物理奥赛：力学物体的平衡课件

第三专题物体的平衡解题知识与方法研究疑难题解答研究例题6例题7例题8一、两种常见的约束三、静摩擦角的应用二、利用对称性确定力的方向四、多摩擦点何处“打滑”的确定第三专题物体的平衡解题知识与方法研究疑难题解11、光滑铰链1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种.一、两种常见的约束解题知识与方法研究图1、图2为柱铰链，图3为球铰链.铰链实例：1、光滑铰链1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.21-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过铰链的中心（“销”心或球心）物体绕铰链自由转动实例：铰链的施力与受力实例：受力施力施力受力受力施力（2）物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动,可绕球铰链无摩擦地在三维空间自由转动.1-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过32、连杆2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅可两端受力.2-2、性质：（1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向.（2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力.连杆实例：连杆施力你能不能证明这一性质？连杆受力2、连杆2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体4

例1

如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架.A、B、C、D四处由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接.如果调解拉力器，使它产生拉力为T，问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？解AB杆：AD杆：对铰链A的拉力TAB(=T)必然水平向右.对铰链A的力不能是向上的压力，只能是向下的拉力TAD.AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA.进而可得到根据对称性可知：BD杆：对铰链B的压力TBD=TAC=T,方向沿DB.DC杆：对铰链D的拉力TDC=TAB=T,方向向右.BC杆：对铰链B的拉力TBC=TAD=T,方向向下.要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大，必须例1如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉5ABDC

例2

四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动.如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运动.试求碰后瞬间A球的速度vA.

vABDC解碰后瞬间各球的运动如图.设碰撞中C球所受的冲量为I，则对整个系统由动量定理得A、B、D球的速度有关系①②将①代入②化简得③设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I′.对C球由动量定理得即④ABDC例2四个质量相同的小球A、B、C、6ABDCBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I′.即⑤由③、④、⑤式

题后思考此结果有点意外，该如何解释?（或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有对B③④便可解出ABDCBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲7二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的杆对称的架立在水平不光滑地面上.试确定各杆受其他杆的作用力的方向？你认为是哪种情况？为什么？对称：系统的某种属性、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）.三力斜向上三力斜向下三力水平二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例8A

例3图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成,四根杆的尺寸已在图中标出.机构竖放在光滑水平面上.W和P、P′为所加的外力,求：（1）平衡时与的关系;（2）铰链O对所连接的两杆的作用力.BCONN如图，AB杆为二力轻杆，其A端受力FA、沿A→B方向，B端受力FB沿B→A方向.于是有解（1）分解W得BE杆的B端受力与为作用与反作用力，由得即①FB故BE杆是不是二力连杆？研究AB杆：研究BE杆：A例3图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通9能否判断铰链O对连接的两杆的作用力的方向？对整个机构，由得②由①②解得（2）据对称性可知铰链O对BE杆的作用力沿水平方向.由知方向向右.铰链O对CD杆的作用力大小为方向水平向左.

题后总结与思考综合利用了对称性分析和连杆的性质假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？ABCONNFBEFB能否判断铰链O对整个机构，由得②10三、静摩擦角的应用1、静摩擦角的概念1-1、定义：1-2、几何意义：最大静摩擦力fm和正压力N的合力与接触面法向夹角.Nf（即全反力R与接触面法向的最大夹角)全反力2、用静摩擦角解题有时较简便fmR1-3、重要性质静摩擦角的大小取决于两接触面的性质！物体静平衡时物体滑动时三、静摩擦角的应用1、静摩擦角的概念1-1、定义：1-2、几11

例4

如图所示，有一长为l，重为W0的匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ0,B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点.杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ.（1）求杆能保持平衡时μ0与θ应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏.求出这一点P与A点的距离.解一（摩擦角方法）（1）TθABCW0由力的平衡条件及对称关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有即杆未挂重物时受力如图你能否准确确定R的方向？例4如图所示，有一长为l，重为W012θABCTW0（2）杆挂上重物W时研究重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ≤φ02、R和N的夹角φ＞φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0

