/12/10214.2插值差商表2022/12/13224.2插值牛顿插值多项式

f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(xx1)f[x,x0,x1]f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]

………

f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+(xxn)f[x,x0,…,xn]f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]+(xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]+(xx0)(xx1)…(xxn-1)f[x0,x1,…,xn]+(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=Nn(x)+Rn(x)2022/12/10224.2插值牛顿插值多项式f(x2022/12/13234.2插值插值函数为

Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+…+f[x0,x1,…,xn](xx0)(xx1)…(xxn-1)=f(x0)+f[x0，x1]1(x)+f[x0,x1,x2]2(x)+…+f[x0,x1,…,xn]n(x)

均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的插值点，以前的计算公式不变。2022/12/10234.2插值插值函数为Nn(x)2022/12/13244.2插值牛顿插值余项为

Rn(x)=(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=

n+1

(x)f[x0,x1,…,xn]

拉格朗日插值余项为

显然Rn(xi)=0

因此

2022/12/10244.2插值牛顿插值余项为Rn(x2022/12/13254.2插值2022/12/10254.2插值2022/12/13264.2插值2022/12/10264.2插值2022/12/13274.2插值2022/12/10274.2插值2022/12/13284.3分段插值

4.3.1龙格现象和分段线性插值

4.3.2分段埃尔米特三次插值

2022/12/10284.3分段插值4.3.1龙格现2022/12/13294.3分段插值

4.3.1龙格现象和分段线性插值高阶插值可能出现龙格现象例4.3.1函数在区间[-5,5]取等距插值节点当n=10时，10次插值多项式L10(x)和f

(x)如下图。出现龙格现象。当n取过高时常出现龙格现象，且n继续取大，龙格现象依然存在2022/12/10294.3分段插值4.3.1龙格现2022/12/13304.3分段插值

采用分段低次插值是消除龙格现象的有效方法，通常采用线性插值，三次插值等2022/12/10304.3分段插值采用分段低次插值是2022/12/13314.3分段插值

定义4.3.2函数f(x)C[a,b]，n+1个有序节点{xi}0n满足

称为区间[a，b]的一个划分。：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

x0和xn称为边界点，x1，…，xn1称为内点。

中的相邻两点xi，xi+1构成区间[a,b]的子区间[xi,xi+1]

记子区间的最大长度

2022/12/10314.3分段插值定义4.3.22022/12/13324.3分段插值

则称分段线性函数

为f(x)在区间[a,b]上关于划分的分段线性插值多项式

其中插值基函数

当i=0时没有第1式，当i=n时没有第2式

。2022/12/10324.3分段插值则称分段线性函数2022/12/13334.3分段插值

在子区间[xi，xi+1]上，Ih(x)的表达式为

可以证明，只要h充分小，因而n充分大，就可在插值区间[a，b]上满足精度要求。即分段线性插值是一致收敛的。

分段线性插值的一阶导数不连续。这点不如高阶插值

2022/12/10334.3分段插值在子区间[xi，x2022/12/13344.3分段插值

4.3.2分段埃尔米特三次插值

为保证导数连续，增加对导数的要求。当只有两个插值点，x0<x1，且

yk=f(xk)，mk=f(xk)k=0，1

在区间[x0，x1]上求多项式H(x)，使得满足插值条件

H(xk)=yk，H(xk)=mk

k=0，1

因为有4个插值条件，因此插值函数H(x)为次数不超过3次的多项式，称为埃尔米特三次插值。

2022/12/10344.3分段插值4.3.2分段埃2022/12/13354.3分段插值

定理4.3.1设f(x)C1[x0，x1]，则在区间[x0，x1]上满足插值条件的不超过3次的多项式H(x)存在唯一。并有H(xk)=yk，H(xk)=mk

k=0，1

H(x)=0(x)y0+1(x)y1+0(x)m0+1(x)m1

2022/12/10354.3分段插值定理4.3.12022/12/13364.3分段插值

其中插值基函数

2022/12/10364.3分段插值其中插值基函数2022/12/13374.3分段插值

2022/12/10374.3分段插值2022/12/13384.3分段插值

如果f(x)C4[a，b]，插值余项为

Rn(x)=f(x)Ln(x)=

(xx0)2(xx1)2x[x0，x1]

