点线面之间的位置关系课件

点线面之间的位置关系点线面之间的位置关系考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．热点提示1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力．2．通过判断位置关系，考查空间想象能力．3．应用公理、定理证明点共线、线共面等问题．4．多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义．热点提示1.以1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内．两点两点公理2：过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线．不在一条直线上有且只有一条公理2：过 的三点，有且只有一个平面．不在一条直线上有2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类2．直线与直线的位置关系(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：

．锐角(或直角(2)异面直线所成的角锐角(或直角位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点

公共点

公共点

公共点符号表示图形表示有无数个有且只有一个没有a⊂αa∩α＝Aa∥α位置直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共4.两个平面的位置关系两平面平行公共点个数表示法图示位置关系α∥β04.两个平面的位置关系两平面公共点个数表示法图示位置关系α∥位置关系图示表示法公共点个数斜交有

个公共点在一条直线上垂直有

个公共点在一条直线上α∩β＝aα⊥βα∩β＝a无数无数位置关系图示表示法公共点个数斜交有个公5.平行公理平行于同一条直线的两条直线

．互相平行5.平行公理互相平行垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎样的？提示：可能平行，可能相交，也可能异面.

点线面之间的位置关系课件6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．相等或互补6．定理相等或互补1．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是 ()点线面之间的位置关系课件A．1 B．2C．3 D．4解析：如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥AB，AD⊥AB，但A1A与AD相交，故①错；平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⊥平面ABCD，而平面A1ABB1与A1ADD1相交，故②错；A．1 B．2直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角都是45°，但A1B与BC1相交，故③错；直线A1A与直线BC异面，AB、AC均与A1A、BC相交，但AC与AB相交，故④错．答案：D直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角都是45°，但A12．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 ()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：如右图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案：C2．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这3．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ()3．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．答案：C解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；4．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．解析：当三个平面两两平行时，n＝4；当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n＝6；当三个平面两两相交于同一直线时，n＝6；当三个平面两两相交，交线平行时，n＝7；当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n＝8.答案：4,6,7,84．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，解：(1)如右图，连接AC、AB1，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.解：(1)如右图，连接AC、AB1，(2)如右图，连接BD，由(1)知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1，∴AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角为90°.(2)如右图，连接BD，点线面之间的位置关系课件(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内．分析二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交．(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内．点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．∴B为M′A中点，变式迁移1

正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点，那么，正方体过P、Q、R的截面图形是________．(填几边形)解析：如下图，作RG∥PQ交C′D′于点G，变式迁移1正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB′于点E，连结PE、RE为截面的部分外形．同理连结PQ并延长交CD的延长线于点N，连结NG交DD′于点F，连结QF、FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案：六边形连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB′于点E【例2】

(2009·辽宁高考)如右图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(Ⅰ)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(Ⅱ)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，变式迁移2

给出下列命题：①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为 ()A．①B．②C．③D．①③变式迁移2给出下列命题：解析：①错，c可与a、b都相交；②错，因为a、c可能相交也可能平行；③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.答案：C解析：①错，c可与a、b都相交；【例3】空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．点线面之间的位置关系课件思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线．取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解．思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.解：取AC的中点G，连接EG、FG，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，(1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交．平移直线的方法有：①直接平移，②中位线平移，③补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角.

点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件答案：C

答案：C【例4】长方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，BC＝6，在线段BD，A1C1上各有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PM＝MQ，则M点的轨迹图形的面积为________．点线面之间的位置关系课件答案：24

答案：24变式迁移4

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 ()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条变式迁移4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力．在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的．如下图：答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空1．刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图(特别是截面图)的训练，可加深对公理的掌握与理解．其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据．点线面之间的位置关系课件2．注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点．3．异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求．2．注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能点线面之间的位置关系点线面之间的位置关系考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．热点提示1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力．2．通过判断位置关系，考查空间想象能力．3．应用公理、定理证明点共线、线共面等问题．4．多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义．热点提示1.以1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内．两点两点公理2：过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线．不在一条直线上有且只有一条公理2：过 的三点，有且只有一个平面．不在一条直线上有2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类2．直线与直线的位置关系(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：

．锐角(或直角(2)异面直线所成的角锐角(或直角位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点

公共点

公共点

公共点符号表示图形表示有无数个有且只有一个没有a⊂αa∩α＝Aa∥α位置直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共4.两个平面的位置关系两平面平行公共点个数表示法图示位置关系α∥β04.两个平面的位置关系两平面公共点个数表示法图示位置关系α∥位置关系图示表示法公共点个数斜交有

个公共点在一条直线上垂直有

个公共点在一条直线上α∩β＝aα⊥βα∩β＝a无数无数位置关系图示表示法公共点个数斜交有个公5.平行公理平行于同一条直线的两条直线

．互相平行5.平行公理互相平行垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎样的？提示：可能平行，可能相交，也可能异面.

点线面之间的位置关系课件6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．相等或互补6．定理相等或互补1．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是 ()点线面之间的位置关系课件A．1 B．2C．3 D．4解析：如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥AB，AD⊥AB，但A1A与AD相交，故①错；平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⊥平面ABCD，而平面A1ABB1与A1ADD1相交，故②错；A．1 B．2直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角都是45°，但A1B与BC1相交，故③错；直线A1A与直线BC异面，AB、AC均与A1A、BC相交，但AC与AB相交，故④错．答案：D直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角都是45°，但A12．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 ()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：如右图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案：C2．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这3．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ()3．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．答案：C解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；4．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．解析：当三个平面两两平行时，n＝4；当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n＝6；当三个平面两两相交于同一直线时，n＝6；当三个平面两两相交，交线平行时，n＝7；当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n＝8.答案：4,6,7,84．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，解：(1)如右图，连接AC、AB1，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.解：(1)如右图，连接AC、AB1，(2)如右图，连接BD，由(1)知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1，∴AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角为90°.(2)如右图，连接BD，点线面之间的位置关系课件(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内．分析二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交．(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内．点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．∴B为M′A中点，变式迁移1

正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点，那么，正方体过P、Q、R的截面图形是________．(填几边形)解析：如下图，作RG∥PQ交C′D′于点G，变式迁移1正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB′于点E，连结PE、RE为截面的部分外形．同理连结PQ并延长交CD的延长线于点N，连结NG交DD′于点F，连结QF、FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案：六边形连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB′于点E【例2】

(2009·辽宁高考)如右图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(Ⅰ)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(Ⅱ)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．点线面之间的位置关系课件点线面之间的位置关系课件(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，变式迁移2

给出下列命题：①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为 ()A．①B．②C．③D．①③变式迁移2给出下列命题：解析：①错，c可与a、b都相交；②错，因为a、c可能相交也可能平行；③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.答案：C解析：①错，c可与a、b都相交；【例3】空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．点线面之间的位置关系课件思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线．取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解．思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.解：取AC的中点G，连接EG、FG，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当