=∠BAD.又作DP⊥AB，所得交点P即为所求.若重物W挂在P、B之间：WWDD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0.若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0.由几何关系得由此解得WθABCTW0（2）杆挂上重物W时研究重物挂在何处能使P作出13解二（分析法）θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图①②③由于杆未滑动，故④由①、②消去T得：⑤TfWNPd由③、⑤消去f得：⑥将③、⑥代入④得：按W、W0整理后得：⑦解二（分析法）θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力14⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重物（W=0）：则有所以⑧（2）在⑧成立时挂重物（W＞0)：此时⑦式左端Ⅰ、此时只要⑦式右端的则无论W多大，⑦式均成立.θABCTW0fWNPd于是得Ⅱ、此时如果⑦式右端的则当W足够大时，可使⑦不成立.于是得综上可知：

题后总结本题用“摩擦角法”较简单；但当多点摩擦时一般更适合“分析法”.⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重15ABC1、实例判断何接触处的静摩擦力先达到最大：2、处理的方法四、多摩擦点何处“打滑”的判断假定一处静摩擦力达到最大根据平衡条件计算他处的摩擦力与他处的最大静摩擦力比较大小ABC1、实例判断何接触处的静摩擦力先达到216

例5有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙上，如图所示.开始时木板与墙面的夹角为15°，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头.已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦系数分别为μ1=1.00,μ2=若板缓缓地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落.问当夹角张到60°时，木棍端面上的箭头指向什么方向？解当F逐渐减小时，板、墙给棍的摩擦方向如何，大小如何变化？判断当压力减小到一定程度，棍受力如图.①②③要使棍与墙接触点先滑，则此时有④而⑤将④⑤代入③得例5有一木板可绕其下端的水平轴转动，转17⑥由②③④得⑦由⑥⑦两式得此式成立则左边先滑.设θ取临界角θ0时有将μ1、μ2值代入，有⑧解出当15°<θ<30°时⑧不成立:当30°<θ<60°时⑧成立:棍右接触点打滑棍左接触点打滑棍顺时针转动.棍反时针转动.下面研究最后棍上的箭头转向了何方？②③④⑥由②③④得⑦由⑥⑦两式得此式成立则左边先滑.设θ取临界18右图为棍转动的几何关系.由此得到当棍沿墙由A滚动至B时，顺时针转动当棍沿板由B′滚动至C′时，反时针转动当棍在板上滚动时板顺时针转过φ3=30°.综上可知棍截面上的指针的转过的角度为右图为棍转动的几何关系.由此得到当棍沿墙由A滚动至B时，顺时19另解（摩擦角法）棍与墙之间的静摩擦角为棍与木板之间的静摩擦角为由几何关系有则若此时棍右侧也达到最大静摩擦，（1）（2）当θ>30°时，此时棍两侧均达到最大静摩擦.由上式展开讨论：即左侧达最大静摩擦时而右侧未达到（如图1）.此时棍右滚左滑.（3）当θ<30°时，即实际上左侧尚未达到最大静摩擦时而右侧早已达到（如图2）.此时棍左滚右滑.进一步可求得棍截面上的箭头转动的角度.三非平行力R1、R2、当棍左侧达到最大静摩擦时，mg共点于D.如图1.考虑全反力（代替压力和摩擦力）.另解（摩擦角法）棍与墙之间的静摩擦角为棍与木板之间的静摩擦角20

题后总结与思考两接触点交替打滑是本题的特点和难点；本题用“摩擦角法”不及“分析法”清晰；ⅰ、在原题条件下，若F逐渐增大，会发生什么现象；ⅱ、在什么条件下棍会“自锁”？题后总结与思21