这里：x=(x)(x0，x1)

2022/12/10384.3分段插值如果f(x)C42022/12/13394.3分段插值

插值基函数满足的条件为

0(x0)=1，0(x1)=0，0(x0)=0，0(x1)=01(x0)=0，1(x1)=1，1(x0)=0，1(x1)=00(x0)=0，0(x1)=0，0(x0)=1，0(x1)=0

1(x0)=0，1(x1)=0，1(x0)=0，1(x1)=0

2022/12/10394.3分段插值插值基函数满足的条2022/12/13404.3分段插值

定义4.3

设f(x)C1[a，b]，对于划分

记子区间的最大长度

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

yi=f(xi)，mi=f(xi)i=0，1，2，…

，n

则称分段三次线性函数

Hh(x)=i(x)yi+i+1(x)yi+1+i(x)mi+i+1(x)mi+1

x[xi，xi+1]，i=0，1，2，…，n1

为f(x)在区间[a，b]上关于划分的分段埃尔米特三次插值多项式。2022/12/10404.3分段插值定义4.3设f2022/12/13414.3分段插值

其中插值基函数为2022/12/10414.3分段插值其中插值基函数为2022/12/13424.3分段插值

Hh(x)满足边界条件

Hh(x0)=y0，Hh(x0)=m0Hh(xn)=yn，Hh(xn)=mn

和内节点处的衔接条件

Hh(xi0)=Hh(xi+0)=yi，Hh(xi0)=Hh(xi+0)=mi

i=0，1，2，…，n1

2022/12/10424.3分段插值Hh(x)满足边2022/12/13434.3分段插值

可以证明，如果f(x)C1[a，b]，则Hh(x)一致收敛到f(x)，且Hh(x)一致收敛到f(x)。

埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值

2022/12/10434.3分段插值可以证明，如果f(2022/12/13444.4三次样条插值4.4.1样条插值的背景和定义

4.4.2三次样条插值的定解条件

4.4.3三弯矩方程

2022/12/10444.4三次样条插值4.4.12022/12/13454.4三次样条插值4.4.1样条插值的背景和定义

埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。

定义4.4

对于区间[a，b]，给定一个划分

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b(n≥2)

如果函数s(x)在每个子区间[xi，xi+1]都是不超过m次的多项式(m≥1)，并且m1导数s(m1)(x)在内节点x1，…，xn1处连续，则称s(x)为区间[a，b]上关于划分的m次样条函数。

2022/12/10454.4三次样条插值4.4.1样条2022/12/13464.4三次样条插值对于函数f(x)C[a，b]，如果s(x)还满足插值条件

s(xi)=f(xi)i=0，1，2，…，n

则称s(x)为f(x)在区间[a，b]上关于划分的m次样条插值多项式。

2022/12/10464.4三次样条插值对于函数f(2022/12/13474.4三次样条插值4.4.2三次样条插值的定解条件

三次样条插值多项式s(x)是在划分上的分段三次多项式

s(x)=aix3+bix2+cix+di

i=0，1，2，…，n1

其中ai、bi、ci、di为待定系数，共4

n个。s(x)应该满足的条件有

⑴

插值和函数连续条件2n个；

⑵

n1个内点处的一阶导数连续条件

s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，…，n1

2022/12/10474.4三次样条插值4.4.2三2022/12/13484.4三次样条插值⑶

n1个内点处的二阶导数连续条件

s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，…，n1

一共4

n2个条件，因此需要附加两个条件。

①固支条件

已知两端点的一阶导数

s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn)

②已知两端点的二阶导数

s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn)

如果两端点的二阶导数f(x0)=f(xn)=0，称为自然边界条件

常用的有如下三个条件

2022/12/10484.4三次样条插值⑶n1个2022/12/13494.4三次样条插值③周期条件

s(x0+0)=s(xn0)s(x0+0)=s(xn0)

其中，显然有s(x0+0)=s(xn0)。

这种方法需要求解4n阶的线性方程组2022/12/10494.4三次样条插值③周期条件s2022/12/13504.4三次样条插值4.4.3三弯矩方程

三弯矩方程只需要解一个不超过n+1阶的线性方程组。

hi=xi+1xii=0，1，2，…，n1

把[a，b]看作一段梁，划分的内点上作用剪力，设子区间[xi，xi+1]的长度为

在子区间[xi，xi+1]上，弯矩为线性函数，设弯矩

M(x)=s(x)Mi=M(xi)

2022/12/10504.4三次样条插值4.4.32022/12/13514.4三次样条插值则

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

上式保证了在内点处s(x)连续。

经过两次不定积分，有

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

2022/12/10514.4三次样条插值则x[x2022/12/13524.4三次样条插值由插值条件可得

x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

此即三次样条插值2022/12/10524.4三次样条插值由插值条件可得2022/12/13534.4三次样条插值它的一阶导数x[xi，xi+1]

i=0，1，2，…，n1

其中，f[xi，xi+1]是一阶差商。因此s(xi+0)=f[xi，xi+1]hi(2Mi+Mi+1)/6

s(xi+10)=f[xi，xi+1]+hi(Mi+2Mi+1)/6

由于在内节点一阶导数连续，有

s(xi0)=s(xi+0)

2022/12/10534.4三次样条插值它的一阶导数2022/12/13544.4三次样条插值即

i=1，2，…，n1

令

f[xi1，xi]+hi1(2Mi1+Mi)/6=f[xi，xi+1]hi(2Mi+Mi+1)/6

iMi1+2Mi

+iMi+1=f[xi1，xi，xi+1]

i=1，2，…，n1

这是待定值{

Mi

}n0满足的线性方程组，称为三弯矩方程。2022/12/10544.4三次样条插值即i=1，2022/12/13554.4三次样条插值现在还缺2个方程，由边界条件决定，分别为

②

M0=f(x0)Mn

=f(xn)

①

③

nM1+nMn1+2Mn=M0=Mn

其中

2022/12/10554.4三次样条插值现在还缺2个方2022/12/13564.4三次样条插值与内节点方程联立，得到三种方程组

①

2022/12/10564.4三次样条插值与内节点方程联2022/12/13574.4三次样条插值②③2022/12/10574.4三次样条插值②③2022/12/13584.4三次样条插值可写成统一形式

AM=d

把求得的弯矩值代入,

即得到三次样条插值多项式。而且还可得到它的导数s(x)和s(x)。

由于

i>0，

i>

0，i+i=1，因此，系数矩阵A是三对角或仅比三对角多两个元素的严格对角占优矩阵，解存在其数值稳定。

2022/12/10584.4三次样条插值可写成统2022/12/13594.4三次样条插值三弯矩方程算法⑴输入参数：区间[a，b]划分

函数在节点处的函数值

：

a=x0<x1<…<xn1<xn=b

yi=f(xi)i=0，1，2，…，n

边界条件类型①②③2022/12/10594.4三次样条插值三弯矩方程算法2022/12/13604.4三次样条插值⑵计算参数hi=xi+1xif[xi，xi+1]=(xi+1xi)/hi

i=0，1，2，…，n12022/12/10604.4三次样条插值⑵计算参数h2022/12/13614.4三次样条插值根据边界条件类型计算①

②M0=f(x0)Mn

=f(xn)