例6

如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平桌面上，圆板绕着过中心O的竖直轴旋转，O相对桌面做水平运动.如果圆板与桌面的摩擦系数处处相同，试证明圆板所受摩擦力的合力方向必与O的运动方向相反.Ov0ω证明圆板视为由很多面积相等的微小面元组成.如果圆板中存在速度方向满足图中关系的两个小面元ΔS和ΔS′，此两面元所受的摩擦力的合力方向与v0的方向关系怎样？ΔSΔS′在圆板中究竟有没有这样的两个小面元？由于圆的对称性，在A处选定ΔS后，ΔS′可能应在B、C、D处选择？！ΔSOv0ωxyΔS′ΔS′ΔS′疑难题解答研究例6如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平22xyOωABCDv0ωrvAv0ωrvBv0ωrv0ωrvCvDv0如图，将ΔS′

选在与A关于y轴的对称点B处，若将ΔS

选在C处，则ΔS′应选在D处.小面元ΔS、ΔS′

所受摩擦力f、f′的合力与v0方向相反.fE、HHωr′v0但板转动较快（ω较大）时，是否在圆板上任选一面元都能在圆板上别处选出另一面元使二者的摩擦力的合力与v0的方向相反？xyOωABCDv0ωrvAv0ωrvBv0ωrv0ωrvC23yxoEHfF、GfE、H注意到此时E、H关于x轴的对称面元F、G，二者所受摩擦力的合力fF、G仍必将与v0反向.当关于y轴的对称面元E、H所受摩擦力的合力与v0同向时，便能在圆板上选出E、H关于x轴的对称面元F、G，使四者所受摩擦力的合力方向与v0的方向相反.如图，由速度合成的平行四边形的几何关系有所以由此可知FGyxoEHfF、GfE、H注意到此时E、H关于x轴的对称面元24综上可知，在圆板上任选一小面元：若该面元的速度方向与v0的方向夹角≤90°，则能在圆板的另处对应地选出另一个小面元，使二者所受的摩擦力的合力与v0方向相反.（等于90°时合力为零）若该面元的速度方向与v0的方向夹角＞90°，则能在圆板的另处对应地选出另三个小面元，使四者所受的摩擦力的合力与v0方向相反.Ov0ω如此不重复、不遗漏地选遍整个圆板，即知圆板所受摩擦力合力与v0方向相反.

题后思考对于正方形的、长方形的、椭圆形的薄板，还有此结论吗？研究板上哪些区域的点部位所受的摩擦力的沿v0方向的分量与v0反向？综上可知，在圆板上任选一小面元：若该面元的速25

例7

如图,在倾角为

的面积足够大的粗糙斜面上，有一个质量为m的质点，被一根轻弹性绳拴住，绳的另一端固定在斜面上O点.弹性绳的形变服从胡克定律.绳原长为L，劲度系数为k.斜面与质点间的静摩擦系数为μ.试确定质点在斜面上可静止的区域(用曲线方程表示）.fNGTOzyxθ解建立O—xyz坐标.质点受力如图，质点的平衡方程所确定的坐标（x,y)满足的区域即为质点静止的区域.由于当质点距O的距离小于L时绳没有张力，故将x-y平面分成两个区域研究：而张力①②③④还应满足⑤⑥进一步研究利用这些式子找出（x,y）满足的方程！（1）例7如图,在倾角为的面积足够大的26①②③④⑤⑥由①：由②：所以⑦将⑤代入⑦得：⑧将③代入⑧得：⑨将④、⑥代入⑨得：φfNGTOzyxθ①②③④⑤⑥由①：由②：所以⑦将⑤代入⑦得：⑧将③代入⑧得27（2）⑩而上述⑩式也是在满足此两式的情况下得出的.最终可知，曲线所围的区域都是质点的静止区域.此区域的具体形状与的取值有关.仅需满足OzyxfNG②⑤①（2）⑩而上述⑩式也是在满足此两式的情况下得出的.最终可知，28OK