③

2022/12/10614.4三次样条插值根据边界条件类2022/12/13624.4三次样条插值⑶求解与边界条件对应的三弯矩方程⑷把求得的弯矩值代入，即得到三次样条插值多项式。而且还可得到它的导数s(x)和s(x)。2022/12/10624.4三次样条插值⑶求解与边界条2022/12/13634.5正交多项式4.5.1连续函数空间4.5.2离散点列上的正交多项式4.5.3连续区间上的正交多项式2022/12/10634.5正交多项式4.5.12022/12/13644.5正交多项式这里讨论连续函数空间C[a，b]。定义4.5.1设函数f1,f2,…,fnC[a，b]，如果当且仅当1,2,…,n均为零时才有则称f1,f2,…,fn线性无关，否则称它们线性相关。连续函数空间C[a，b]是无限维的。4.5.1连续函数空间2022/12/10644.5正交多项式这里讨论连续函数2022/12/13654.5正交多项式定义4.5.2设函数f1,f2,…,fnC[a，b]线性无关，它们的线性组合的全体构成的集合记作并称Sn为在C[a，b]中由f1,f2,…,fn张成的子空间，或生成子空间。多项式子空间：2022/12/10654.5正交多项式定义4.5.22022/12/13664.5正交多项式函数空间中的内积与范数两种：离散的和连续的设有点列，设离散意义下的内积定义为函数值向量的内积记函数fC[a，b]在点列处的值向量为f=[f(x0),f(x1),…,f(xm)]TRm+1

其中wi>0为给定的权数。对应的2-范数为2022/12/10664.5正交多项式函数空间中的内积2022/12/13674.5正交多项式连续意义下的内积定义为其中(x)>0为给定的权函数。对应的2-范数为2022/12/10674.5正交多项式连续意义下的内积2022/12/13684.5正交多项式函数的正交性如果函数f

，gC[a，b]且(f

，g)=0称函数f

，g正交如果函数序列满足则称函数组为正交函数序列。正交函数序列线性无关。2022/12/10684.5正交多项式函数的正交性2022/12/13694.5正交多项式定义4.5.3给定m+1个点C[a，b]和对应的权数，设有n+1个多项式其中，若它们在点列处的值向量满足正交性4.5.2离散点列上的正交多项式称为在离散点列上的带权的正交多项式序列2022/12/10694.5正交多项式定义4.5.32022/12/13704.5正交多项式成立的条件

nm，

点列至少有n+1个点互不相等。2022/12/10704.5正交多项式成立的条件2022/12/13714.5正交多项式定理4.5.1对于给定点列,对应的权数如果n<m，点列至少有n+1个互异，可由递推生成多项式序列，它们是在点列上的带权的正交多项式序列。递推过程称为Gram-schmidt正交化过程。其中和均是离散意义下的内积2022/12/10714.5正交多项式定理4.5.12022/12/13724.5正交多项式定理4.5.2设是由(4.5.12)生成的正交多项式序列，则1)任何k次多项式均可用0(x),

1(x),…,n(x)的线性组合表示；2)k+1(x)与任何不超过k次的多项式正交；3)序列线性无关，从而是多项式子空间的一组基。2022/12/10724.5正交多项式定理4.5.22022/12/13734.5正交多项式推论4.5.1公式(4.5.12)等价于下列递推公式其中2022/12/10734.5正交多项式推论4.5.12022/12/13744.5正交多项式4.5.3连续区间上的正交多项式定义4.5.4给定区间[a,b]和对应的权函数(x)。设有n+1个多项式其中，若它们满足其中(k(x),k(x))是连续意义下的内积，则称为区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列。2022/12/10744.5正交多项式4.5.3连2022/12/13754.5正交多项式与离散情况类似1)连续区间上的正交多项式序列可用正交化方法构造2)有同样的三项递推公式定理4.5.3设n(x)是在区间[a,b]上带权(x)的首项系数非零的n次正交多项式(n1)，则n(x)的n个根都是单实根，分布在开区间(a,b)。2022/12/10754.5正交多项式与离散情况类似定2022/12/13764.5正交多项式几个常用的正交多项式Tn(x)=cos(narccosx)，n=0,1,2,…定义的多项式，是在区间[-1,1]上带权切比雪夫多项式(第一类Chebyshev多项式)：由的正交多项式。递推公式为2022/12/10764.5正交多项式几个常用的正交多2022/12/13774.5正交多项式令=arccosx则Tn(x)=cosncos(n+1)=2coscosn-cos(n-1)由得2022/12/10774.5正交多项式令2022/12/13784.5正交多项式前几个切比雪夫多项式为Tn(x)的n个根为2022/12/10784.5正交多项式前几个切比雪夫多2022/12/13794.5正交多项式2022/12/10794.5正交多项式2022/12/13804.5正交多项式勒让德多项式(Legendre)由定义的多项式，是在区间[-1,1]上带权(x)=1的正交多项式。递推公式为2022/12/10804.5正交多项式勒让德多项式(L2022/12/13814.5正交多项式正交关系为2022/12/10814.5正交多项式正交关系为2022/12/13824.5正交多项式前几个勒让德多项式为它们的根均是单根，在开区间(-1,1)上，以原点为对称点分布2022/12/10824.5正交多项式前几个勒让德多项2022/12/13834.5正交多项式2022/12/10834.5正交多项式2022/12/13844.5正交多项式埃尔米特多项式(Hermite)由定义的多项式，是在区间(-,)上带权的正交多项式。递推公式为2022/12/10844.5正交多项式埃尔米特多项式(2022/12/13854.5正交多项式正交关系为2022/12/10854.5正交多项式正交关系为2022/12/13864.5正交多项式前几个埃尔米特多项式为它们的根均是单根，在开区间(-,)上，以原点为对称点分布2022/12/10864.5正交多项式前几个埃尔米特多2022/12/13874.6离散数据的曲线拟合4.6.1线性模型与最小二乘法