例8

五根质量与长度均相同的匀质细棒用质量与线度均可忽略不计的光滑铰链两两首尾连成一个五边形.今将其一个顶点挂在天花板下.试求平衡时此五边形的五个顶角.又若在最下边的细棒的中点再悬挂一重物，能否使五根细棒构成一个等腰三角形？解设每根棒质量为m，长为l.TTTmgmg隔离研究左边两棒的受力情况：将二者的链接处的受力进行分解，其受力如图所示.对左边上面的棒：对左边下面的棒：又由几何关系得将此三方程简化为只需求出图中的φ1、φ2即可TOK例8五根质量与长度均相同的匀质细棒用29由①、②两式得即④③代入④化简后，令利用计算器进行一元高次方程的逼近求解将此三方程简化为①②③OKTTTmgmgT由①、②两式得即④③代入④化简后，令利用计算器进行一元高次300.10.20.150.170.1710.17150.5-0.240.160.0110.0031-0.00085取使f(x)最接近零的x值：x=0.1715由计算器查得：φ1=9.9°,Φ2=19.20°所以五边形的上方内顶角为2φ1=19.8°侧方内顶角为下方内顶角为于是有OKTTTmgmgT0.10.20.1531假设能构成等腰三角形，看其是否满足平衡条件.对左侧上面的棒，对下面的棒，由此两式得解得m=0这表明在五根细棒质量不为零时不可能构成等腰三角形.

题后总结本题的假定法研究非平衡问题时很有用；需掌握利用计算器逼近求解一元高次方程的方法.OKTTTTmgmgM假设能构成等腰三角形，看其是否满足平衡条件.对左侧上面的棒，32第三专题物体的平衡解题知识与方法研究疑难题解答研究例题6例题7例题8一、两种常见的约束三、静摩擦角的应用二、利用对称性确定力的方向四、多摩擦点何处“打滑”的确定第三专题物体的平衡解题知识与方法研究疑难题解331、光滑铰链1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种.一、两种常见的约束解题知识与方法研究图1、图2为柱铰链，图3为球铰链.铰链实例：1、光滑铰链1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.341-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过铰链的中心（“销”心或球心）物体绕铰链自由转动实例：铰链的施力与受力实例：受力施力施力受力受力施力（2）物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动,可绕球铰链无摩擦地在三维空间自由转动.1-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过352、连杆2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅可两端受力.2-2、性质：（1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向.（2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力.连杆实例：连杆施力你能不能证明这一性质？连杆受力2、连杆2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体36

例1

如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架.A、B、C、D四处由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接.如果调解拉力器，使它产生拉力为T，问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？解AB杆：AD杆：对铰链A的拉力TAB(=T)必然水平向右.对铰链A的力不能是向上的压力，只能是向下的拉力TAD.AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA.进而可得到根据对称性可知：BD杆：对铰链B的压力TBD=TAC=T,方向沿DB.DC杆：对铰链D的拉力TDC=TAB=T,方向向右.BC杆：对铰链B的拉力TBC=TAD=T,方向向下.要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大，必须例1如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉37ABDC

例2

四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动.如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运动.试求碰后瞬间A球的速度vA.

vABDC解碰后瞬间各球的运动如图.设碰撞中C球所受的冲量为I，则对整个系统由动量定理得A、B、D球的速度有关系①②将①代入②化简得③设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I′.对C球由动量定理得即④ABDC例2四个质量相同的小球A、B、C、38ABDCBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I′.即⑤由③、④、⑤式

题后思考此结果有点意外，该如何解释?（或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有对B③④便可解出ABDCBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲39二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的杆对称的架立在水平不光滑地面上.试确定各杆受其他杆的作用力的方向？你认为是哪种情况？为什么？对称：系统的某种属性、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）.三力斜向上三力斜向下三力水平二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例40A

例3图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成,四根杆的尺寸已在图中标出.机构竖放在光滑水平面上.W和P、P′为所加的外力,求：（1）平衡时与的关系;（2）铰链O对所连接的两杆的作用力.BCONN如图，AB杆为二力轻杆，其A端受力FA、沿A→B方向，B端受力FB沿B→A方向.于是有解（1）分解W得BE杆的B端受力与为作用与反作用力，由得即①FB故BE杆是不是二力连杆？研究AB杆：研究BE杆：A例3图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通41能否判断铰链O对连接的两杆的作用力的方向？对整个机构，由得②由①②解得（2）据对称性可知铰链O对BE杆的作用力沿水平方向.由知方向向右.铰链O对CD杆的作用力大小为方向水平向左.

题后总结与思考综合利用了对称性分析和连杆的性质假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？ABCONNFBEFB能否判断铰链O对整个机构，由得②42三、静摩擦角的应用1、静摩擦角的概念1-1、定义：1-2、几何意义：最大静摩擦力fm和正压力N的合力与接触面法向夹角.Nf（即全反力R与接触面法向的最大夹角)全反力2、用静摩擦角解题有时较简便fmR1-3、重要性质静摩擦角的大小取决于两接触面的性质！物体静平衡时物体滑动时三、静摩擦角的应用1、静摩擦角的概念1-1、定义：1-2、几43

例4

如图所示，有一长为l，重为W0的匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ0,B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点.杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ.（1）求杆能保持平衡时μ0与θ应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏.求出这一点P与A点的距离.解一（摩擦角方法）（1）TθABCW0由力的平衡条件及对称关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有即杆未挂重物时受力如图你能否准确确定R的方向？例4如图所示，有一长为l，重为W044θABCTW0（2）杆挂上重物W时研究重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ≤φ02、R和N的夹角φ＞φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0

=∠BAD.又作DP⊥AB，所得交点P即为所求.若重物W挂在P、B之间：WWDD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0.若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0.由几何关系得由此解得WθABCTW0（2）杆挂上重物W时研究重物挂在何处能使P作出45解二（分析法）θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图①②③由于杆未滑动，故④由①、②消去T得：⑤TfWNPd由③、⑤消去f得：⑥将③、⑥代入④得：按W、W0整理后得：⑦解二（分析法）θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力46⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重物（W=0）：则有所以⑧（2）在⑧成立时挂重物（W＞0)：此时⑦式左端Ⅰ、此时只要⑦式右端的则无论W多大，⑦式均成立.θABCTW0fWNPd于是得Ⅱ、此时如果⑦式右端的则当W足够大时，可使⑦不成立.于是得综上可知：

题后总结本题用“摩擦角法”较简单；但当多点摩擦时一般更适合“分析法”.⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重47ABC1、实例判断何接触处的静摩擦力先达到最大：2、处理的方法四、多摩擦点何处“打滑”的判断假定一处静摩擦力达到最大根据平衡条件计算他处的摩擦力与他处的最大静摩擦力比较大小ABC1、实例判断何接触处的静摩擦力先达到248