4.6.2正规方程和解的存在唯一性2022/12/10874.6离散数据的曲线拟合4.62022/12/13884.6离散数据的曲线拟合在生产与科研中，常给出一组离散数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)要确定变量x与y的函数关系y=f(x)近似方法一：

构造插值多项式Pn(x)，使Pn(xi)=yi(i=0，1，…，n)特点是构造的函数必须满足给定数对的关系。从几何上看，构造的曲线必须通过给定的n+1个点。2022/12/10884.6离散数据的曲线拟合在生产与2022/12/13894.6离散数据的曲线拟合近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。

不要求构造的曲线必须通过给定的n个点2022/12/10894.6离散数据的曲线拟合近似方法2022/12/13904.6离散数据的曲线拟合近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。

不要求构造的曲线必须通过给定的n个点2022/12/10904.6离散数据的曲线拟合近似方法2022/12/13914.6离散数据的曲线拟合例假设数据点(xi，yi)(i=1，2,…，n)大致成一条直线，此时拟合曲线为一直线，它从这些点附近通过，设此拟合直线为y*=a+bx

显然，一般有

y*(xi)=a+bxi≠yi

记

ei=yi

y*(xi)

i=1，2,…，n

e={e1，e2，…，en}T称为残差向量。

2022/12/10914.6离散数据的曲线拟合例假2022/12/13924.6离散数据的曲线拟合欲使拟合效果最好，应该使残差e按照某种标准达到最小。常用的标准有

常用的标准有①||

e||1=②||

e||2=1范数

2范数

③||

e||∞=∞范数

2022/12/10924.6离散数据的曲线拟合欲使拟合2022/12/13934.6离散数据的曲线拟合通常用2范数，作为残差度量的标准。

称使||e||2达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最小二乘法求一条直线y=a+bx

，即求a、b，使

Q(a，b)=2022/12/10934.6离散数据的曲线拟合通常用22022/12/13944.6离散数据的曲线拟合最小值时的a、b满足得到

2022/12/10944.6离散数据的曲线拟合最小值时2022/12/13954.6离散数据的曲线拟合令由于

X={x1，x2，…，xn}T，Y={y1，y2，…，yn}T

2022/12/10954.6离散数据的曲线拟合令由于2022/12/13964.6离散数据的曲线拟合有解得

a=

y

xb

2022/12/10964.6离散数据的曲线拟合有解2022/12/13974.6离散数据的曲线拟合定义已知m+1对离散数据{

xi，yi}0m,和权数{

wi}0m，记在C[a，b]中选定n+1个线性无关的基函数{k(x)}0m，由它们张成的子空间为=span{0(x)，1(x)，…，n(x)}2022/12/10974.6离散数据的曲线拟合定义2022/12/13984.6离散数据的曲线拟合如果有