例5有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙上，如图所示.开始时木板与墙面的夹角为15°，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头.已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦系数分别为μ1=1.00,μ2=若板缓缓地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落.问当夹角张到60°时，木棍端面上的箭头指向什么方向？解当F逐渐减小时，板、墙给棍的摩擦方向如何，大小如何变化？判断当压力减小到一定程度，棍受力如图.①②③要使棍与墙接触点先滑，则此时有④而⑤将④⑤代入③得例5有一木板可绕其下端的水平轴转动，转49⑥由②③④得⑦由⑥⑦两式得此式成立则左边先滑.设θ取临界角θ0时有将μ1、μ2值代入，有⑧解出当15°<θ<30°时⑧不成立:当30°<θ<60°时⑧成立:棍右接触点打滑棍左接触点打滑棍顺时针转动.棍反时针转动.下面研究最后棍上的箭头转向了何方？②③④⑥由②③④得⑦由⑥⑦两式得此式成立则左边先滑.设θ取临界50右图为棍转动的几何关系.由此得到当棍沿墙由A滚动至B时，顺时针转动当棍沿板由B′滚动至C′时，反时针转动当棍在板上滚动时板顺时针转过φ3=30°.综上可知棍截面上的指针的转过的角度为右图为棍转动的几何关系.由此得到当棍沿墙由A滚动至B时，顺时51另解（摩擦角法）棍与墙之间的静摩擦角为棍与木板之间的静摩擦角为由几何关系有则若此时棍右侧也达到最大静摩擦，（1）（2）当θ>30°时，此时棍两侧均达到最大静摩擦.由上式展开讨论：即左侧达最大静摩擦时而右侧未达到（如图1）.此时棍右滚左滑.（3）当θ<30°时，即实际上左侧尚未达到最大静摩擦时而右侧早已达到（如图2）.此时棍左滚右滑.进一步可求得棍截面上的箭头转动的角度.三非平行力R1、R2、当棍左侧达到最大静摩擦时，mg共点于D.如图1.考虑全反力（代替压力和摩擦力）.另解（摩擦角法）棍与墙之间的静摩擦角为棍与木板之间的静摩擦角52

题后总结与思考两接触点交替打滑是本题的特点和难点；本题用“摩擦角法”不及“分析法”清晰；ⅰ、在原题条件下，若F逐渐增大，会发生什么现象；ⅱ、在什么条件下棍会“自锁”？题后总结与思53

例6

如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平桌面上，圆板绕着过中心O的竖直轴旋转，O相对桌面做水平运动.如果圆板与桌面的摩擦系数处处相同，试证明圆板所受摩擦力的合力方向必与O的运动方向相反.Ov0ω证明圆板视为由很多面积相等的微小面元组成.如果圆板中存在速度方向满足图中关系的两个小面元ΔS和ΔS′，此两面元所受的摩擦力的合力方向与v0的方向关系怎样？ΔSΔS′在圆板中究竟有没有这样的两个小面元？由于圆的对称性，在A处选定ΔS后，ΔS′可能应在B、C、D处选择？！ΔSOv0ωxyΔS′ΔS′ΔS′疑难题解答研究例6如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平54xyOωABCDv0ωrvAv0ωrvBv0ωrv0ωrvCvDv0如图，将ΔS′

选在与A关于y轴的对称点B处，若将ΔS

选在C处，则ΔS′应选在D处.小面元ΔS、ΔS′

所受摩擦力f、f′的合力与v0方向相反.fE、HHωr′v0但板转动较快（ω较大）时，是否在圆板上任选一面元都能在圆板上别处选出另一面元使二者的摩擦力的合力与v0的方向相反？xyOωABCDv0ωrvAv0ωrvBv0ωrv0ωrvC55yxoEHfF、GfE、H注意到此时E、H关于x轴的对称面元F、G，二者所受摩擦力的合力fF、G仍必将与v0反向.当关于y轴的对称面元E、H所受摩擦力的合力与v0同向时，便能在圆板上选出E、H关于x轴的对称面元F、G，使四者所受摩擦力的合力方向与v0的方向相反.如图，由速度合成的平行四边形的几何关系有所以由此可知FGyxoEHfF、GfE、H注意到此时E、H关于x轴的对称面元56综上可知，在圆板上任选一小面元：若该面元的速度方向与v0的方向夹角≤90°，则能在圆板的另处对应地选出另一个小面元，使二者所受的摩擦力的合力与v0方向相反.（等于90°时合力为零）若该面元的速度方向与v0的方向夹角＞90°，则能在圆板的另处对应地选出另三个小面元，使四者所受的摩擦力的合力与v0方向相反.Ov0ω如此不重复、不遗漏地选遍整个圆板，即知圆板所受摩擦力合力与v0方向相反.

题后思考对于正方形的、长方形的、椭圆形的薄板，还有此结论吗？研究板上哪些区域的点部位所受的摩擦力的沿v0方向的分量与v0反向？综上可知，