使得

则称*(x)为离散数据{

xi，yi}0m在子空间中带权{

wi}0m的最小二乘拟合。由于*(x)是基函数的线性组合，称为线性最小二乘问题。

2022/12/10984.6离散数据的曲线拟合如果有2022/12/13994.6离散数据的曲线拟合令问题转为求多元函数I(0，1，…，n)的极小点(0*，1*，…，n*)，使得

2022/12/10994.6离散数据的曲线拟合令问2022/12/131004.6离散数据的曲线拟合4.6.2正规方程和解的存在唯一性上式有解的必要条件是

l=0，1，2，…，n

即2022/12/101004.6离散数据的曲线拟合4.2022/12/131014.6离散数据的曲线拟合令m+1维向量

并令

2022/12/101014.6离散数据的曲线拟合令m2022/12/131024.6离散数据的曲线拟合即

称为正规方程(法方程)。记系数矩阵为G，n+1维向量

d=[(y,0)，(y,1)，…，(y,n)]T，=[0,1，…，n]T

正规方程可写为

G

=d。

2022/12/101024.6离散数据的曲线拟合即2022/12/131034.6离散数据的曲线拟合因此，最小二乘法存在唯一解的必要条件是正规方程的系数矩阵G非奇异。

定理4.6.1：格兰姆(Gram)矩阵非奇异的充分必要条件是向量组{k}0n线性无关。

注意：{k(x)}0n在C[a，b]上线性无关，不能保证向量组{k}0n线性无关。

实际中总取n<<m。因此，向量组{k}0n中的向量个数远远小于向量的维数

系数矩阵G称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称矩阵。

一般{k}0n总是线性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。

2022/12/101034.6离散数据的曲线拟合2022/12/131044.6离散数据的曲线拟合设{k}0n线性无关，它的生成空间为

V=span{0，1，…，n}函数I(0,1,…,n)用向量的2-范数(欧氏范数)表示为

I(0，1，…，n)=||y

||22，

V

2022/12/101044.6离散数据的曲线拟合设{2022/12/131054.6离散数据的曲线拟合因此极值问题

使得

等价于在向量空间V中求

2022/12/101054.6离散数据的曲线拟合因此2022/12/131064.6离散数据的曲线拟合定理4.6.2设向量组{k}0n线性无关，(0*，1*,…,n*)是正规方程的解，则满足并有

e2=||y*||22为曲线拟合的平方误差。

2022/12/101064.6离散数据的曲线拟合定理2022/12/131074.6离散数据的曲线拟合定理4.6.3：对于已知的离散数据{xi，yi}0m和权数{

wi}0m，选定m+1维连续函数空间,如果有一组基{k(x)}0n在点列{xi}0m处的值向量组{k}0n线性无关，那么

存在唯一解

其中,(0*.1*.….n*)是正规方程的解.并有平方误差

2022/12/101074.6离散数据的曲线拟合定理2022/12/131084.6离散数据的曲线拟合注意：⑴最小二乘问题的解与所选的基函数无关。⑵离散点列{

xi，yi}0m中，自变量序列{xi}0m不需要有序，也可以重复。⑶

格兰姆(Gram)矩阵由子空间的基函数{k(x)}0n、自变量序列{xi}0m，以及权数{

wi}0m确定。与离散点的函数值序列{yi}0m无关。

2022/12/101084.6离散数据的曲线拟合注意2022/12/131094.6离散数据的曲线拟合4.6.3多项式拟合和例题在离散数据{xi，yi}0m最小二乘拟合中，最简单、常用的数学模型是多项式，即在多项式空间中作曲线拟合，称为多项式拟合。2022/12/101094.6离散数据的曲线拟合4.2022/12/131104.6离散数据的曲线拟合取基函数(x)=xk

(k=0,1,2,…,n)，在自变量序列的值向量为如果n<m，并且在序列中至少有n+1个互不相等，则线性无关，从而格兰姆矩阵G非奇异，最小二乘拟合问题存在唯一解。有2022/12/101104.6离散数据的曲线拟合取基2022/12/131114.6离散数据的曲线拟合正规方程为正规方程解为*=(0*.1*.….n*)2022/12/101114.6离散数据的曲线拟合正规2022/12/131124.6离散数据的曲线拟合最小二乘问题为最小二乘问题解为平方误差为2022/12/101124.6离散数据的曲线拟合最小2022/12/131134.6离散数据的曲线拟合2022/12/101134.6离散数据的曲线拟合2022/12/131144.6离散数据的曲线拟合2022/12/101144.6离散数据的曲线拟合2022/12/131154.6离散数据的曲线拟合2022/12/101154.6离散数据的曲线拟合2022/12/131164.6离散数据的曲线拟合2022/12/101164.6离散数据的曲线拟合2022/12/131174.6离散数据的曲线拟合2022/12/101174.6离散数据的曲线拟合2022/12/131184.6离散数据的曲线拟合2022/12/101184.6离散数据的曲线拟合2022/12/131194.6离散数据的曲线拟合2022/12/101194.6离散数据的曲线拟合2022/12/131204.6离散数据的曲线拟合2022/12/101204.6离散数据的曲线拟合2022/12/131214.6离散数据的曲线拟合2022/12/101214.6离散数据的曲线拟合2022/12/131224.6离散数据的曲线拟合2022/12/101224.6离散数据的曲线拟合2022/12/131234.6离散数据的曲线拟合2022/12/101234.6离散数据的曲线拟合2022/12/131244.6离散数据的曲线拟合4.6.4正规方程的病态和正交多项式拟合当{xi}0m位于区间[0,1]且等距分布时，若用多项式拟合，其格兰姆矩阵G=mHn+1，Hn为n阶希尔伯特矩阵2022/12/101244.6离散数据的曲线拟合4.2022/12/131254.6离散数据的曲线拟合n阶希尔伯特矩阵Hn元素为低阶希尔伯特矩阵的条件数为2022/12/101254.6离散数据的曲线拟合n阶2022/12/131264.6离散数据的曲线拟合解决的方法为采用正交多项式，使向量组具有正交性此时格兰姆矩阵为对角矩阵2022/12/101264.6离散数据的曲线拟合解决2022/12/131274.6离散数据的曲线拟合正规方程为解为多项式拟合为此即正交多项式拟合。注意，它的稳定性好于多项式拟合，但也应避免高次多项式拟合。2022/12/101274.6离散数据的曲线拟合正规2022/12/131284.6离散数据的曲线拟合作业4.3(1)、4.5、4.6、4.7、4.11、4.15、4.17、4.192022/12/101284.6离散数据的曲线拟合作业SummerGrassFadeArialFontFamilySummerGrassFadeArialFontFa2022/12/131304插值和拟合4.1引言4.2插值4.3分段低次插值4.4三次样条插值4.5正交多项式4.6离散数据的曲线拟合2022/12/1024插值和拟合4.1引言2022/12/131314.1引言4.1.1函数的插值4.1.2离散数据的拟合插值和拟合都是在给定点列{xi，yi}0n的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。

2022/12/1034.1引言4.1.1函数的插值2022/12/131324.1引言4.1.1函数的插值区间[a，b]上的连续函数的全体记为C[a，b]定义4.1.1设y=f(x)∈C[a，b]，已知f在C[a，b]上n+1个互异点a≤x0,

x1

,…

,xn-1,

xn≤b

xi≠xj（i

≠j

）的值yi=f(xi)（i=0，1，2，…，n

）如果有不超过n次的多项式Ln(x)=c0+c1x+c2x2

+…+cnxn2022/12/1044.1引言4.1.1函数的插值2022/12/131334.1引言满足

Ln(xi)

=yi（i=0，1，2，…，n

）(4.1)称Ln(x)为f(x)在区间[a，b]上通过点列{xi,yi}0n的插值多项式。其中，[a，b]称为插值区间，{xi,yi}0n称为插值节点，

xi称为插值点，f(xi)称为插值函数，(4.1)称为插值条件。2022/12/1054.1引言满足称Ln(x)2022/12/131344.1引言定理4.1.1由式(4.1)确定的插值多项式Ln(x)存在唯一。插值的工程背景

函数插值的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性2022/12/1064.1引言定理4.1.1由式(42022/12/131354.1引言4.1.2离散数据的拟合如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数y=(x)⑴选择(x)由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。

⑵确定数学模型中的参数拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。

2022/12/1074.1引言4.1.2离散数据的2022/12/131364.2插值

4.2.1拉格朗日插值法

4.2.2插值的余项4.2.3均差和牛顿插值

2022/12/1084.2插值4.2.1拉格朗日插值2022/12/131374.2插值4.2.1拉格朗日插值法

已知点列{xi

，yi}0n，确定插值多项式

n=1时，点列包含2个点，{x0，y0}和{x1，y1}，则只能做一条直线。

2022/12/1094.2插值4.2.1拉格朗日插值法2022/12/131384.2插值n=2时，点列包含3个点，{x0，y0}、{x1，y1}、{x2，y2}

可做不超过2次的多项式

2022/12/10104.2插值n=2时，点列包含3个点2022/12/131394.2插值推广到一般情况，定义n+1个n次多项式

称为拉格朗日插值基函数。

2022/12/10114.2插值推广到一般情况，定义n2022/12/131404.2插值n=2时的基函数2022/12/10124.2插值n=2时的基函数2022/12/131414.2插值n=3时的基函数2022/12/10134.2插值n=3时的基函数2022/12/131424.2插值插值基函数满足

(k，i=0，1，2，…，n)

插值函数为

如果取函数为f(x)=1，则yk=1(k=0,1,2,…,n)，有

2022/12/10144.2插值插值基函数满足(k，i2022/12/131434.2插值4.2.2插值的余项

令

如果f(x)C2[a，b]，采用线性插值，令

Rn(x)=f(x)Ln(x)则则2022/12/10154.2插值4.2.2插值的余项2022/12/131444.2插值4.2.3均差和牛顿插值

定义一阶差商

如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如n=1时

N1(x)=y0+f[x0，x1](xx0)

2022/12/10164.2插值4.2.3均差和牛顿2022/12/131454.2插值当n=2时，再定义一阶差商和二阶差商

并有

N2(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0，x1，x2](xx0)(xx1)

2022/12/10174.2插值当n=2时，再定义一阶差2022/12/131464.2插值对一般情况，定义各阶差商

2022/12/10184.2插值对一般情况，定义各阶差商2022/12/131474.2插值差商的性质：1)线性性如果f(x)=ay(x)+bz(x)2)3)对称性：2022/12/10194.2插值差商的性质：1)线性性2022/12/131484.2插值4)

n次多项式关于x，xi的一阶差商为n-1次多项式则Ln(x)仍为n次多项式，且Ln(xi)=0，所以设Pn(x)为n次多项式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中Pn-1(x)为n-1次多项式，从而有

2022/12/10204.2插值4)n次多项式关于x，2022/12/131494.2插值差商表2022/12/10214.2插值差商表2022/12/131504.2插值牛顿插值多项式

f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(xx1)f[x,x0,x1]f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]

………

f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+(xxn)f[x,x0,…,xn]f

(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]+(xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]+(xx0)(xx1)…(xxn-1)f[x0,x1,…,xn]+(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,xn]=Nn(x)+Rn(x)2022/12/10224.2插值牛顿插值多项式f(x2022/12/131514.2插值插值函数为

Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+…+f[x0,x1,…,xn](xx0)(xx1)…(xxn-1)=f(x0)+f[x0，x1]1(x)+f[x0,x1,x2]2(x)+…+f[x0,x1,…,xn]n(x)

均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的插值点，以前的计算公式不变。2022/12/10234.2插值插值函数为